2 Одноканальная смо с ожиданием

Проанализируем работу одноканальной СМО с ожиданием без ограничений на длину очереди и на время ожидания в очереди. Предполагаем, что входящий поток с интенсивностью λ и поток обслуживаний с интенсивностью μ простейшие. Длина очереди в данной СМО бесконечна, т.е. m → ∞. При условии, что λ < μ, т.е. ρ < 1, с течением времени устанавливается предельный режим и предельные вероятности состояний СМО существуют.

Характеристики данной СМО представлены в таблице 5.2.

Таблица 5.2 – Предельные характеристики эффективности функционирования одноканальной СМО с ожиданием

№	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
1	Среднее время обслуживания одной заявки
2	Показатель нагрузки (трафик) СМО
3	Вероятности состояний СМО
4	Вероятность отказа
5	Вероятность того, что заявка будет принята в систему
6	Относительная пропускная способность
7	Абсолютная пропускная способность
8	Интенсивность выходящего потока заявок
9	Среднее число заявок в очереди

Продолжение таблицы 5.2

№	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
10	Среднее число заявок, находящихся под обслуживанием
11	Среднее число заявок, находящихся в системе (как в очереди, так и под обслуживанием)
12	Среднее время ожидания заявки в очереди
13	Среднее время пребывания заявки в системе (как в очереди, так и под обслуживанием)

3 Многоканальная смо с отказами

Если требование пос­тупает в систему в момент, когда все n каналов заняты, то оно получает отказ (покидает систему необслуженным). Ес­ли же в момент поступления требования имеется хотя бы один свободный канал, то оно принимается к обслуживанию и обслуживается до конца.

Характеристики эффективности СМО с отказами представлены в таблице 5.3.

Таблица 5.3 – Предельные характеристики эффективности функционирования многоканальной СМО с отказами

№	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
1	Вероятности состояний СМО рk, k = 1, …, n, выраженные через интенсивность входящего потока λ и интенсивность потока обслуживания μ
2	Приведенная интенсивность входящего потока – трафик (показатель нагрузки СМО)	, где – среднее время обслуживания одной заявки одним каналом; –средний интервал времени между двумя соседними заявками во входящем потоке
3	Вероятности состояний СМО рk, k = 1, …, n, выраженные через трафик ρ
4	Вероятность отказа ротк

Продолжение таблицы 5.3

№	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
5	Вероятность того, что пришедшая заявка будет обслужена
6	Относительная пропускная способность
7	Абсолютная пропускная способность
8	Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок
9	Среднее число занятых каналов
10	Среднее время пребывания заявки в СМО (формула Литтла)

Пример решения задачи

Постановка задачи. На вокзале, в кафе быстрого обслуживания имеется 3 столика. Если клиент заходит в кафе, когда все столы заняты, то он уходит из кафе, не ожидая обслуживания. Среднее число клиентов, обращающихся в кафе за 1 час, равно 20. Среднее время, в течение которого столик кафе занят другим клиентом составляет 6 мин.

На вокзале, в мастерской бытового обслуживания работают 3 мастера. Если клиент заходит в мастерскую, когда все мастера заняты, то он уходит из мастерской, не ожидая обслуживания. Среднее число клиентов, обращающихся в мастерскую за 1 час, равно 20. Среднее время, которое затрачивает мастер на обслуживание одного клиента, равно 6 мин.

Определить основные характеристики эффективности функционирования данного кафе в предельном режиме:

1. вероятность того, что клиент получит отказ р_отк;

2. вероятность того, что клиент будет обслужен р_об;

3. среднее число клиентов А, обслуживаемых кафе в течение 1 часа;

4. среднее число занятых столов .

Решение задачи

Данное кафе может рассматриваться как многоканальная СМО с отказами, поскольку клиентам на вокзале некогда ожидать обслуживания в очереди, и если все столы заняты ранее пришедшими клиентами, то вновь прибывший клиент покидает кафе необслуженным. Параметры системы: n = 3, λ = 20 (чел./ч), μ = 1 / Т_об = 1/6 (чел./мин), ρ = λ / μ = 20/10 = 2 (эрланга).

Вычисление предельных вероятностей состояний системы удобно проводить в таблице 5.4.

Сначала производим вычисления в столбце 2 по формуле (k - число занятых каналов), которая следует из формулы в 3-й строке таблицы 5.3. Вычисляется сумма всех элементов столбца 2: ∑ = 6,333. Вероятность того, что все столы свободны р₀ = 1/6,333 = 0,158 (см. формулу в 3-й строке таблицы 5.3). Предельные вероятности р_k (столбец 3) вычисляются умножением элементов столбца 2 на вероятность р₀. Сумма эле­ментов столбца 3 должна быть равна 1+Δ, где Δ — ошибка округления.

Таблица 5.4 – Расчет предельных вероятностей состояний системы

Значения случайной величины k (число занятых столов)		рk	kpk
1	2	3	4
0	1,000	0,158	0
1	2,000	0,316	0,316
2	2,000	0,316	0,632
3	1,333	0,211	0,633
∑	6,333	1,001	1,581

Значения элементов столбца 4 получаются умножением эле­ментов столбца 1 на соответствующие элементы столбца 3. Сумма элементов столбца 4 равна среднему числу занятых каналов (см. 9-ю строку таблицы 5.3).

Вероятность того, что клиент получит отказ, равна вероятно­сти того, что заняты все три столика, т.е. р₃ = 0,211 (см. 4-ю стро­ку таблицы 5.3).

Вероятность того, что клиент будет обслужен (относительная пропускная способность кафе), определяется по формуле (см. 6-ю строку таблицы 5.3) , т.е. из 100 клиентов, обращающихся в кафе, в среднем 79 клиентов будут обслужены и 21 – получит отказ.

Абсолютная пропускная способность кафе, т.е. среднее число клиентов, обслуживаемых в единицу времени, (см. 7-ю строку таблицу 5.3) составляет

.