Устойчивость сау.

Устойчивость -это способность системы возвращаться к номинальному режиму , если она отклонилась по каким-то причинам от этого режима.

Требования к устойчивости обязательно для всех САУ.

Строгое определение устойчивости дано А.М. Ляпуновым в работе «Общая задача об устойчивости движения» (конец 19 века)

Пусть динамика системы описывается уравнением

(1)

y - выходная величина

x - входная величина

y⁽ⁱ⁾ , x^(j) - производные.

Предположим, что в этой системе существует номинальный режим работы у_н (t), который однозначно определяется номинальным входным воздействием х_н(t) и номинальными начальными условиями.

(2)

Так как номинальные начальные условия (2) на практике трудно выдержать, в системе существует «отклоненные» начальные условия.

(3)

Для номинального режима справедливо уравнение:

(4)

Отклоненным начальным условиям соответствует отклоненный режим.

Для отклоненного режима справедливо уравнение:

(5)

Положим

(6)

Вычтем из уравнения (5) уравнение (4), получим (7)

Введем определение.

Номинальный режим у_н(t) устойчив по Ляпунову, если при любых отклоненных начальных условиях (3) , достаточно мало отличающихся от номинальных номинальных начальных условий (2), при всех t > 0 будет мало z(t).

Если номинальный режим устойчив по Ляпунову и при этом предел , то номинальный режим называетсяасимптотически устойчивым.

Если найдутся начальные условия (3), сколько угодно мало отличающиеся от номинальных начальных условий (2), и при этом станет больше некоторой малой, наперед заданной величины, то номинальный режиму_н(t) называется неустойчивым.

Из (7) следует, что поведение z(t) совершенно не зависит от вида входного воздействия х_н(t).

Отсюда следует вывод: либо в системе (1) асимптотически устойчивы все номинальные режимы, соответствующие разным входным х_н (t), либо они все неустойчивы.

Поэтому можно говорить об устойчивости или неустойчивости системы, а не какого-либо одного ее режима.

Это важный вывод, сокращающий объем исследований САУ.

К сожалению, он справедлив только для линейных САУ.

Необходимые и достаточные условия устойчивости линейных сау.

Для асимптотической устойчивости линейных систем необходимо и достаточно чтобы все корни характеристического уравнения.

имела бы отрицательную вещественную часть.

Известно, что решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

1. Пусть корни вещественные.

При - а это отклонение от номинального режима.

2. Если корни комплексные.

Необходимое условие устойчивости.

Для асимптотической устойчивости системы (1), (8) необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения имели один знак.

Геометрическая трактовка условия устойчивости

Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения были бы расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости корней.

Критерии устойчивости САУ.

Это искусственные приемы , которые позволяют, не находя корней характерного уравнения, ответить на вопросы об устойчивости САУ, т.е. определять знаки вещественных частей корней.

Два вида критериев устойчивости:

1). Алгебраический критерий устойчивости (критерий устойчивости Гурвица).

Пусть заданно характерное уравнение .

Для устойчивости САУ необходимо и достаточно:

1). Чтобы все коэффициенты характеристического уравнения имели бы один знак - ( система не устойчива)

2). Главный определитель Гурвица, составленный по определенному правилу, и все его диагонали миноры имели бы знак коэффициентов - были бы больше нуля.

Правила написания главного определения Гурвица.

1). По главной диагонали определителя располагаются все коэффициенты характеристического уравнения в порядке возрастания индексов, начиная с a₁.

2). Места в определителе над главной диагональю заполняются коэффициентами характеристического уравнения в порядке возрастания индексов.

3). Места в определителе под главной диагональю заполняются коэффициентами характерного уравнения в порядке убывания индексов.

4). Места в определителе, где должны стоять коэффициенты с индексами больше n и меньше нуля, заполняются нулями

Таким образом, главный определитель Гурвица имеет вид:

A= >0

САУ устойчива, если

1). Все коэффициенты характеристического уравнения больше нуля (0!)

, , ….

2). Главный определитель Гурвица и все его диагональные миноры > 0.

,,, ….

Рассмотрим примеры.

1.

1.

2.

Для устойчивости САУ второго порядка необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность коэффициентов характеристического уравнения.

2.

1. i=0…3

2.

Необходимым и достаточным условием устойчивости систем третьего порядка является положительность коэффициентов и произведение внутренних членов должно быть больше произведения крайних членовхарактеристического уравнения.

3.

,

, ,

Есть еще алгебраический критерий Рауса. Это тот же критерий Гурвица, но организованный таким образом, что по нему удобно составлять программы для определения устойчивости.

Критерий устойчивости Вышнеградского для систем третьего порядка.

Вышнеградский И.А. предложил изображать границу устойчивости на так называемой плоскости параметров Вышнеградского.

Пусть имеем характеристическое уравнение третьей степени.

Преобразуем его с помощью подстановки:

Тогда оно примет вид:

A₁ и A₂ называются параметрами Вышнеградского (безразмерные величины), в плоскости которых строится граница устойчивости.

Применим к преобразованному уравнению критерий устойчивости Гурвица

или A₁ A₂ > 1

На границе устойчивости .

Отсюда - уравнение на границе устойчивости

По коэффициентам характеристического уравнения определяются А₁ и А₂ . Если точка оказалась ниже гиперболы – САУ устойчива, выше - неустойчива.