Качество систем автоматического управления.

Устойчивость является необходимым, но не единственным требованием, предъявляемым к системам управления. Устойчивость гарантирует сходимость переходного процесса к заданному значению регулируемой величины, а как быстро это происходит, насколько велики выбросы, какова точность, т.е. каково качество переходного процесса – эти вопросы остаются без ответа.

Однако к качеству переходного процесса часто предъявляет очень жесткие требования. Качество переходного процесса оценивается по реакции системы на типовые воздействия, такие как скачок, линейно возрастающее воздействие( т.е. воздействие, возрастающее с постоянной скоростью), парабола ( т.е. воздействие, изменяющееся с постоянным ускорением).

Реакция системы на единичное скачкообразное воздействие называется переходной функцией и по ней чаще всего оценивают качество переходного процесса.

Качество оценивается по показателям качества.

Наиболее распространенными показателями качества являются:

1) динамическая ошибка – разность и

в данный момент времени

2) максимальное значение регулируемой величины

3) установившееся значение регулируемой величины

4) статическая ошибка

5) перерегулирование - превышение (выброс) над установившемся значением.

6) время переходного процесса - время от момента подачи воздействия до момента, когда переходный процесс входит в зону заданной точности управленияи больше из нее не выходит.от(обычно) Для того, чтобы оценить качество переходного процесса нужно построить переходный процесс.

Методы построения переходного процесса.

(способы решения дифференциальных уравнений)

1. Непосредственное решение дифференциальных уравнений по корням характеристического уравнения.

2. Использование преобразований Фурье, Лапласа (Карсона-Хевисайда)

3. Использование вычислительных машин для решения дифференциальных уравнений. При этом используются аналоговые вычислительные машины (АВМ) и цифровые вычислительные машины (ЦВМ) При использовании АВМ строится электронный аналог математической модели САУ. Это означает, что на усилителях постоянного тока набираются типовые элементарные звенья, входящие в математическую модель САУ

Из таких блоков состоит структурная схема САУ . Изменение напряжения на выходе системы будет аналогом изменения регулируемой величины. Решение дифференциальных уравнений на АВМ происходит непрерывно. Точность решения невысокая.

В ЦВМ при решении дифференциальных уравнений используются приближенные методы решения дифференциальных уравнений. Точность решения дифференциальных уравнений высокая.

Кроме оценки качества по переходным процессам применяются косвенные методы оценки качества:

1. По корням характеристического уравнения.

2. По частотным характеристикам.

3. Интегральные оценки качества.

Оценка качества по распределению корней характеристического уравнения.

Из курса математики известно, что решение неоднородного дифференциального уравнения

, (1)

удовлетворяющего любым начальным условиям, в общем случае состоит из суммы двух слагаемых:

1) частного решения неоднородного уравнения, правая часть которого отлична от нуля и которое характеризует вынужденные колеба­ния системы под действием возмущающих сил;

2) общего решения однородного уравнения

(2)

определяющего свободные (собственные) колебания системы после исчезнове­ния возмущающих сил.

Уравнению (2) соответствует характеристическое уравнение:

(3)

При исследовании устойчивости систем нас интересуют только свободные колебания, так как вся теория устойчивости основана на использовании понятия кратковременных возмущающих сил типа дельта функции .

Общее решение однородного дифференциального уравнения, вызванное отклонением начальных условий от нулевых начальных условий, записывается

- постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями

- корни характеристического уравнения (3)

Отсюда видно, что характер переходного процесса зависит от расположения корней характеристического уравнения.

1) Пусть вещественные корни

Если корни расположены на мнимой оси, то процесс никогда не затухает, так как Чем ближе к мнимой оси расположен корень, тем дольше длится процесс. Таким образом, наибольший вес в общем решении имеют те составляющие решения, корни которых ближе расположены к мнимой оси. Если корень расположен в правой полуплоскости, то решение будет неограниченно возрастать.

Степенью устойчивости асимптотически устойчивой системы называется расстояние от мнимой оси до ближайшего корня.

Зная ,можно приближенно оценить время переходного процесса , считая, что когда общие решения от других, более далеких от мнимой оси корней затухнут, общее решение будет определяться корнем:

Можно показать, что

Отсюда

Действительно, если , то

Т.о. за время процесс уменьшится на 95%.

Можно по другому:

Положив в конце переходного процесса где, полагая, что прошло 99-95% процентов переходного процесса, можем записать

,,,

2) Корни комплексно сопряженные

Вспомним формулу Эйлера

Если в системе комплексно- сопряженные корни, то будет колебательный переходный процесс.

Если корни на мнимой оси, то колебательный процесс никогда не затухнет.

=

Если увеличивается , то колебательность возрастает.

Чем больше , тем больше колебания в системе.

Если колебание никогда не затухнет

Если колебаний не будет, таким образом, по расположению корней характеристического уравнения можно оценить качество переходного процесса.

Диаграмма Вышнеградского

Оценка качества системы по корням характеристического уравнения третьего порядка.

Область устойчивости делится на 3 части.

Определяем рабочую точку, какое расположение корней, такой и будет переходный процесс.где

.

По заданным коэффициентам находим

Определяем рабочую точку (). В какую область эта точка попала, такой переходный процесс и будет.

Частотные критерии оценки качества.

Переходные функции и частотные характеристики связаны между собой через преобразование Фурье.

Обратное преобразование Фурье

, ЕслитоТогдаи

Таким образом, по поведению частотных характеристик можно судить о характере протекания переходной функции.

Наиболее удобной для оценки качества переходных процессов является амплитудно-частотная характеристика (АЧХ). Косвенным показателем качества переходного процесса является полоса пропускания АЧХ

Используя предельные соотношения преобразований Лапласа и Фурье, получим

Т.е. установившееся значение выходной величины САУ равно значению АЧХ при. Чем больше срезано низких частот, тем меньше установившееся значение выходной величины.

С другой стороны

т.е. начало переходного процесса (поведение переходного процесса вблизи нуля) определяется высокочастотными составляющими спектра.

Чем больше в спектре высоких частот, тем круче, быстрее идет переходный процесс. Следовательно, чем шире полоса пропускания в АЧХ, тем быстрее будет идти переходный процесс.

Если в АЧХ появляется выброс, это говорит о том, что переходный процесс – колебательный, таким образом, по виду АЧХ можно оценивать качество переходных процессов.

Интегральные критерии оценки качества.

Здесь при оценке качества переходного процесса в качестве критерия оценки используют интеграл от переходного процесса.

Интегральные критерии оценки качества относятся к косвенным оценкам качества лишь исторически, т.к. раньше их считали по передаточным функциям по специальным формулам. Сейчас, при наличии персонального компьютера, интегральные оценки считаются по переходному процессу.

При монотонном переходном процессе в качестве интегральных оценок обычно используют линейные интегрированные оценки.

Такие интегральные оценки используются для монотонных и апериодических переходных процессов.

Чем больше , тем лучше переходный процесс.

Чем меньше , тем лучше переходный процесс

Для колебательных переходных процессов используют

или

В случае необходимости в интегральной оценке можно учитывать и скорость протекания переходного процесса, добавляя в подынтегральное выражение производную от выходной величины.

Минимум этой оценки соответствует приближению переходного процесса к экспоненциальному.

Интегральные оценки – относительные. Например, если , нельзя оценить , хороший этот процесс или плохой. Если при других параметрах САУ мы получим, то можно утверждать, что при этих параметрах переходный процесс лучше.