1 Одноканальная смо с ожиданием и ограничением на длину очереди

Рассмотрим СМО с одним каналом (n=1), на вход которой поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Предположим, что поток обслуживаний также простейший с интенсивностью μ. Это означает, что непрерывно занятый канал обслуживает в среднем μ заявок в единицу времени. Заявка, поступившая в СМО в момент, когда канал занят, не покидает систему, а становится в очередь и ожидает обслуживания.

В данной системе имеется ограничение на длину очереди, под которой понимается максимальное число мест в очереди, а именно в очереди могут находиться максимум m > 1 заявок. Поэтому заявка, пришедшая на вход СМО, в момент, когда в очереди уже стоят m заявок, получает отказ и покидает систему необслуженной.

В таблице 5.1 сведены предельные характеристики СМО.

Таблица 5.1 – Предельные характеристики эффективности функционирования одноканальной СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди

№	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
1	Показатель нагрузки (трафик) СМО
2	Вероятности состояний СМО, выраженные через показатель нагрузки ρ

Продолжение таблицы 5.1

№	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
3	Вероятности состояний СМО, выраженные через средний интервал времени между соседними поступающими заявками, и среднее времяоб обслуживания одной заявки
4	Вероятность отказа
5	Вероятность того, что заявка будет принята в систему (не получит отказ)
6	Относительная пропускная способность
7	Абсолютная пропускная способность
8	Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок
9	Среднее число заявок в очереди
10	Среднее число заявок, находящихся под обслуживанием
11	Среднее число заявок, находящихся в системе (как в очереди, так и под обслуживанием)
12	Среднее время ожидания заявки в очереди
13	Среднее время пребывания заявки в системе (как в очереди, так и под обслуживанием)
14	Среднее время обслуживания одной заявки, относящееся только к обслуженным заявкам
15	Среднее время обслуживания одной заявки, относящееся ко всем заявкам, как обслуженным, так и получившим отказ

Пример решения задачи

Постановка задачи. На складе бакалейных товаров имеется одна погрузочно-разгрузочная рампа. Площадка при складе, на которой машины ожидают загрузку, может вместить не более трех машин одновременно, и если она занята, то очередная машина, прибывшая к складу, в очередь не становится, а проезжает на другой склад. В среднем машины прибывают на склад каждые 2 мин. Процесс загрузки одной машины продолжается в среднем 2,5 мин.

Определить:

1. вероятность отказа;

2. относительную и абсолютную пропускные способности СМО;

3. среднее число машин ожидающих загрузки;

4. среднее время ожидания машины в очереди;

5. среднее время пребывания машины на складе (включая обслуживание).

Решение задачи

Математической моделью данного склада является одноканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди (m=3). Предполагается, что поток машин, подъезжающих к складу для загрузки, и поток обслуживаний – простейшие.

Поскольку машины прибывают в среднем через каждые 2 мин, то интенсивность входящего потока равна (машин в минуту). Среднее время обслуживания одной машинымин, следовательно, интенсивность потока обслуживаний(машины в минуту).

Определяем показатель нагрузки СМО:

.

По формуле из 4-й строки таблицы 5.1 определяем вероятность отказа:

.

По формуле из 6-й строки таблицы 5.1 относительная пропускная способность составит

.

По формуле из 7-й строки таблицы 5.1 абсолютная пропускная способность составит

.

Среднее число машин, ожидающих в очереди на загрузку (9-я строка таблицы 5.1):

.

Среднее число машин под обслуживанием (10-я строка таблицы 5.1):

.

Среднее число машин, связанных со складом (находящихся в системе), см. формулу в 11-й строке таблицы 5.1:

.

Среднее время ожидания машины в очереди (формула в 12-й строке таблицы 5.1):

.

Среднее время, проведенное машиной на складе (см. формулу в 13-й строке таблицы 5.1):

.

Среднее время обслуживания одной машины, относящееся ко всем машинам – обслуженным и необслуженным (см. формулу в 15-й строке таблицы 5.1):

.

Таким образом, из анализа работы СМО следует, что из каждых 100 подъезжающих машин 30 получают отказ (), т.е. обслуживается 2/3 заявок. Поэтому необходимо либо сократить время обслуживания одной машины (увеличить интенсивность потока обслуживаний), либо увеличить число погрузочно-разгрузочных рамп, либо увеличить площадку для ожидания. Оптимальное решение принимается с учетом затрат, связанных соответственно с увеличением штата обслуживающего персонала (увеличение производительности канала), с расширением площадки для ожидания или проектирования дополнительной рампы, и потерь, связанных с потерей заявок на обслуживание.