Лекция 3. Прямая на плоскости

Лекция3. Прямая линия на плоскости.

Одной из важных задач в математике является задача определения положения точки. Эта задача решается разными способами. Один способ хорошо известен из школьной программы. Это определение положения точки с помощью декартовой системы координат.

Для этого на плоскости фиксируются две взаимно перпендикулярные числовые оси. Горизонтальная ось OX -ось абсцисс и вертикальная ось OY -ось ординат. Точка пересечения О этих осей называется началом координат. Плоскость, на которой введена система координат, называется координатной плоскостью.

На координатной плоскости OXY возьмем

произвольную точку M 0 и проведём через неё

У1

M 0 прямые параллельные координатным осям.

Пересечение прямой с осью OX даёт нам единственное число x1 , а пересечение прямой с осью OY даёт нам единственное число y1 .

Х1

Обратно, если задана пара чисел x1; y1 , x1 OX , y1 OY ,то из рис.1 видно, что она определяет единственную точку M 0 .

рис.1

Определение 1.1. Упорядоченная пара чисел x1; y1 , определяющая положение точки M 0 на координатной плоскости называется прямоугольными декартовыми координатами точки. Число x1 называют абсциссой точки, а число y1 ординатой точки M 0 . Произвольную точку на координатной плоскости будем обозначать так M x; y . Каждая точка M имеет свои координаты и наоборот каждая пара координат x; y задаёт одну определённую точку. Каждое правило

теперь может быть сформулировано на двух разных языках: 1) на геометрическом языке и 2)на аналитическом языке (языке координат)

Например, задать точку на координатной плоскости это значит: 1) либо обозначить её на плоскости, 2) либо задать её координаты. Найти точку это значит: 1) либо найти её положение на координатной плоскости, 2) либо найти её координаты. Если задавать абсциссу x и ординату y

точки M независимо друг от друга, то на координатной плоскости получим совершенно произвольные расположения точек M . Если же координаты x и y связаны между собой определённым правилом, то меняя их по этому правилу, получаем на плоскости кривую, состоящую из этих точек.

Например, если сумма квадратов координат равна 1 x2 y2 1, то получаем уравнение окружности радиуса 1. На практике различные расчёты с геометрическими объектами производятся в координатах. Затем, если это нужно, полученные результаты переводятся для

0; 0

наглядности на геометрический язык. На языке координат задать линию значит задать правило связывающее между собой ординату y и абсциссу x . Такое правило называется уравнением

линии в координатной плоскости.

ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙСДВИГ ОСЕЙ КООРДИНАТ.

Y

Y

y y

M

		x
y0
	O				X
		x
O	x0				X

ПУСТЬ ТОЧКА O В СИСТЕМЕ КООРДИНАТ XOY ИМЕЕТ КООРДИНАТЫ (x0 ; y0 ) . ПОМЕСТИМ НАЧАЛО НОВОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ X O Y В ТОЧКУ O . ОСЬ O X

НАПРАВИМ ПАРАЛЛЕЛЬНО ОСИ OX , А ОСЬ O Y

ПАРАЛЛЕЛЬНО ОСИ OY . ТОГДА В НОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ X O Y ТОЧКА O БУДЕТ ИМЕТЬ КООРДИНАТЫ

(РИС.13) . ЕСЛИ ТЕПЕРЬ НА ПЛОСКОСТИ РАССМОТРИМ

ПРОИЗВОЛЬНУЮ ТОЧКУ M , ИМЕЮЩУЮ В СТАРОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ XOY КООРДИНАТЫ x; y , ТО В НОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ ТОЧКА БУДЕТ ИМЕТЬ КООРДИНАТЫ

	x x0 , y		y y0	(1.1)
x

ПЕРЕХОД ОТ КООРДИНАТНОЙ СИСТЕМЫ XOY К СИСТЕМЕ

X O Y НАЗОВЕМ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ СДВИГОМ ОСЕЙ КООРДИНАТ (РИС.).

Найдем уравнение простейшей линии, которая, тем не менее, играет одну из важных ролей в математике.

Вывод уравнения прямой линии и исследование прямой линии на координатной плоскости.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. УГОЛ НАКЛОНА ПРЯМОЙ К ОСИ ОХ ИЗМЕРЯЕТСЯ ПОВОРОТОМ (вокруг точки Р) ПРОТИВ ЧАСОВОЙ СТРЕЛКИ ОСИ

ОХ ДО СОВПАДЕНИЯ С ПРЯМОЙ. РИС.2

Р

РИС.2

ПРАВИЛО 1.1. ЕСЛИ ЧЕРЕЗ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ НА ПРЯМОЙ ПРОВЕСТИ ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, ТО ВСЕ ПОЛУЧЕННЫЕ УГЛЫ БУДУТ РАВНЫ ( КАК УГЛЫ С ВЗАИМНО ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ СТОРОНАМИ) УГЛУ НАКЛОНА ПРЯМОЙ К ОСИ ОХ. РИС.3.

РИС.3

ПУСТЬ ЗАДАНА ПРОИЗВОЛЬНАЯ НЕВЕРТИКАЛЬНАЯ ПРЯМАЯ. ВОЗЬМЁМ НА НЕЙ ДВЕ ТОЧКИ. ФИКСИРОВАННУЮ

ТОЧКУ M 0

С КООРДИНАТАМИ x0 ; y0 И ПЕРЕМЕННУЮ ТОЧКУ M С КООРДИНАТАМИ x; y . ПРОВЕДЁМ ЧЕРЕЗ

ТОЧКУ M 0

ГОРИЗОНТАЛЬНУЮ ПРЯМУЮ, А ЧЕРЕЗ ТОЧКУ M ВЕРТИКАЛЬНУЮ ПРЯМУЮ. ТРЕУГОЛЬНИК

M0 MK

MK

M

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ. ОТНОШЕНИЕ

ЧИСЛЕННО РАВНО ТАНГЕНСУ УГЛА

M 0 K

MK

y y0

M

(РИС.4). ПЕРЕХОДЯ К КООРДИНАТАМ ПОЛУЧАЕМ

=

M

0

K

x x

K

0

tg . ТАК КАК СОГЛАСНО ПРАВИЛУ 1.1

УГОЛ РАВЕН УГЛУ НАКЛОНА

ПРЯМОЙ К ОСИ ОХ, ТО КАКУЮ БЫ ТОЧКУ M НА ПРЯМОЙ НИ ВЗЯТЬ

ВЕЛИЧИНА tg БУДЕТ ДЛЯ ДАННОЙ ПРЯМОЙ ПОСТОЯННОЙ. ЭТУ

ВЕЛИЧИНУ НАЗЫВАЮТ УГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ДАННОЙ ПРЯМОЙ И

ОБЫЧНО ОБОЗНАЧАЮТ БУКВОЙ k

k

y y0

(1.2)

x x

0

или

k tg

(1.3)

рис.4.

ПРИМЕР 1.1 НАЙТИ УГЛОВЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ, ПРОХОДЯЩИХ ЧЕРЕЗ ТОЧКИ

1) M1 1;3 , M2 2;5 ; 2) M1 1;3 , M2 2;1 ; 3) M1 2; 3 , M2 1; 3 ;

РЕШЕНИЕ. 1) ВЫЧИСЛЯЕМ ПРИРАЩЕНИЯ ОРДИНАТЫ y И АБСЦИССЫ x

y y2 y1 5 3 2; x x2 x1 2 1 2 1 3. ПО ФОРМУЛЕ (1.1) ОПРЕДЕЛЯЕМ УГЛОВОЙ

КОЭФФИЦИЕНТ НАКЛОНА ПРЯМОЙ а) k 32 1,5 . 2) АНАЛОГИЧНО ОПРЕДЕЛЯЕМ УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ

ВТОРОЙ ПРЯМОЙ k					y2 y1					1 3		2	. 3) УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ ТРЕТЬЕЙ ПРЯМОЙ
					x	x				2 1		3
					2	1
k	y2 y1			3 3			0	0 .
				1 2
	x	x				1
2		1

ДАННЫЙ ПРИМЕР ПОКАЗЫВАЕТ, ЧТО УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ МОЖЕТ БЫТЬ ЛИБО ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ, ЛИБО ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ, ЛИБО РАВНЫМ НУЛЮ.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ УГЛОВОГО КОЭФФИЦИЕНТА УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ.

ЕСЛИ УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ k 0 , то угол наклона прямой к оси ОХ тупой .

ЕСЛИ УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ k 0 , то угол наклона прямой к оси ОХ острый .

ЕСЛИ УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ k 0 , ТО ПРЯМАЯ ЛИНИЯ ГОРИЗОНТАЛЬНА.

ПРАВИЛО 1.2.

a) ДВЕ ПРЯМЫЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА ЕСЛИ ИХ УГЛОВЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ РАВНЫ

k1 k2 .

b) ЕСЛИ ( НЕВЕРТИКАЛЬНАЯ И НЕГОРИЗОНТАЛЬНАЯ) ПРЯМАЯ ИМЕЕТ УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ

НАКЛОНА k , ТО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ К НЕЙ ПРЯМАЯ ИМЕЕТ УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ НАКЛОНА

1

k

.Доказательство. ПУНКТ а) ПРАВИЛА ОЧЕВИДЕН (СМ. ПРАВИЛО1.1).

Докажем b ). ПУСТЬ ПРЯМАЯ AB С УГЛОВЫМ

КОЭФФИЦИЕНТОМ k перпендикулярна прямой AC С УГЛОВЫМ

КОЭФФИЦИЕНТОМ k1 . Угловой коэффициент наклона

прямой AB : равен k tg , а угловой коэффициент

D

A

наклона прямой AC : k1 tg 1 . В любом треугольнике

1

всякий внешний угол равен сумме двух внутренних углов

B

не смежных с ним (РИС.5).

рис.5.

Отсюда внешний угол ABC равен BAC . Поэтому угловой коэффициент
		1		2
					1		1		1
наклона прямой AC равен: k1	tg 1	tg		ctg				k		; Пункт
					tg
			2				k		k1

b) правила1.2 доказан.

СЛЕДУЮЩЕЕ ПРАВИЛО ПОЗВОЛЯЕТ ВЫЧИСЛЯТЬ УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ ЛИНИЯМИ.

ПРАВИЛО 1.3 . ОБОЗНАЧИМ ОСТРЫЙ УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ L1 имеющей угловой коэффициент k1

И ПРЯМОЙ L2 имеющей угловой коэффициент k2

ЧЕРЕЗ . ТОГДА СПРАВЕДЛИВА ФОРМУЛА:

tg

k2 k1

(1.4)

1 k k

1

2

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В ЛЮБОМ ABC ВСЯКИЙ ВНЕШНИЙ УГОЛ

РАВЕН СУММЕ ДВУХ ВНУТРЕННИХ НЕ СМЕЖНЫХ С НИМ.

ОБОЗНАЧИМ DCB 2 ; CAB 1 ; ABC

B

СЛЕДОВАТЕЛЬНО ( СМ. РИС.6) 2

1 . ВЫЧИСЛИМ ТАНГЕНС

ОТ ОБЕИХ ЧАСТЕЙ РАВЕНСТВА

A

tg 2 tg 1

tg k2 k1

D

tg tg tg

2

1

C

1 tg 2 tg 1

1 k1k2

РИС.6

ЧТОБЫ ВЫЧИСЛИТЬ ОСТРЫЙ УГОЛ НУЖНО ФОРМУЛУ СПРАВА БРАТЬ ПО МОДУЛЮ. ПРАВИЛО 1.3 ДОКАЗАНО.

ПРИМЕР 1.3 ИСПОЛЬЗУЯ ПРАВИЛО 1.2 ДОКАЗАТЬ, ЧТО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК M1M2M3M4

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ, ГДЕ M1 0;0 , M2 1;1 , M3 3;1 , M4 2;0 .

РЕШЕНИЕ. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ ЭТО ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК, У КОТОРОГО ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ СТОРОНЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ.

ВЫЧИСЛИМ НАКЛОНЫ ПРЯМЫХ M1M2 , M2M3 , M3M4 , M1M4
угловой коэффициент прямой М	М		равен k			y2	y1					1	0			1;
		2
1			12			x2	x1			1			0
угловой коэффициент прямой М	М		равен k		y3		y4					0 1				1	1
		4
3			34			x3	x4					2 3				1

ТАК КАК k12 k34 , то по правилу 1.2 пункт а) сторона M1M2 параллельна стороне M3M4 . Далее

угловой коэффициент прямой М			М			равен k				y3		y2					1		1		0;
	2				3		23
										x3		x2		3					1
угловой коэффициент прямой М		М				равен k			y1		y4					0		0		0.
	1			4
						14			x1		x4			0				2

k23 k14 отсюда следует, что сторона M2 M3 параллельна стороне M1M4 . Что и требовалось

доказать.

ПРИМЕР 1.4. ВЫЧИСЛИТЬ УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ ЛИНИЯМИ, ИМЕЮЩИМИ СООТВЕТСТВУЮЩИЕ УГЛОВЫЕ

КОЭФФИЦИЕНТЫ: 1) k 4, k		0.25;	2) k		3	, k		2; 3) k	2; k		0.5;
	2						2			2
1			1		2			1

РЕШЕНИЕ. В ПЕРВОМ ПРИМЕРЕ УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ k1 4 , k2 0, 25 k2 14 . ТАК КАК

k1 1 , ТО ПО ПРАВИЛУ 1.2 в) ДАННЫЕ ПРЯМЫЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ. ВО ВТОРОМ ПРИМЕРЕ

k2

k1 32 , k2 2 . Тангенс острого угла вычисляем по формуле(1.3)

										3		( 2)
tg	k k									2									7	используя калькулятор arctg	7	600
		1	2
	1	k k							1			3		2					4		4
		1		2								2

В ТРЕТЬЕМ ПРИМЕРЕ tg 0.75 370 .

УРАВНЕНИЯ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ НА ПЛОСКОСТИ.

УРАВНЕНИЕ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПРЯМОЙ ЛИНИИ,

ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ M x0 ; y0 , ИМЕЕТ ВИД

x x0

(1.5)

ТАК КАК СОСТОИТ ИЗ ТОЧЕК, У КОТОРЫХ АБСЦИССА ПОСТОЯННА И РАВНА x0 (РИС.7) . ТАКАЯ ПРЯМАЯ ПАРАЛЛЕЛЬНА ОСИ ОУ.

РИС.7
УРАВНЕНИЕ НЕВЕРТИКАЛЬНОЙ ПРЯМОЙ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.
ЕСЛИ НЕВЕРТИКАЛЬНАЯ ПРЯМАЯ ЛИНИЯ ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ ДВЕ ТОЧКИ M0 x0 ; y0 И	M x; y . ТОГДА УГЛОВОЙ
КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ РАВЕН

	k	y y0	ДЛЯ ЛЮБОЙ ТОЧКИ M x; y			ЛЕЖАЩЕЙ НА ДАННОЙ ПРЯМОЙ.
		x x
	0
	УМНОЖАЯ ОБЕ ЧАСТИ РАВЕНСТВА k			y y0	НА МНОЖИТЕЛЬ ( x x		), ПОЛУЧАЕМ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
				x x0		0
			y y0 k x x0				(1.6)

УРАВНЕНИЕ (1.6) НАЗЫВАЕТСЯ УРАВНЕНИЕМ ПРЯМОЙ ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ M0 x0 ; y0 С УГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ k .

ЗАМЕЧАНИЕ. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ (1.6) ПОКАЗЫВАЕТ НАМ, ЧТО ПРЯМАЯ ЛИНИЯ ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ

M x0 ; y0 и ЧТО ТАНГЕНС УГЛА НАКЛОНА ПРЯМОЙ К ОСИ ОХ ЧИСЛЕННО РАВЕН УГЛОВОМУ КОЭФФИЦИЕНТУ k .

УРАВНЕНИЕ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПРЯМОЙ
ЕСЛИ УГОЛ НАКЛОНА ПРЯМОЙ РАВЕН 0 0	И ПОЭТОМУ k 0, ТО ИЗ
УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ (1.6) ПОЛУЧАЕМ УРАВНЕНИЕ
y y0 0	(1.7)

ПРЯМАЯ СОСТОИТ ИЗ ТОЧЕК, У КОТОРЫХ ОРДИНАТА ПОСТОЯННА И РАВНА y0 . ТАКАЯ ПРЯМАЯ ПАРАЛЛЕЛЬНА ОСИ ОХ ( РИС. 8).

РИС.8

СПЕЦИАЛЬНЫЕ СЛУЧАИ ЗАДАНИЯ УРАВНЕНИЙ ПРЯМОЙ ЛИНИИ.

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ В ОТРЕЗКАХ.

ЕСЛИ ПРЯМАЯ ЛИНИЯ ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ ТОЧКИ M1 0;b , M2 a;0 , ЛЕЖАЩИЕ НА ОСЯХ ОУ И ОХ

СООТВЕТСТВЕННО, ТО УРАВНЕНИЕ (1.6) МОЖНО ПРЕОБРАЗОВАТЬ К ВИДУ

	x		y	1	(1.8)
	a		b

УРАВНЕНИЕ ТАКОГО ВИДА НАЗЫВАЮТ УРАВНЕНИЕМ ПРЯМОЙ В ОТРЕЗКАХ, ТАК КАК ПРЯМАЯ ЛИНИЯ ОТСЕКАЕТ НА ОСЯХ ОХ И ОУ ОТРЕЗКИ ДЛИНОЙ a и b СООТВЕТСТВЕННО.

ВСЕ РАССМОТРЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ МОЖНО ПРЕОБРАЗОВАТЬ В УРАВНЕНИЕ

Ax By C 0	(1.9)
ПОЭТОМУ ЭТО УРАВНЕННИЕ НАЗЫВАЮТ ОБЩИМ УРАВНЕНИЕМ ПРЯМОЙ.
ПРИМЕР 1.5. ЗАПИСАТЬ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ y 2 3(x 1) В ВИДЕ :	1) ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ,

2) УРАВНЕНИЯ В ОТРЕЗКАХ .

РЕШЕНИЕ. 1) РАСКРОЕМ СКОБКИ В ЗАДАННОМ УРАВНЕНИИ И ПОЛУЧИМ y 3x 5. ПЕРЕНОСЯ СЛАГАЕМЫЕ В ЛЕВУЮ ЧАСТЬ, ПОЛУЧАЕМ ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ 3x y 5 0 . РАЗДЕЛИМ ОБЕ ЧАСТИ ПОЛУЧЕННОГО ОБЩЕГО

УРАВНЕНИЯ НА 5. ПОЛУЧАЕМ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ В ОТРЕЗКАХ			3	x	y	1	x			y	1 . ПРЯМАЯ
							5 / 3
			5	5					5
ЛИНИЯ ОТСЕКАЕТ НА ОСИ ОХ ОТРЕЗОК	5	, А НА ОСИ ОУ ОТРЕЗОК 5.
	3

КООРДИНАТЫ ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ УДОВЛЕТВОРЯЮТ ДВУМ УРАВНЕНИЯМ ОДНОВРЕМЕННО. ПРИВЕДЁМ СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ ПРАВИЛО.

ПРАВИЛО 1.4. ЧТОБЫ НАЙТИ ТОЧКУ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПРЯМЫХ НУЖНО РЕШАТЬ СИСТЕМУ ИЗ УРАВНЕНИЙ ЭТИХ

ПРЯМЫХ ЛИНИЙ

a1x b1 y c1 0; a2 x b2 y c2 0;

ПОЛЕЗНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СПРАВОК.

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ M1 x1; y1 и M2 x2 ; y2 ПОЛУЧАЕМ ИЗ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА

M	, M	2		x	x	2 y	y	2	(1.9)
1				2	1	2	1

ПРАВИЛО 1.5. ЕСЛИ ТОЧКА M0 x0 ; y0 НЕ ЛЕЖИТ НА ПРЯМОЙ ЛИНИИ, ТО РАССТОЯНИЕ ОТ ЭТОЙ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ ЛИНИИ ВЫЧИСЛЯЕТСЯ ПО ПРАВИЛУ:

M	0	; L		Ax0 By0 C					,	(1.10)
					A2 B2
ГДЕ ПРЯМАЯ ЛИНИЯ L ДАЁТСЯ ОБЩИМ УРАВНЕНИЕМ :						Ax By C 0 .

Контрольные вопросы.

I. Чтобы записать уравнение прямой на плоскости нужно задать … II. Даны уравнения прямых: L1 : y k1x b1 и L2 : y k2 x b2 .

1)Написать формулу вычисления острого угла между прямыми;

2)Условие параллельности прямых;

3)Условие перпендикулярности прямых.

III. Как определить, что точка M a;b лежит:

1) выше прямой , 2) на прямой, 3) ниже прямой

если прямая линия задана уравнением y kx b .

IV.Как определить угол наклона прямой, если задано общее уравнение прямой ax by c 0 .

V. Как определить, расстояние от начала координат до прямой ax by c 0 .