- •Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
- •Санкт-Петербург
- •Информация о дисциплине
- •1.1. Предисловие
- •Содержание дисциплины и виды учебной работы
- •Объем дисциплины и виды учебной работы
- •Перечень видов практических занятий и контроля:
- •2. Рабочие учебные материалы
- •2.1. Рабочая программа (объем 150 часов) Введение
- •Раздел 1. Случайные события (50 часов)
- •Тематический план дисциплины для студентов очно-заочной формы обучения
- •Тематический план дисциплины для студентов заочной формы обучения
- •2.3. Структурно-логическая схема дисциплины
- •Математика ч.2. Теория вероятностей и элементы математической статистики Теория
- •Раздел 1 Случайные события
- •Раздел 3 Элементы математической статистики
- •Раздел 2 Случайные величины
- •2.5. Практический блок
- •2.6. Балльно-рейтинговая система
- •Информационные ресурсы дисциплины
- •Библиографический список Основной:
- •3.2. Опорный конспект по курсу “ Математика.Часть 2 Теория вероятностей и элементы математической статистики” введение
- •Раздел 1. Случайные события
- •1.1. Понятие случайного события
- •1.1.1. Сведения из теории множеств
- •1.1.2. Пространство элементарных событий
- •1.1.3. Классификация событий
- •1.1.4. Сумма и произведение событий
- •1.2. Вероятности случайных событий
- •1.2.1. Относительная частота события, аксиомы теории вероятностей. Классическое определение вероятности
- •1.2.2. Геометрическое определение вероятности
- •Вычисление вероятности события через элементы комбинаторного анализа
- •1.2.4. Свойства вероятностей событий
- •1.2.5. Независимые события
- •1.2.6. Расчет вероятности безотказной работы прибора
- •Формулы для вычисления вероятности событий
- •1.3.1. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)
- •1.3.2. Условная вероятность события
- •1.3.4. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Раздел 2. Случайные величины
- •2.1. Описание случайных величин
- •2.1.1. Определение и способы задания случайной величины Одним из основных понятий теории вероятности является понятие случайной величины. Рассмотрим некоторые примеры случайных величин:
- •Чтобы задать случайную величину, надо указать ее закон распределения. Случайные величины принято обозначать греческими буквами ,,, а их возможные значения – латинскими буквами с индексамиxi,yi,zi.
- •Рассмотрим события Ai , содержащие все элементарные события , приводящие к значению XI:
- •Пусть pi обозначает вероятность события Ai :
- •2.1.3. Непрерывные случайные величины
- •2.1.4. Функция распределения и ее свойства
- •2.1.5. Плотность распределения вероятности и ее свойства
- •2.2. Числовые характеристики случайных величин
- •2.2.1. Математическое ожидание случайной величины
- •2.2.2. Дисперсия случайной величины
- •2.2.3. Нормальное распределение случайной величины
- •2.2.4. Биномиальное распределение
- •2.2.5. Распределение Пуассона
- •Раздел 3. Элементы математической статистики
- •Гистограмма
- •3.3. Точечные оценки параметров распределения
- •Основные понятия
- •Точечные оценки математического ожидания и дисперсии
- •3.4. Интервальные оценки
- •Понятие интервальной оценки
- •Построение интервальных оценок
- •Основные статистические распределения
- •Интервальные оценки математического ожидания нормального распределения
- •Интервальная оценка дисперсии нормального распределения
- •Заключение
- •Глоссарий
- •4. Методические указания к выполнению лабораторных работ
- •Библиографический список
- •Лабораторная работа 1 описание случайных величин числовые характеристики
- •Порядок выполнения лабораторной работы
- •Лабораторная работа 2 Основные определения. Систематизация выборки. Точечные оценки параметров распределения. Интервальные оценки
- •Понятие статистической гипотезы о виде распределения
- •Порядок выполнения лабораторной работы
- •Ячейка Значение Ячейка Значение
- •5. Методические указания к выполнению контрольной работы Задание на контрольную работу
- •Пояснения к выполнению контрольной работы События и их вероятности
- •Случайные величины
- •Среднее квадратическое отклонение
- •Элементы математической статистики
- •6. Блок контроля освоения дисциплины
- •Вопросы для экзамена по курсу « Математика.Часть 2. Теория вероятностей и элементы математической статистики»
- •Продолжение таблицы в
- •Окончание таблицы в
- •Равномерно распределенные случайные числа
- •Содержание
- •Раздел 1. Случайные события………………………………………. 18
- •Раздел 2 . Случайные величины ..………………………… ….. 41
- •Раздел 3. Элементы математической статистики ............... . 64
- •4. Методические указания к выполнению лабораторных
- •5. Методические указания к выполнению контрольной
1.2.6. Расчет вероятности безотказной работы прибора
Р
Пример 1.14. Прибор состоит из двух независимо работающих элементов. Вероятность отказа первого элемента равна p1= 0,1, а второго – p2 = 0,2.
Рассмотрим событие A = {прибор откажет работать}.
1) Вычислим вероятность события A, если элементы соединены последовательно,
Решение: Обозначим через A1 событие, которое заключается в том, что откажет элемент А1 = {откажет первый элемент}, и через A2 -
A2 = {откажет второй элемент}.
Тогда данный прибор не будет работать (событие А), если выйдет из строя хотя бы один из элементов (или первый, или второй, или оба не будут работать). Такое состояние прибора можно описать, используя определение суммы событий, т.е. A=A1+A2 . Из теоремы о вероятности суммы двух независимых событий [ формула (***)] получаем
p (A) = p (A1+A2) = p (A1) + p (A2) – p (A1 A2) = p (A1) + p (A2) – p (A1) p (A2) =
= p1+p2 - p1 p2 = 0,1 +0,2 – 0,1*0,2 = 0,28.
Итак, вероятность того, что данный прибороткажет р (А) = 0,28.
Состояние прибора, когда он работает правильно, есть событие А - противоположное событию А, когда прибор откажет.
Тогда, используя свойства вероятности, можно найтивероятность правильной работы А данного прибора по формуле:
р ( ) = 1 – р (А) = 1 – 0,28 = 0,72.
2) Вычислим вероятность отказа прибора (событие А ), если элементы соединены параллельно:
Решение. Данный прибор откажет в том случае, если откажут оба элемента одновременно. Следовательно, отказ прибора в этом случае может быть представлен как произведение событий А1 и А2 , т.е. A=A1A2 . Так как элементы перестают работать независимо друг от друга, то из независимости событий A1 и A2 получаем p(A) = p(A1) p(A2) = p1 p2 = 0,1 * 0,2 = 0,02.
Определение. События A1 A2 An называют взаимно независимыми, если для любой их части выполняется равенство
p() = p() p()p(), (1.5)
1<=i1<i2 <im<=n , m=2, ,n.
Пример 1.15. Прибор состоит из трех последовательно соединенных и независимо работающих друг от друга элементов. Каждый из элементов может быть признан бракованным или стандартным:
Обозначим вероятность того, что первый элемент оказался бракованным,
равной p1, второй элемент бракованный - p2, третий элемент бракованный - p3.
Прибор будем считать бракованным, если хотя бы один из его элементов бракованный. Найти вероятность того, что прибор стандартный.
Решение: Обозначим события
A1 = {первый элемент - стандартный},
A2 = {второй элемент - стандартный },
A3 = {третий элемент - стандартный }
A = {прибор стандартный }.
В данном случае прибор нормально работает в том случае, если все три элемента одновременно работают, т.е. все три элемента, входящие в прибор, стандартные. Тогда работу прибора можно описать как событие А, состоящее из произведения трех независимых событий A=A1*A2*A3 , вероятность которого можно вычислить по формуле вероятности произведения независимых событий
p(A) = p(A1)p(A2)p(A3) =(1 – p1) (1- p2) (1 – p3).
Вероятность отказа прибора (событиеА ) в данном случае есть величина, равная вероятности события, противоположного событию А.
р ( А) = 1 – р (А).
Примечание. Рассмотренные примеры 1.13, 1.14 и 1.15 являются аналогом решения контрольной задачи №3 (первого пункта задания) из методических указаний для выполнения контрольных работ.
Рассмотрим некоторые свойства независимых событий.
Свойство7. Если A и B независимы, то иB независимы.
Свойство 8. Если событие A не зависит от событий B1 и B2, а события B1 и B2 несовместны, тогда события A и B1+ B2 независимы.
Свойство 9. Если события A, A1 и A2 взаимно независимы, тогда события A и A1+ A2 независимы.
Вопросы для самопроверки
В чем заключается геометрический подход к вычислению вероятности?
Чему равна вероятность суммы двух противоположных событий?
Перечислите основные свойства вероятности события.
Что такое независимые события?