5. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задание на контрольную работу
В контрольной работе студенту надо выполнить четыре задачи ( по одной из каждого задания), при этом номера задач нужно выбрать в соответствии с последней и предпоследней цифрами шифра, а также первой буквой фамилии как показано в приведенной ниже таблице.
Посл. |
цифра |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
шифра |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
№.задач |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Предпосл. |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
цифра шифра |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ задач |
|
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
Первая |
буква |
А,И,Т |
Б,О, |
В,М |
Г,Ф. |
Д,З |
Е, Н |
Ж,С, |
К,Э |
П,Щ |
У,Ш, |
фамилии |
|
|
Ц |
|
Ч |
Л,Х |
25 |
Р |
|
|
Ю,Я |
№ задач |
|
30 |
29 |
28 |
27 |
26 |
24 |
23 |
22 |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 1
1.Бросаются три игральных кубика. Найти вероятности событий:
А– на всех кубиках одинаковое число очков;
B – на всех кубиках выпало в сумме три очка;
С– на всех кубиках выпало в сумме более трех очков.
2.Бросаются три игральных кубика. Найти вероятности событий: А – на всех кубиках в сумме выпало ровно четыре очка;
B – на всех кубиках в сумме выпало не менее четырех очков;
С– на всех кубиках в сумме выпало более четырех очков.
130
3. В коробке лежат 5 красных шаров, 6 синих и 3 желтых шара. Из коробки наугад вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что при трехразовом изъятии шаров окажутся вынутыми в 1- ый раз – желтый шар, во 2-ой раз – красный шар и в 3-ий раз – синий шар.
4. В каждой из трех коробок находится по три белых и пять красных шаров. Из каждой коробки наудачу вынимается по одному шару, не возвращая назад. Найти вероятности событий:
А– все шары белые;
В– только один шар белый;
С– хотя бы один шар белый.
5.В каждой из трех коробок находится по три белых и пять красных шаров. Из каждой коробки наудачу вынимается по одному шару. Найти вероятности событий:
А– все шары красные;
В – только один шар красный;
С– хотя бы один шар красный.
6.На сборку поступило десять деталей, среди которых четыре бракованные. Сборщик на удачу берет три детали. Найти вероятности событий: А – все взятые детали стандартные;
В – только одна деталь среди взятых стандартная;
С– хотя бы одна из взятых деталей стандартная.
7.На сборку поступило десять деталей, среди которых четыре бракованные. Сборщик наудачу берет три детали. Найти вероятности событий: А – все взятые детали бракованные;
В – только одна деталь среди взятых бракованная;
С – хотя бы одна из взятых деталей бракованная.
131
8.В группе спортсменов два мастера спорта, шесть кандидатов в мастера
ивосемь перворазрядников. По жребию выбирается четыре спортсмена. Найти вероятности событий:
А– все четыре выбранные спортсмена оказались перворазрядниками;
В – среди выбранных спортсменов хотя бы один оказался перворазрядником;
С – среди выбранных спортсменов ровно половина оказалась перворазрядниками.
9.В группе спортсменов два мастера спорта, шесть кандидатов в мастера
ивосемь перворазрядников. По жребию выбирается четыре спортсмена. Найти вероятности событий:
А– все четыре выбранные спортсмена оказались кандидатами в мастера спорта;
В– среди выбранных спортсменов хотя бы один оказался кандидатом в мастера спорта;
С – среди выбранных спортсменов оказалось два мастера спорта и два кандидата в мастера спорта.
10. В ящике находятся 30 деталей, выполненных первым рабочим, 40 деталей, изготовленных вторым рабочим и 50 деталей, сделанных третьим рабочим. Известно, что брак, который рабочие могут допустить при работе, составляет 10%, 20% и 30% соответственно для каждого рабочего.
Найти вероятность того, что одна деталь, вынутая из ящика. окажется бракованной.
Задание 2
11.Известна плотность вероятности случайной величины
1−х2−4х−4
=
4.5π е 4.5 .f (x)
132
Найти её математическое ожидание, дисперсию; по строить кривую вероятности; найти вероятности событий: А – случайная величина примет только положительные значения; В – случайная величина попадает в интервал, длиной в два средних квадратических отклонения, симметричный относительно математического ожидания.
12. Случайная величина распределена по нормальному закону; среднее квадратическое отклонение её равно 5 , P{X<3}=0.2. Найти математическое ожидание, дисперсию; построить кривую вероятности; найти вероятность события: А – случайная величина попадает в интервал (m+σ; m+2σ).
13. Случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием m=-3, и известно, что P{X>3}=0.15. Найти её дисперсию; построить кривую вероятности; вычислить вероятность того, что случайная величина будет принимать отрицательные значения.
14. Плотность вероятности случайной величины
f (x)= 1 |
е |
8 |
|
|
|
−х2 |
−3х−2.25 |
8π .
Найти математическое ожидание случайной величины, её дисперсию; построить кривую вероятности; найти вероятности событий: А – случайная величина примет значение меньше 1, В – случайная величина примет значения, большие, чем ( –2).
15. Случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 5 и вероятностью попадания в интервал (7;∞) равной 0,4. Найти её дисперсию; построить кривую вероятности; вычислить вероятность попадания в интервал (m-σ; m+σ).
16. Случайная величина распределена по нормальному закону с σ = 8,
вероятность попадания в интервал (-∞;4) равна 0,3. Найти её математическое ожидание, дисперсию; построить кривую вероятности; вычислить вероятности
133
событий: А – случайная величина принимает положительные значения, В – случайная величина попадает в интервал длиной четыре средних квадратических отклонения., симметричный относительно математического ожидания,
17. Плотность вероятности случайной величины
f ( x) = 501 π
−х2 +6 х−9
е50 .
Найти её математическое ожидание, дисперсию; построить кривую вероятности; найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который равна 0,8.
18.Случайная величина распределена по нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ = 5 и вероятностью принять значение больше 10 равной 0,4. Найти её математическое ожидание, дисперсию; построить кривую вероятности; найти вероятность попадания случайной величины в интервал (-2;8).
19.Математическое ожидание случайной величины, распределенной по нормальному закону, равно –2, а вероятность попадания значений случайной величины в интервал |η + 2| < 4 равна 0,4. Найти её дисперсию; построить кривую вероятности; вычислить вероятности событий : А – случайная величина
примет значение большее, чем m + σ, В – случайная величина примет отрицательные значения.
20. Плотность вероятности случайной величины имеет вид:
f (x) = 181 π
−х2 +4 х−4
е18 .
Найти её математическое ожидание, дисперсию, построить кривую вероятности; найти вероятности событий: А – случайная величина примет только отрицательные значения, В – случайная величина попадает в интервал
134
длиной в три средних квадратических отклонения, симметричный относительно математического ожидания.
Задание 3
В заданиях 21 – 30 рассматривается прибор, состоящий из двух независимо работающих блоков А и В, каждый из которых состоит из нескольких элементов. Известны вероятности отказов каждого из элементов: p1=0.3, p2=0.2, p3=0.1, p4=0.1, p5=0.2, p6=0.2, p7=0.3. При отказе блока он подлежит полной замене, причем стоимость замены блока А составляет С1, блока В – С2 единиц стоимости. Предполагается, что за период времени Т замененный блок не выйдет ещё раз из строя.
1.Найти случайную величину η – стоимость восстановления прибора за период времени Т:
1.1.построить её ряд и функцию распределения;
1.2.вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
2.Построить модель найденной случайной величины для двадцати приборов (методом жребия получить её 20 значений):
2.1.найти экспериментальные ряд и функцию распределения;
2.2.найти оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения;
2.3.построить графики теоретического и экспериментального ряда и функции распределения.
3.С помощью критерия Пирсона оценить соответствие экспериментального распределения теоретическому при уровне значимости α = 0,05.
Замечание. Расчеты произвести с точностью до четырех знаков после запятой
135
136
Задание 4
В четвертом задании предполагается, что случайная величина распределена по нормальному закону. По выборке объёмом n=20 вычислены оценки математического ожидания m * и дисперсии s 2 . При заданной доверительной вероятности β найти предельную ошибку оценки математического ожидания и дисперсии. Определить, какими будут эти величины, если при выборке объёмом n=40 получены такие же величины оценок. Исходные величины следует взять из таблицы, приведенной ниже.
Последняя |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
цифра шифра |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m* |
-2 |
-3 |
-4 |
-1 |
-5 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
-6 |
|
s 2 |
0,8 |
0,9 |
0,7 |
0,6 |
0,3 |
0,5 |
0,4 |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предпоследняя |
0; 5 |
1; 6 |
2; 7 |
3; 8 |
4; 9 |
|
|
|
|
|
|
цифра шифра |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доверительная |
0,9 |
0,95 |
0,98 |
0,99 |
0,999 |
|
|
|
|
|
|
вероятность β |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
137