- •Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
- •Санкт-Петербург
- •Информация о дисциплине
- •1.1. Предисловие
- •Содержание дисциплины и виды учебной работы
- •Объем дисциплины и виды учебной работы
- •Перечень видов практических занятий и контроля:
- •2. Рабочие учебные материалы
- •2.1. Рабочая программа (объем 150 часов) Введение
- •Раздел 1. Случайные события (50 часов)
- •Тематический план дисциплины для студентов очно-заочной формы обучения
- •Тематический план дисциплины для студентов заочной формы обучения
- •2.3. Структурно-логическая схема дисциплины
- •Математика ч.2. Теория вероятностей и элементы математической статистики Теория
- •Раздел 1 Случайные события
- •Раздел 3 Элементы математической статистики
- •Раздел 2 Случайные величины
- •2.5. Практический блок
- •2.6. Балльно-рейтинговая система
- •Информационные ресурсы дисциплины
- •Библиографический список Основной:
- •3.2. Опорный конспект по курсу “ Математика.Часть 2 Теория вероятностей и элементы математической статистики” введение
- •Раздел 1. Случайные события
- •1.1. Понятие случайного события
- •1.1.1. Сведения из теории множеств
- •1.1.2. Пространство элементарных событий
- •1.1.3. Классификация событий
- •1.1.4. Сумма и произведение событий
- •1.2. Вероятности случайных событий
- •1.2.1. Относительная частота события, аксиомы теории вероятностей. Классическое определение вероятности
- •1.2.2. Геометрическое определение вероятности
- •Вычисление вероятности события через элементы комбинаторного анализа
- •1.2.4. Свойства вероятностей событий
- •1.2.5. Независимые события
- •1.2.6. Расчет вероятности безотказной работы прибора
- •Формулы для вычисления вероятности событий
- •1.3.1. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)
- •1.3.2. Условная вероятность события
- •1.3.4. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Раздел 2. Случайные величины
- •2.1. Описание случайных величин
- •2.1.1. Определение и способы задания случайной величины Одним из основных понятий теории вероятности является понятие случайной величины. Рассмотрим некоторые примеры случайных величин:
- •Чтобы задать случайную величину, надо указать ее закон распределения. Случайные величины принято обозначать греческими буквами ,,, а их возможные значения – латинскими буквами с индексамиxi,yi,zi.
- •Рассмотрим события Ai , содержащие все элементарные события , приводящие к значению XI:
- •Пусть pi обозначает вероятность события Ai :
- •2.1.3. Непрерывные случайные величины
- •2.1.4. Функция распределения и ее свойства
- •2.1.5. Плотность распределения вероятности и ее свойства
- •2.2. Числовые характеристики случайных величин
- •2.2.1. Математическое ожидание случайной величины
- •2.2.2. Дисперсия случайной величины
- •2.2.3. Нормальное распределение случайной величины
- •2.2.4. Биномиальное распределение
- •2.2.5. Распределение Пуассона
- •Раздел 3. Элементы математической статистики
- •Гистограмма
- •3.3. Точечные оценки параметров распределения
- •Основные понятия
- •Точечные оценки математического ожидания и дисперсии
- •3.4. Интервальные оценки
- •Понятие интервальной оценки
- •Построение интервальных оценок
- •Основные статистические распределения
- •Интервальные оценки математического ожидания нормального распределения
- •Интервальная оценка дисперсии нормального распределения
- •Заключение
- •Глоссарий
- •4. Методические указания к выполнению лабораторных работ
- •Библиографический список
- •Лабораторная работа 1 описание случайных величин числовые характеристики
- •Порядок выполнения лабораторной работы
- •Лабораторная работа 2 Основные определения. Систематизация выборки. Точечные оценки параметров распределения. Интервальные оценки
- •Понятие статистической гипотезы о виде распределения
- •Порядок выполнения лабораторной работы
- •Ячейка Значение Ячейка Значение
- •5. Методические указания к выполнению контрольной работы Задание на контрольную работу
- •Пояснения к выполнению контрольной работы События и их вероятности
- •Случайные величины
- •Среднее квадратическое отклонение
- •Элементы математической статистики
- •6. Блок контроля освоения дисциплины
- •Вопросы для экзамена по курсу « Математика.Часть 2. Теория вероятностей и элементы математической статистики»
- •Продолжение таблицы в
- •Окончание таблицы в
- •Равномерно распределенные случайные числа
- •Содержание
- •Раздел 1. Случайные события………………………………………. 18
- •Раздел 2 . Случайные величины ..………………………… ….. 41
- •Раздел 3. Элементы математической статистики ............... . 64
- •4. Методические указания к выполнению лабораторных
- •5. Методические указания к выполнению контрольной
2.2. Числовые характеристики случайных величин
2.2.1. Математическое ожидание случайной величины
Закон распределения случайной величины является наиболее полной ее характеристикой. Он одновременно указывает и на значение случайной величины и на его вероятность. Однако часто в теории вероятностей и в ее приложениях большую роль играют постоянные числа, которые можно получить, используя законы распределения. В этом параграфе рассмотрим математическое ожидание или среднее значение случайной величины.
Пусть обозначает дискретную случайную величину с рядом распределения
xi x1 x2 ,…, xn,…
pi p1 p2 ,…, pn,…
Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений возможных значений xi на соответствующие им вероятности pi. Будем обозначать математическое ожидание как M(). Тогда можно написать, что математическое ожидание вычисляется по формуле
M()=x1 p1 +x2 p2 +… xn pn +…= , (2.15)
если числовой ряд сходится абсолютно. Если числовой ряд (2.15) расходится или сходится условно, то в этом случае математическое ожидание случайной величины не существует.
Пример 2.6. Найдем среднее число очков при одном подбрасывании правильного кубика. Используя ряд распределения из примера 2.3
xi 1 2 3 4 5 6
pi
по формуле (2.15) находим математическое ожидание
M()=1*+2* + 3* + 4*+ 5* + 6*=3,5.
Пример 2.7. Найдем среднее число суммы очков на двух кубиках.
Используя ряд распределения
η 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
pi ,
получаем
M()=2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12==7.
Пусть обозначает непрерывную случайную величину с плотностью вероятности f(x).
Определение. Математическим ожиданием M() абсолютно непрерывной случайной величины называется величина, равная
, (2.16)
если этот несобственный интеграл сходится абсолютно. В противном случае математическое ожидание случайной величины не существует.
Пример 2.8. Пусть случайная величина имеет равномерный закон распределения. В этом случае плотность вероятности f(x) имеет вид
. (2.17)
Тогда по формуле (2.16) получаем формулу для вычисления математического ожидания равномерно-распределенной случайной величины M()==++==.
Пусть обозначает дискретную случайную величину с рядом распределения
xi x1 x2 ,…, xn,…
pi p1 p2 ,…, pn,… ,
и g(x) – некоторая функция переменной x. Новая случайная величина η = g(ξ) будет дискретной случайной величиной с рядом распределения
g(xi)
pi p1 p2 , …, pn… ,
причем вероятности этих значений остаются теми же, что и для случайной величины , а значениями будут числа g(xi). Тогда математическое ожидание случайной величины η = g(ξ) можно вычислить по формуле
. (2.18)
Пусть обозначает случайную величину с плотностью вероятности f(x). Тогда математическое ожидание случайной величины η = g(ξ) можно вычислить по формуле
, (2.19)
если несобственный интеграл сходится абсолютно.
Определение. Математическое ожидание дискретной случайной величины определяется формулой
, (2.20)
если числовой ряд (2.20) сходится абсолютно.
Свойства математического ожидания
1. Если случайная величина принимает только одно значение =C, то M(C)=C.
2. При умножении случайной величины на постоянное число С математическое ожидание случайной величины умножается на это же число, т.е. справедливо равенство M(C)=CM().
3. Свойство линейности. При сложении случайных величин математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий, т.е. справедливо равенство M(+)=M()+M().
В частности, M(+C)=M()+C.
4. Мультипликативное свойство. Если случайные величины , независимы, то M()=M()M().