- •Экономико-математические методы и модели
- •Содержание
- •Лекция 1. Теоретические основы экономико-математического моделирования
- •1 Объекты изучения и методы исследования курса «Экономико-математические методы и модели»
- •2 Понятие экономико-математической модели и моделирования
- •3 Классификация экономико-математических моделей
- •4 Основные этапы экономико-математического моделирования
- •5 Программное обеспечение экономико-математического моделирования
- •Лекция 2. Система экономико-математических моделей оптимального планирования и управления
- •1 Понятие оптимизационных задач и оптимизационных моделей
- •2 Методика построения оптимизационной модели
- •3 Основные типы линейных экономико-математических моделей
- •1.3 Модели рационального распределения материальных ресурсов. В общем виде данная задача может быть сформулирована следующим образом:
- •Лекция 3. Экономико-статистическое моделирование и прогнозирование
- •1 Понятие экономико-статистической модели
- •2 Основные инструменты анализа экономических данных1
- •3 Применение корреляционного анализа для решения экономических задач1
- •4 Применение регрессионного анализа для решения экономических задач1
- •5 Трендовые модели прогнозирования экономических процессов
- •Лекция 4. Модели оптимального управления товарными запасами
- •1 Основные понятия экономико-математических моделей управления запасами
- •2 Модели управления однономенклатурными запасами1
- •3 Модели управления многономенклатурными запасами2
- •Лекция 5. Модели систем массового обслуживания
- •1 Понятие о системах массового обслуживания (смо)
- •2 Основные характеристики смо1
- •3 Классификация смо
- •4 Экономико-математическая постановка задач массового обслуживания
- •Лекция 6. Методы и модели сетевого планирования и управления
- •1 Особенности и назначение систем сетевого планирования и управления
- •2 Основные понятия, определения и графические обозначения спу
- •3 Правила построения сетевых графиков
- •4 Основные параметры сетевых моделей и методы их расчета
- •5 Постановка задач для решения методами спу
- •6 Виды и сущность оптимизации сетевых моделей
- •Лекция 7. Экономико-математические методы и модели теории игр
- •1 Предмет и задачи теории игр
- •2 Матричные игры с нулевой суммой
- •3 Решение матричных игр в чистых стратегиях
- •4 Решение матричных игр в смешанных стратегиях
- •5 Решение статистических игр по различным критериям
- •Лекция 8. Модели межотраслевого баланса
- •1 Общие понятия балансового метода
- •2 Принципиальная схема межотраслевого баланса
- •3 Экономико-математическая модель межотраслевого баланса
- •Литература
2 Матричные игры с нулевой суммой
Будем рассматривать игры, в которых у каждого из двух игроков А и В конечное число возможных действий – чистых стратегий. Допустим, что игрок А располагает m чистыми стратегиями А1,..., Аm, а игрок В - n чистыми стратегиями В1,..., Вn. Чтобы игра была полностью определенной, необходимо указать правило, сопоставляющее каждой паре чистых стратегий Аi и Вj число аij - выигрыш игрока А за счет игрока В или проигрыш игрока В.
Рассматриваем парные игры с нулевой суммой, в которых выигрыш одного игрока равен проигрышу другого. При аij < 0 игрок А платит игроку В сумму |aij|. Если игра состоит только из личных ходов, то выбор пары чистых стратегий (Аi; Вj) единственным образом определяет исход (результат) игры. Если же в игре используются случайные ходы, то исход игры определяется средним значением выигрыша (математическим ожиданием). Если известны значения аij для каждой пары (Аi; Вj) чистых стратегий, то можно составить матрицу игры – платежную матрицу (таблица 7.1), являющуюся табличной записью функции выигрыша.
Таблица 7.1 – Платежная матрица игры
-
Аi
Вj
αi
В1
…
Вn
А1
а11
…
a1п
α1
…
…
…
…
…
Am
am1
…
amn
αm
βj
β1
…
βn
В теории матричных игр всегда предполагается, что в платежной матрице записаны выигрыши игрока А. Напомним, что выигрыши могут выражаться и отрицательными числами. Это означает, что в подобном случае фактически выигрывает игрок В. Описанные игры называют прямоугольными, или матричными. Отдельная партия в такой игре реализуется следующим образом. Игрок А выбирает одну из строк платежной матрицы (одну из своих чистых стратегий). Не зная результата его выбора, игрок В выбирает один из столбцов (свою чистую стратегию). Элемент матрицы, стоящий на пересечении выбранных строки и столбца, определяет выигрыш игрока А (проигрыш игрока В).
3 Решение матричных игр в чистых стратегиях
Целью участников любой матричной игры является выбор наиболее выгодных стратегий, доставляющих игроку А максимальный выигрыш, а игроку В минимальный проигрыш. Стратегию игрока А называют оптимальной, если при ее применении выигрыш игрока А не уменьшается, какими бы стратегиями не пользовался игрок В. Оптимальной для игрока В называют стратегию, при использовании которой проигрыш игрока В не увеличивается, какие бы стратегии не применял игрок А.
Предположим, что игроку А надлежит сделать свой выбор. Анализируя платежную матрицу (см. таблицу 7.1), он для каждой чистой стратегии Ai () сначала найдет минимальное значениеαi ожидаемого выигрыша: (), а затем из всехαi выделит наибольшее и выберет соответствующую ему чистую стратегию. Это и будет наиболее предпочтительная (гарантирующая) в данных условиях стратегия игрокаА. Ее называют максиминной, поскольку она отвечает величине
(7.1)
Число α, определяемое по формуле (7.1), называется нижней чистой ценой игры (максимином). Оно показывает, какой минимальный выигрыш может получить игрок А, правильно применяя свои чистые стратегии при любых действиях игрока В.
В свою очередь, игрок В, стремясь минимизировать проигрыш, при выборе наиболее предпочтительной стратегии использует принцип осторожности так: сначала он для каждой чистой стратегии Вj () найдет максимально возможный проигрыш(), а затем средиβj выберет минимальное значение , которому и будет соответствовать искомая чистая стратегия. Ее называютминимаксной, так как она соответствует величине
(7.2)
Число β, определяемое по формуле (7.2), называется верхней чистой ценой игры (минимаксом). Оно показывает, какой максимальный проигрыш может быть у игрока В при правильном выборе им своих чистых стратегий независимо от действий игрока А.
Если в матричной игре нижняя и верхняя чистые цены совпадают, т.е. α = β, то эта игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры ν = α = β. Оптимальными для игроков будут соответственно максиминная и минимаксная стратегии, а чистой ценой игры – седловой элемент платежной матрицы. Если игра седловой точки не имеет, то решение игры затрудняется
Таким образом, правильно используя чистые стратегии, игрок А обеспечит себе выигрыш не меньше α, а игрок В в результате правильного применения своих чистых стратегий не позволит игроку А выиграть больше, чем β.