- •Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
- •Санкт-Петербург
- •Информация о дисциплине
- •1.1. Предисловие
- •Содержание дисциплины и виды учебной работы
- •Объем дисциплины и виды учебной работы
- •Перечень видов практических занятий и контроля:
- •2. Рабочие учебные материалы
- •2.1. Рабочая программа (объем 150 часов) Введение
- •Раздел 1. Случайные события (50 часов)
- •Тематический план дисциплины для студентов очно-заочной формы обучения
- •Тематический план дисциплины для студентов заочной формы обучения
- •2.3. Структурно-логическая схема дисциплины
- •Математика ч.2. Теория вероятностей и элементы математической статистики Теория
- •Раздел 1 Случайные события
- •Раздел 3 Элементы математической статистики
- •Раздел 2 Случайные величины
- •2.5. Практический блок
- •2.6. Балльно-рейтинговая система
- •Информационные ресурсы дисциплины
- •Библиографический список Основной:
- •3.2. Опорный конспект по курсу “ Математика.Часть 2 Теория вероятностей и элементы математической статистики” введение
- •Раздел 1. Случайные события
- •1.1. Понятие случайного события
- •1.1.1. Сведения из теории множеств
- •1.1.2. Пространство элементарных событий
- •1.1.3. Классификация событий
- •1.1.4. Сумма и произведение событий
- •1.2. Вероятности случайных событий
- •1.2.1. Относительная частота события, аксиомы теории вероятностей. Классическое определение вероятности
- •1.2.2. Геометрическое определение вероятности
- •Вычисление вероятности события через элементы комбинаторного анализа
- •1.2.4. Свойства вероятностей событий
- •1.2.5. Независимые события
- •1.2.6. Расчет вероятности безотказной работы прибора
- •Формулы для вычисления вероятности событий
- •1.3.1. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)
- •1.3.2. Условная вероятность события
- •1.3.4. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Раздел 2. Случайные величины
- •2.1. Описание случайных величин
- •2.1.1. Определение и способы задания случайной величины Одним из основных понятий теории вероятности является понятие случайной величины. Рассмотрим некоторые примеры случайных величин:
- •Чтобы задать случайную величину, надо указать ее закон распределения. Случайные величины принято обозначать греческими буквами ,,, а их возможные значения – латинскими буквами с индексамиxi,yi,zi.
- •Рассмотрим события Ai , содержащие все элементарные события , приводящие к значению XI:
- •Пусть pi обозначает вероятность события Ai :
- •2.1.3. Непрерывные случайные величины
- •2.1.4. Функция распределения и ее свойства
- •2.1.5. Плотность распределения вероятности и ее свойства
- •2.2. Числовые характеристики случайных величин
- •2.2.1. Математическое ожидание случайной величины
- •2.2.2. Дисперсия случайной величины
- •2.2.3. Нормальное распределение случайной величины
- •2.2.4. Биномиальное распределение
- •2.2.5. Распределение Пуассона
- •Раздел 3. Элементы математической статистики
- •Гистограмма
- •3.3. Точечные оценки параметров распределения
- •Основные понятия
- •Точечные оценки математического ожидания и дисперсии
- •3.4. Интервальные оценки
- •Понятие интервальной оценки
- •Построение интервальных оценок
- •Основные статистические распределения
- •Интервальные оценки математического ожидания нормального распределения
- •Интервальная оценка дисперсии нормального распределения
- •Заключение
- •Глоссарий
- •4. Методические указания к выполнению лабораторных работ
- •Библиографический список
- •Лабораторная работа 1 описание случайных величин числовые характеристики
- •Порядок выполнения лабораторной работы
- •Лабораторная работа 2 Основные определения. Систематизация выборки. Точечные оценки параметров распределения. Интервальные оценки
- •Понятие статистической гипотезы о виде распределения
- •Порядок выполнения лабораторной работы
- •Ячейка Значение Ячейка Значение
- •5. Методические указания к выполнению контрольной работы Задание на контрольную работу
- •Пояснения к выполнению контрольной работы События и их вероятности
- •Случайные величины
- •Среднее квадратическое отклонение
- •Элементы математической статистики
- •6. Блок контроля освоения дисциплины
- •Вопросы для экзамена по курсу « Математика.Часть 2. Теория вероятностей и элементы математической статистики»
- •Продолжение таблицы в
- •Окончание таблицы в
- •Равномерно распределенные случайные числа
- •Содержание
- •Раздел 1. Случайные события………………………………………. 18
- •Раздел 2 . Случайные величины ..………………………… ….. 41
- •Раздел 3. Элементы математической статистики ............... . 64
- •4. Методические указания к выполнению лабораторных
- •5. Методические указания к выполнению контрольной
1.2.4. Свойства вероятностей событий
Свойство 1. Если для события A известна его вероятность p(A), то вероятность противоположного события можно найти по формуле
p() =1- p(A). (1.3)
Свойство 2 . Вероятность невозможного события равна 0, т.е.
p() = 0.
Свойство 3. Если справедливо соотношение A B, т.е. событие A влечет событие B, то p ( A) p( B).
Свойство 4 ( теорема сложения).
Для любых событий из алгебры событий A,B U справедливо равенство
p( A+B) = p( A)+ p(B) – p(AB) , ( * )
вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность произведения данных событий.
Свойство 5. Для несовместных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме вероятностей события А и события В:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В). (**)
1.2.5. Независимые события
Рассмотрим определение независимости событий, которое отражает понятие реальной независимости несвязанных событий.
Определение. События называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого.
Пример 1.12. Предположим, что подбрасывают два игральных кубика независимо друг от друга. Пространство элементарных событий состоит из упорядоченных пар чисел (n = 36):
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Рассмотрим два события.
Событие A = { число очков на первом кубике > 4 } состоит из всех пар пятой и шестой строк ( m = 12) и имеет вероятность p(A) = .
Событие B = { число очков на втором кубике < 4 } состоит из всех пар первых трех столбцов (n = 18 ) и имеет вероятность p(B) = . Очевидно, что эти события причинно не связаны друг с другом и независимы в этом смысле.
Найдем вероятность произведения этих событий.
Событие AB состоит из шести пар выпадающих цифр (m = 6 )
{ (5,1) (5,2) (5,3) (6,1) (6,2) (6,3) }
и имеет вероятность p (AB)= . Очевидно, что выполняется равенствоp(AB) = p(A) p(B). Оно отражает независимость событий A и B.
Определение. События A и B называются независимыми, если выполняется равенство p(AB) = p(A) p(B) , (1.4)
т.е. вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. В противном случае события считают зависимыми.
Пример 1.13. (продолжение примера 1.12).
Рассмотрим событие C = {сумма очков равна 8}. Оно состоит из 5 пар
{(2,6) (3,5) (4,4) (5,3) (6,2)}
и имеет вероятность p(C)=.
Событие, которое получается как произведение события A на событие C, состоит из пар {(5,3) (6,2)} и имеет вероятность
p(AC)=.
Так как p(AC) p(A) p(C) = = , то события A и C следует считать зависимыми.
Свойство 6 . Вероятность суммы двух независимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус произведение вероятности события А на вероятность события В, т.е.
p(A +В) = p(A) + р(В) - p(A) p(В). (***)
Примечания:
а) Формулы (*), (**), (***) позволяют вычислить вероятность суммы двух любых событий.
б) Если требуется вычислить вероятность суммы трех и более событий, то вычисление надо производить, введя замену переменных таким образом, чтобы поэтапно свести расчет к вычислению вероятности суммы двух событий.
Например, найти p(A +В +С + D ) = p ( R + K) =p(R )+ p(K ) – p(RK),
где R=A +B, K = C + D. Тогда по формуле 1.3 находим
р(R) =p( A +B ) = p(A) +P(B) – P(AB), p(K) = p(C + D) = p(C) + p(D) – p(CD), значения которых надо подставить в исходную формулу.