2 Модели управления многономенклатурными запасами

Складские системы предприятий промышленности или оптовой торговли содер­жат от нескольких десятков до нескольких тысяч номенкла­тур. Следовательно, возникает необходимость рассмотрения задач управления многономенклатурными запасами.

Раздельная оптимизация. Допустим, что запасы поступают из разных источников, т.е. имеет место полное разделение заказов. Каждая продукция имеет свою интенсивность спроса v_i, свою стоимость размещения заказа К_i, свои затраты на хранение s_i, таких видов продукции N. Заказ пополняется мгновенно. Все виды продукции хранятся на одном складе ограниченной площадью S, и площадь склада – f.

Ставится задача найти оптимальные размеры заказа для каждой продукции с учетом того, что все запасы поместятся на складе ограниченной площади, если известна площадь f_i, занимаемая каждым видом продукции q_i.

Полное совмещение заказов. При пополнении запасов из одного источника часто несколько заказов объединяются. Период размещения заказа по всем номенклатурам будет общим.

Пример решения задачи

Постановка задачи. Четыре различных вида продукции хранятся на складе с целью непрерывного использования в технологическом процессе. Дефицит не допускается, и запас дол­жен пополняться мгновенно после поступления заказа. Обозначим: f_i — площадь, необходимая для хранения единицы продукции i-го вида; К_i — затраты на оформление заказа на партию продукции i-гo вида; ν_i — интенсивность спроса на продукцию i-гo вида в единицу времени; s_i — затраты на хранение i-гo вида продукции в единицу времени.

Числовые данные представлены в таблице 4.5.

Таблица 4.5 – Исходные данные задачи

Вид продукции (I)	Кi, ден. ед.	νi , ед.	si, ден. ед.	fi, м^2
1	100	10	0,1	10
2	50	20	0,2	5
3	90	5	0,2	7
4	20	10	0,1	5

Требуется:

1) найти оптимальные размеры заказов для четырёх видов продукции, если об­щая площадь складских помещений составляет 200 м². Рассчитать издержки работы системы управления запасами. Учесть, что все четыре ви­да продукции поступают на склад от разных поставщиков (раздельная оптимизация);

2) если продукция поступает из одного источника (полное совмещение заказов), издержки размещения заказов в этом случае равны средним издержкам индивидуальных издер­жек заказывания плюс 15 % стоимости организации зака­за по каждому продукту;

3) сравнить полученные результаты с действующей сис­темой поставок — один раз в квартал с индивидуальным под­ходом к каждому продукту без учета ограничений на склад­ские площади.

Решение задачи

1 Раздельная оптимизация без ограничений на складские площади

Обозначим q_i - размер заказа на продукцию i-гo вида. Тогда ограничения на потребность в складской площади принимают вид:

Допустим, что запасы всех видов продукции пополняются одномоментно, т.е. в это время запас и занятая им площадь оказывается максимальными.

Таким образом, рассматриваемая задача минимизации суммарных издержек системы управления запасами имеет вид

, (4.5)

при ограничении (4.6)

На рабочем листе в ячейках А2:Е6 строим таблицу 4.6 с исходными данными.

Таблица 4.6 - Исходные данные для решения задачи

	А	В	С	D	E
2	I	vi	Ki	si	fi
3	1	10	100	0,1	10
4	2	20	50	0,2	5
5	3	5	90	0,2	7
6	4	10	20	0,1	5

Найдем оптимальные размеры поставок (q_i*) при отсутствии ограничений по формуле Уилсона:

. (4.7)

Рассчитаем суммарные расходы при данном плане поставок (L) по формуле (4.5). Все вычисления заносим в таблицу 4.7.

Таблица 4.7 - Расчет показателей системы

	А	В	С	D	E	F	G	H	I
2	I	vi	Ki	si	fi	qi*
3	1	10	100	0,1	10	=КОРЕНЬ(2*C3*B3/D3)	=C3*B3/F3	=D3*F3	=E3*F3
4	2	20	50	0,2	5	=КОРЕНЬ(2*C4*B4/D4)	=C4*B4/F4	=D4*F4	=E4*F4
5	3	5	90	0,2	7	=КОРЕНЬ(2*C5*B5/D5)	=C5*B5/F5	=D5*F5	=E5*F5
6	4	10	20	0,1	5	=КОРЕНЬ(2*C6*B6/D6)	=C6*B6/F6	=D6*F6	=E6*F6
7						=СУММ(F3:F6)	=СУММ (G3:G6)	=СУММ (H3:H6)	=СУММ (I3:I6)
8	F	200
9	L	=G7+1/2*H7

В таблице 4.8 представлены результаты расчета.

Таблица 4.8 - Результаты расчета

	А	В	С	D	E	F	G	H	I
2	I	vi	Ki	si	fi	qi*
3	1	10	100	0,1	10	141,42	7,0711	14,142	1414,2
4	2	20	50	0,2	5	100	10	20	500
5	3	5	90	0,2	7	67,082	6,7082	13,416	469,57
6	4	10	20	0,1	5	63,246	3,1623	6,3246	316,23
7						371,75	26,942	53,883	2700
8	F	200
9	L	53,883

2 Раздельная оптимизация с ограничением на складские площади

Так как количество необходимых складских площадей (2700 м²) значительно превышает имеющуюся площадь склада (200 м²), поэтому ограничение на складские площади является существенным. В связи с этим скорректируем размеры партии заказов. Для этого составим оптимизационную модель. Цель – минимизировать суммарные расходы при ограничении величины складских площадей.

Получили задачу нелинейной оптимизации, которую можно решить средствами Excel. Для расчетов исходную таблицу копируем в ячейки А11:I18. В столбце q_i* ставим значения, равные 1, для того, чтобы начальные значения удовлетворяли области ограничений.

Столбцом значений будет столбец q_i*. Значения целевой функции находится в ячейке L. Правая часть ограничения записывается в отдельную ячейку. В программе Поиск решения задаем параметры – «нелинейная модель», «неотрицательные значения» (рисунок 4.1).

Рисунок 4.1 – Задание условий задачи в программе Поиск решения

Результаты расчетов представлены в таблице 4.9.

Таблица 4.9 - Результаты расчетов

	А	В	С	D	E	F	G	H	I
11	I	vi	Ki	si	fi	qi*
12	1	10	100	0,1	10	7,7538	128,9691	0,77538	77,538
13	2	20	50	0,2	5	10,9164	91,60513	2,18328	54,5821
14	3	5	90	0,2	7	6,19958	72,58561	1,23992	43,397
15	4	10	20	0,1	5	4,89658	40,84482	0,48966	24,4829
16						29,7664	334,0046	4,68824	200
17	F	200
18	L	336,349

3 Полное совмещение заказов без учета ограничений на складские площади

Издержки размещения заказа равны

, (4.8)

где - среднее значение издержек (вExcel рассчитывается с помощью функции СРЗНАЧ).

Рассчитаем ₀ и q_i0 без учета ограничений по следующим формулам:

(4.9)

. (4.10)

Среднегодовые издержки рассчитаем по формуле

. (4.11)

Проверим существенность ограничений на складские площади при полном совмещении заказов . Ограничение является существенным, поэтому для нахождения оптимального периода возобновления поставок воспользуемся формулами:

; (4.12)

* = min(₀, ₁). (4.13)

Оптимальные поставки определяем по формуле

. (4.14)

Издержки работы системы при условии ограниченности складских помещений рассчитываем по формуле

. (4.15)

Результаты расчетов представлены в таблице 4.10.

Таблица 4.10 - Результаты расчетов

	А	В	С	D	E	F	G	H	I	J	K	L
20	I	vi	Ki	si	fi	qi0						q*
21	1	10	100	0,1	10	54,51	18,34	5,45	545,11	1	100	7,02
22	2	20	50	0,2	5	109,02	9,17	21,80	545,11	4	100	14,04
23	3	5	90	0,2	7	27,26	16,51	5,45	190,79	1	35	3,51
24	4	10	20	0,1	5	54,51	3,67	5,45	272,55	1	50	7,02
25			260			245,3	47,70	38,16	1553,56	7	285
26	F	200	0	5,451
27	L	38,158	1	0,702
28	Кср	65	*	0,702
29	К	104	L*	150,656

4 Действующая система поставок – один раз в квартал с индивидуальным подходом к каждому продукту (без учета ограничений на складские площади)

Так как поставки поквартальные, то .

Издержки рассчитываются по формуле

. (4.16)

Расчеты проводим в таблице 4.11.

Таблица 4.11 - Результаты расчетов

	А	В	С	D	E	F	G	H	I
31	I	vi	Ki	si	fi	qi0
32	1	10	100	0,1	10	2,5	400	0,031	25
33	2	20	50	0,2	5	5	200	0,125	25
34	3	5	90	0,2	7	1,25	360	0,031	8,75
35	4	10	20	0,1	5	2,5	80	0,031	12,5
36							1040	0,219	71,25
37	L	1040,219

Для содержания запасов продукции понадобятся складские площади в размере 71,25 м². Издержки работы системы составят 1040,219 ден. ед.

5 Анализ полученных результатов

Сведем полученные результаты в таблицу 4.12.

Таблица 4.12 – Анализ работы каждой из систем управления запасами

Результаты системы	Необходимые складские площади, м^2	Издержки работы системы, ден. ед./год
Действующая система	71,25	1040,219
Раздельное управление поставками	2700	53,883
Управление поставками при полном совмещении заказов	1553,56	38,158
Раздельное управление поставками с ограничениями на складские площади	200	336,349
Управление поставками при полном совмещении заказов и ограничении на складские площади	200	150,656

Задача для самостоятельного решения (по вариантам)

Склад оптовой торговли отпускает пять видов това­ров (таблица 4.13). Заданы потребности v_i, т/г., издержки заказывания К_i, ден. ед., издержки содержания тонны в год s_i, ден. ед., расход складской площади на единицу товара f_i, м². Известна общая величина складской площади торгового зала F.

Требуется:

1) определить оптимальные партии поставок при ограни­чении максимального уровня запаса. Учесть, что все пять ви­дов продукции поступают на склад от разных поставщиков (раздельная оптимизация);

2) если продукция поступает из одного источника (полное совмещение заказов), издержки размещения заказов в этом случае равны средним издержкам индивидуальных издер­жек заказывания плюс 25 % стоимости организации зака­за по каждому продукту, то есть

;

3) сравнить полученные результаты с действующей сис­темой поставок — один раз в квартал с индивидуальным под­ходом к каждому продукту без учета ограничений на склад­ские площади;

4) оценить работу каждой из систем управления запасами, выбрать наиболее эффективную и обосновать полученное решение.

Таблица 4.13 – Исходные данные для решения задачи

Вариант	F	I	1	2	3	4	5
1	1200	I, т/г. Ki, ден. ед. si, ден. ед./ т в год fi, м^2	900 10 5 16	700 5 15 4	300 20 10 15	1000 30 2 22	200 6 3 10
2	500	I, т/г. Ki, ден. ед. si, ден. ед./ т в год fi, м^2	400 10 16 4	600 12 8 3	800 11 8 5	700 9 7 4	200 8 4 4
3	500	I, т/г. Ki, ден. ед. si, ден. ед./ т в год fi, м^2	700 5 15 20	200 5 4 5	500 20 10 2	150 3 2 8	800 4 20 4
4	1500	I, т/г. Ki, ден. ед. si, ден. ед./ т в год fi, м^2	3000 4 40 4	5000 6 6 3	6400 7 14 5	1500 6 6 40	80 4 16 20
5	900	I, т/г. Ki, ден. ед. si, ден. ед./ т в год fi, м^2	900 5 4 8	400 10 7 5	800 11 6 6	200 7 4 3	150 2 2 3
6	800	I, т/г. Ki, ден. ед. si, ден. ед./ т в год fi, м^2	4000 10 8 3	2000 7 70 2	8000 15 6 2	600 110 8 5	1500 6 20 30
7	1350	I, т/г. Ki, ден. ед. si, ден. ед./ т в год fi, м^2	5000 6 15 10	7000 110 8 5	2000 7 20 2	200 5 4 3	800 4 8 4

Продолжение таблицы 4.13

Вариант	F	I	1	2	3	4	5
8	1000	I, т/г. Ki, ден. ед. si, ден. ед./ т в год fi, м^2	48000 120 200 1,8	22400 160  280 1,6	6400 130  260 1,2	8600 140 200 1,5	2460 110 250 1,4
9	1250	I, т/г. Ki, ден. ед. si, ден. ед./ т в год fi, м^2	3200 110 150 14	2100 150 260 5	5400 120 240 3	7900 130 200 4	2420 100 230 6
10	6000	I, т/г. Ki, ден. ед. si, ден. ед./ т в год fi, м^2	1350 70 11 8	1210 65 9 9	1150 80 3 4	1300 77 7 6	890 93 6 7