Математика, контрольная 1. Уч.пособ. 1 семестр

		2 -1		3 4 13 4 13								-1 13				1 0 0
−1					-2 13 11 13														= E .
A× A	=		1 1	-2 ×								7 13	=			0 1 0
			-1 0		1 13 1 13							3 13
				4												0 0 1
Алгебраическую систему (2) можно записать в матричной
форме
					AX		= h										x		(18)
где A –		матрица из коэффициентов уравнений,																	век-
														X = y –
																	z
тор – столбец из неизвестных,								h	– вектор –				столбец из правых
частей системы.

Если уравнение (18) слева умножить на A−1 , то получим решение системы (2) в виде

X = A−1h .

Пример

Решим систему (6) матричным методом. Обратная матрица для этой системы уже найдена (уравнение (17)). Поэтому сразу

найдем X .
					4		4	-1			-3
						13	13	13
		= A−1			=	-2	11	7			5		=
X				h
						13	13	13			-5
						1	1	3
						13	13	13

	4			×(-3) + 4		13		×5 + (-1						)×(-5)				1	x
		13									13
	(	-2	13)×(-3) +				11			+	7
=								13×5				13			×(-5)		=	2	= y
					×(-3) +				×5 +				×(		-5)
		1				1				3								-1	z
		13					13			13
Ответ:			x = 1, y = 2,					z = −1 .

11

ЗАДАНИЕ 2

При выполнении второго задания контрольной работы необходимы следующие понятия векторной алгебры.

Вектором называется направленный отрезок. Вектор АВ , заданный координатами начала А (xа, yа, zа ) и конца

В(xв , yв , zв ) имеет проекции, равные разностям координат его конца и начала:

АВ = {xв - xа; yв - yа; zв - zа}

		Его длина				(модуль) определяется				по формуле
		=							.
			(xв − xa )2 + (yв − ya )2 + (zв − za )2
	АВ
		Проекция одного вектора						(ах , ау , аz )		на направление
							a
другого				b	(bх, bу , bz )	равна скалярному произведению этих век-

торов, деленному на модуль второго вектора:

прb a = a ×b b

В координатной форме формула выглядит следующим образом:

пр a = axbx + ayby + azbz .
b	bx2	+ by2	+ bz2

Угол α между положительными направлениями векторов a и b находится по формуле:

cosα =						×		b
				a							,
					×
							b
			a

Значение α можно не искать в таблицах, а дать ответ в ви-

де:

						×
α = arccos								b
				a							,
					×
			a				b

12

Площадь треугольника АВС вычисляется при помощи векторного произведения по формуле:

		=	1			´		,
	S ABC				AB		AC
		2

где AB ´ AC – векторное произведение.

Пусть AB = {xAB , yAB , zAB } и AC = {xAC , yAC , zAC } . Найдем их векторное произведение по формуле:

´

=

i

j

k

= i

yAB

zAB

-

xAB

zAB

-

xAB

yAB

x

AB

AC

y

AB

z

AB

j

k

AB

yAC

zAC

xAC

zAC

xAC

yAC

xAC

yAC

zAC

Вычислим длину вектора AB ´ AC и возьмем ее половину, которая и будет численно равна искомой площади.

Объем пирамиды вычисляется как одна шестая абсолютной величины смешанного произведения трех векторов, на которых построена пирамида.

Пусть

AB

= {xAB , yAB , zAB } ,

AC

= {xAC , yAC , zAC } ,

AD = {xAD , yAD , zAD }. Следует обратить внимание, что все три

вектора AB, AC и AD здесь выходят из одной точки А. Их смешанное произведение равно:

							xAB	yAB	zAB
(	AB	´	AC	) ×	AD	=	xAC	yAC	zAC	.
							xAD	yAD	zAD

Объем пирамиды V будет равен одной шестой абсолютной величины произведения векторов:

V= 1 ( AB ´ AC) × AD .

6

13

Пример. Даны координаты вершин пирамиды A(0; − 7; 1) ,

B(1; 0; − 7) , C(3; − 5; − 4) , и D(−7; − 5; 0) . Надо средствами

векторной алгебры найти: 1) длину ребра AB; 2) проекцию BA

на BD ; 3) угол между ребрами AB и AD ; 4) площадь грани

ABC ; 5) объем пирамиды.

Решение:

1) Найдем координаты вектора AB

AB = {1 - 0; 0 - (-7); - 7 -1)} = {1; 7; - 8} , тогда длина ребра AB

равна AB = 12 + 72 + (-8)2 = 114 .

2) Найдем координаты векторов BA и BD .

= {-1; - 7; 8} ;

= {-8; - 5; 7} .

BA

BD

Вычислим проекцию BA на BD :

=

×

= -1×(

-8) + (-7) ×(-5) +

8×7 =

99

= пр

BA

BD

пр

BA

BA

BD

ВD

BD

(-8)2 + (-5)2 + 72

138

3) Найдем ÐBAD . Для этого вычислим координаты векто-

ра AD (координаты вектора AB были получены ранее):

= {1, 7, - 8} ,

= {-7 - 0; - 5 - (-7); 0 -1} = {-7; 2; -1} ,

AB

AD

cosÐBAD=

×

=

1×(-7) +7×2 +(-8)×(-1)

15

AB

AD

=

AB

AD

12

+72 +(-8)2 ×

(-7)2 +22 +(-1)2

3 684

ÐBAD = arccos

15

.

3

684

4) Для вычисления площади грани ABC возьмем любые

два вектора, которые образуют эту грань, например AB и AC . Координаты вектора

AC = {3 - 0; - 5 - (-7); - 4 -1} = {3; 2; - 5} .

Найдем векторное произведение AB ´ AC

14

														i				j			k								7			- 8										1	- 8					1 7
					´					=				1 7 - 8												= i												-							+							=
			AB					AC																															j								k
														3			2			- 5									2			- 5										3	- 5					3			2
		= -19i -19														-19
													j							k
										=					1																													=		19		3			.
						S		ABC										(−19)2									+ (−19)2 + (−19) 2
										2																																			2
				5). Координаты векторов AB , AC и AD найдены выше.
Вычислим их смешанное произведение:
												1					7			-8										2		-5								3			-5					3			2
(		´				)×			=			3					2			-5								= 1 ×									-7×								-8×								=114
	AB			AC			AD
												-7 2 -1																		2		-1								-7			-1					-7			2
				Объем пирамиды равен
																				VABCD							=	1					114				=19 .
																											6

ЗАДАНИЕ 3

Для выполнения третьего задания рассмотрим линии первого порядка Ax + By + C = 0 – уравнение прямой в общем виде.

Уравнение прямой, проходящей через сторону АВ треугольника АВС, найдем как уравнение прямой, проходящей через две точки A(xa ; ya ) и B(xв; yв ) :

( AB)	x − xa	=	y − ya	.
	xв - xa yв - ya

Аналогично найдем уравнения сторон AC и BC .

Чтобы написать уравнение медианы AE , вспомним, что точка E делит сторону BC пополам. Найдем координаты точки

E . Если A(xa ; ya ) , С(xc ; yc ) , B(xв; yв ) и E(xe ; ye ) , то

15

x =	xc + xв	,	y =	yc + yв	.
e	2		e	2
Теперь осталось только записать уравнение прямой						AE ,
проходящей через две точки A и E .
Высота AK перпендикулярна стороне BC . Через AK
проведем прямую с угловым коэффициентом kAK :
	y - ya = kAK (x - xa ) .					(19)

Так как AK BC , то из условия перпендикулярности двух прямых имеем

kAK × kBC = -1 .

(20)

Запишем уравнение стороны BC в виде с угловым коэффициентом

y = kBC x + b .

Из этого уравнения определим kBC , а из (20) найдем kAK .

Зная угловой коэффициент прямой AK из (19) получим уравнение перпендикуляра AK .

Длину высоты найдем как расстояние от точки A до прямой BC по формуле:

d = Ax + By + C ,

A2 + B2

где Ax + By + C = 0 – уравнение стороны BC .

Чтобы найти внутренние углы треугольника α , β , γ нужно угловые коэффициенты сторон выписать в порядке убывания: k1 > k2 > k3 , затем вычислить тангенсы углов по формулам:

tgα = k1 - k2 , tgβ = k2 - k3 , tgγ = k3 - k1 .
1 + k1k2	1 + k2 k3	1 + k3 k1

16

Пример. Даны координаты вершин треугольника:

A(4; 0); В(13; 12); С(8; 0) . Требуется найти: 1) уравнение сторон

треугольника; 2) уравнение медианы AE ; 3) длину и уравнение высоты AK ; 4) внутренние углы треугольника ABC .

Решение:

x − 4

y − 0

1) Найдем уравнение стороны

AB :

=

. Запи-

13 - 4 12 - 0

шем уравнение в общем виде: 12x − 9 y − 48 = 0 .

Найдем уравнение AC :

x − 4

=

y − 0

или y = 0 .

8 - 4 0 - 0

Найдем уравнение BC :

x −13

=

y −12

;

т. е.

12x − 5y − 96 = 0 .

8 -13 0 -12

2) Найдем координаты точки E :

=

13 + 8

=

21

=

12 + 0

= 6 ; E

21

xe

; ye

; 6 .

2

2

2

2

Запишем уравнение AE :

x − 4

=

y − 0

,

или 6x − 6, 5y − 24 = 0 .

10, 5 -

4

6 - 0

3) Найдем длину высоты АК

d =

Axa + Bya + C

=

12 × 4 - 5 × 0 - 96

=

48

.

A2 + B2

(-12)2 + 52

13

Придадим уравнению прямой ВС форму уравнения с угло-

вым коэффициентом y =

12

x -

96

, откуда kBC

=

12

.

5

5

5

Угловой

коэффициентом

прямой

АК

равен

kAK =

−1

=

−1

= -

5

.

12

kBC

12

5

Уравнение (АК): y - ya = kAK (x - xa ) ;

17

y − 0 = − 5 (x − 4) ; 12 y + 5x − 20 = 0 . 12

Рис. 1. Чертеж к заданию 3.

4) Запишем уравнения сторон треугольника в виде уравнений прямых с угловыми коэффициентом:

(АС): y = 0 , kAC = 0 .

(АВ): y =		4		x −		16		, k		=	4		.
									AB
3				3						3
(ВС): y =	12		x −		96			, k		=		12		.
									BC
5				5						5

18

tgÐBAC =			kAB − kAC				=				4 3 − 0				=		4			,	ÐBAC = arctg	4		.
		1 + kAB kAC					1				+ 4 3 × 0 3										3
tgÐABC =	kBC - kAB				=			12 5				- 4 3			=			16			, ÐABC = arctg				16		.
1 + kBC kAB							1 +12					5 × 4 3			63						63
tgÐACB =		kBC − kAC				=			12 5 − 0				=			12				,	ÐACB = arctg		12			.
	1 + kBC kAC						1 +12 5 × 0 5														5

ЗАДАНИЕ 4

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром. Расстояние R от точек окружности до центра называется радиусом.

Уравнением окружности радиуса R с центром в начале координат является выражение

x2 + y2 = R2 .

Если центр окружности находится не в начале координат, а в произвольной точке C {x0 ; y0 } , то ее уравнение имеет вид

( x - x )2 + ( y - y	0	)2	= R2 .	(21)
0
Раскрывая скобки в (21) получим
x2 + y2 + ax + by + c = 0 .				(22)

Чтобы от уравнения (22) перейти к (21) нужно применить метод выделения полного квадрата. Рассмотрим алгоритм этих преобразований.

Дана окружность x2 + y2 + ax + by + c = 0 .

(x2 + ax) + ( y2 + by) + c = 0 .

		a		a			2		a			2				b		b			2		b			2
x2	+ 2x		+					-						+ y2	+ 2 y		+					-						+ c = 0 .
	2														2
				2					2									2					2

19

a

a

2

b

b

2

a

2

b

2

x2 + 2

x +

+ y2 + 2

y +

=

+

- c .

2

2

2

2

2

2

a

2

b

2

2

x +

+ y +

= R

,

2

2

2

a

2

b

2

где

R

=

+

- c .

2

2

Получили

уравнение

окружности

с

центром

в т.

a

b

C -

; -

и радиусом R в системе координат ( xoy) .

2

2

Обозначая x +

a

= X ,

а y +

b

= Y

будем иметь уравнение

2

2

окружности в новой системе координат XOY

X 2 + Y 2

= R2 .

Центр ее находится в т. C {0; 0} , радиус равен R.

Пример.

Дано

уравнение

окружности

x2 + y2 + 6x -

−14 y − 42 = 0 . Методом выделения полного квадрата привести его к виду ( x - x0 )2 + ( y - y0 )2 = R2 . Путем параллельного переноса системы координат привести последнее уравнение к виду

X 2 + Y 2 = R2 . Построить обе системы координат, найти в каждой из них центр окружности. Сделать чертеж.

Решение. x2 + y2 + 6x -14 y - 42 = 0 .

(x2 + 6x) + ( y2 -14 y) - 42 = 0

(x2 + 2x ×3 + 32 - 32 ) + ( y2 - 2 y ×7 + 72 - 72 ) - 42 = 0 . (x2 + 2x ×3 + 32 ) + ( y2 - 2 y ×7 + 72 ) = 32 + 72 + 42 .

( x + 3)2 + ( y - 7)2 = 100 .

Центр окружности находится в т. C {-3; 7} , радиус равен

20