7 Применение элементов теории игр при принятии управленческих решений

Формируемые навыки и умения:

- изучение математического аппарата теории игр; - освоение методики решения матричных игр в чистых стратегиях; - освоение методики решения матричных игр в смешанных стратегиях; - освоение методики решения статистических игр по различным критериям.

Теоретическая поддержка

Теория игр – это математическая теория кон­фликтных ситуаций, разрабатывающая рекомендации по наи­более рациональному образу действий каждого из участников в ходе конфликтной ситуации, т. е. таких действий, которые обеспечивали бы ему наилучший результат. Игровую схему можно придать многим ситуациям в экономике. Здесь выиг­рышем могут быть эффективность использования дефицит­ных ресурсов, производственных фондов, величина прибыли, себестоимость и т. д.

На промышленных предприятиях теория игр может исполь­зоваться для выбора оптимальных решений, например, при со­здании рациональных запасов сырья, материалов, полуфабри­катов.

Любая экономическая ситуация в торговле складывается в ре­зультате взаимодействия (поведения) совокупности элементов: тор­говых организаций, предприятий, объединений и т. д. Их поведение зависит от целого ряда факторов, которые не всегда можно зара­нее предвидеть, например конъюнктура рынка, спрос населения на товары, поставки товаров и т. д. Информированность о состоянии, действиях указанных элементов влияет на эффективность прини­маемых экономических решений в торговле и обусловливает необ­ходимость и целесообразность построения моделей теории игр.

1 Решение матричной игры в чистых и смешанных стратегиях

Целью участников любой матричной игры является выбор наиболее выгодных стратегий, доставляющих игроку А макси­мальный выигрыш, а игроку В – минимальный проигрыш.

Предположим, что игроку А надлежит сделать свой выбор. Анализируя платежную матрицу, он для каж­дой чистой стратегии A_i сначала найдет минималь­ное значениеα_i ожидаемого выигрыша: , а затем из всехα_i выделит наибольшееи выберет соответствующую ему чистую стратегию. Это и будет наи­более предпочтительная (гарантирующая) в данных условиях стратегия игрокаА. Ее называют максиминной, поскольку она отвечает величине

. (7.1)

Число α, определяемое по формуле (7.1), называется ниж­ней чистой ценой игры (максимином). Оно показывает, какой минимальный выигрыш может получить игрок А, правильно применяя свои чистые стратегии при любых действиях игро­ка В.

В свою очередь, игрок В, стремясь минимизировать проиг­рыш, при выборе наиболее предпочтительной стратегии, исполь­зует принцип осторожности так: сначала он для каждой чистой стратегии В_j () найдет максимально возможный про­игрыш(), а затем средиβ_j вы­берет минимальное значение , которому и будет со­ответствовать искомая чистая стратегия. Ее называютми­нимаксной, так как она соответствует величине

. (7.2)

Число β, определяемое по формуле (7.2), называется верх­ней чистой ценой игры (минимаксом). Оно показывает, какой максимальный проигрыш может быть у игрока В при пра­вильном выборе им своих чистых стратегий независимо от действий игрока А.

Если в матричной игре нижняя и верхняя чистые цены совпадают, т.е. α = β, то эта игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры ν = α = β. Оптимальными для игроков будут соот­ветственно максиминная и минимаксная стратегии, а чистой ценой игры – седловой элемент платежной матрицы. Если игра седловой точки не имеет, то решение игры следует найти в смешанных стратегиях.

Обозначим через р₁, ..., р_m вероятности, с которыми игрок А использует в ходе игры свои чистые стратегии A₁, ..., А_m. Для вероятностей р_i выполняются условия:

. (7.3)

Упорядоченное множество , элементы кото­рого удовлетворяют условиям (7.3), полностью определяет ха­рактер игры игрокаА и называется его смешанной стратеги­ей.

Аналогично упорядоченное множество , эле­менты которого удовлетворяют соотношениям

, (7.4)

является смешанной стратегией игрока В.

Итак, пусть игроки А и В применяют смешанные стратегии р и q. Это означает, что игрок А использует стратегию A_i с вероятностью p_i, а игрок В – стратегию В_j с вероятностью q_j. При использовании смешанных стратегий игра приобрета­ет случайный характер, случайной становится и величина вы­игрыша игрока А (проигрыша игрока В). В связи с этим мож­но вести речь лишь о средней величине (математическом ожи­дании) выигрыша (проигрыша). Эта величина явля­ется функцией от смешанных стратегий р и q и определяется по формуле

. (7.5)

Функция (7.5) называется платежной функцией игры с матрицей.

Нижней ценой игры будем называть число α, определяемое по формуле ,a верхней ценой игры – число β, определяемое по формуле

. (7.6)

Оптимальными являются смешанные стратегии р* и q* игроков А и В, удовлетворяющие равенству

==. (7.7)

Величину , полученную по формуле (7.7), называютценой игры v.

Пример решения задачи

Постановка задачи. На каждой из двух торговых баз ассортиментный ми­нимум составляет одинаковый набор товаров из четырех видов. Магазины, обо­значим их А и В, конкурируют между собой. Один и тот же вид товара в обоих магазинах продается по одной и той же цене. Однако товар, поставляемый в ма­газин В, более высокого качества. Если магазин А завезет с базы товар, отлич­ный от товара, завезенного в магазин В, то товар будет пользоваться спросом, и магазин А от его реализации получит прибыль с, денежных единиц. Если же в магазины А и В завезены товары одинакового вида, то товар в магазине А спро­сом пользоваться не будет, поскольку такой же товар, по такой же цене, но бо­лее высокого качества, можно купить в магазине В, и потому магазин А понесет убытки по хранению и, возможно, порче товара в размере d, денежных единиц.

Требуется формализовать конфликтную ситуацию, построить матрицу иг­ры и дать рекомендации по выбору оптимальной смешанной стратегии магази­на А при следующих числовых данных:

с1	с2	с3	с4	d1	d2	d3	d4
17	11	23	5	13	12	20	7

Решение задачи

1 Представим данную ситуацию в виде матричной игры. У руководства ма­газина А четыре стратегии: А_i - продавать товар i-го вида (i = 1,4). Аналогично у руководства магазина В стратегии В_j - продавать товар j-го вида (j = 1,4).

Построим платежную матрицу данной игры на рабочем листе MS Excel в ячейках А1:Е5 (таблица 7.1).

Таблица 7.1 – Платежная матрица

	А	В	С	D	E
1		В1	В2	В3	В4
2	А1	-13	17	17	17
3	А2	11	-12	11	11
4	А3	23	23	-20	23
5	А4	5	5	5	-7

Определим, имеет ли игра оптимальное решение в чистых стратегиях, т.е. проверим наличие седловой точки. Чтобы рассчитать верхнюю и нижнюю чис­тые цены игры, в столбец а_i (F1:F5) вводим функцию МИН, а в строку β_j (A6:E6) - функцию МАКС, получаем матрицу следующего вида (таблица 7.2).

Таблица 7.2 – Определение седловой точки

	А	В	С	D	E	F
1		В1	В2	В3	В4	ai
2	А1	-13	17	17	17	-13
3	А2	11	-12	11	11	-12
4	А3	23	23	-20	23	-20
5	А4	5	5	5	-7	-7
6	βj	23	23	17	23

Далее аналогично вычисляем:

; .

Так как а β, то игра не имеет решения в чистых стратегиях.

2 Решение игры в смешанных стратегиях

2.1 Преобразование платежной матрицы. Чтобы свести игру к задаче ли­нейного программирования, увеличим все элементы платежной матрицы на 20 (таблица 7.3).

Таблица 7.3 – Преобразование платежной матрицы

	А	В	С	D	E
1		В1	В2	В3	В4
2	А1	7	37	37	37
3	А2	31	8	31	31
4	А3	43	43	0	43
5	А4	25	25	25	13

2.2 Построение математической модели.

Задача линейного программирования для игрока А:

где ,p_j – вероятность, с которой игрок А применяет свою j-ю чистую стратегию, v - цена игры.

2.3. Технология решения задачи средствами Excel. Строим следующую таблицу (таблица 7.4).

Таблица 7.4 – Решение задачи в Excel

	А	В	С	D	E	F	G	H
1	Имя	Переменные
2		Х1	Х2	Х3	Х4
3	Значение	0,0129	0,0168	0,009	0
4	Нижняя граница
5	Верхняя граница
6						ЦФ	Направление ЦФ
7	Коэффициент ЦФ	1	1	1	1	0,039	min
8		Ограничения
9	Вид					левая часть	знак	правая часть
10	1	7	31	43	25	1	>	1
11	2	37	8	43	25	1	>	1
12	3	37	31	0	25	1	>	1
13	4	37	31	43	13	1,387	>	1

Решив данную задачу средствами Excel, получаем:

х₁ = 0,0129; х₂ = 0,0168; х₃ = 0,009; f_min = 0,039.

Для определения смешанной стратегии, воспользуемся формулами:

.

Отсюда смешанная стратегия: р = (0,333; 0,434; 0,233; 0), N =25,79.

3 Анализ полученных результатов

Итак, оптимальной стратегией магазина А будет продажа товаров в сле­дующей пропорции: 33,3 % товара 1-го вида; 43,4 % товара 2-го вида; 23,3 % товара 3-го вида. Средняя прибыль составит 25,79 ден. ед.