- •Экономико-математические методы и модели
- •Содержание
- •Лекция 1. Теоретические основы экономико-математического моделирования
- •1 Объекты изучения и методы исследования курса «Экономико-математические методы и модели»
- •2 Понятие экономико-математической модели и моделирования
- •3 Классификация экономико-математических моделей
- •4 Основные этапы экономико-математического моделирования
- •5 Программное обеспечение экономико-математического моделирования
- •Лекция 2. Система экономико-математических моделей оптимального планирования и управления
- •1 Понятие оптимизационных задач и оптимизационных моделей
- •2 Методика построения оптимизационной модели
- •3 Основные типы линейных экономико-математических моделей
- •1.3 Модели рационального распределения материальных ресурсов. В общем виде данная задача может быть сформулирована следующим образом:
- •Лекция 3. Экономико-статистическое моделирование и прогнозирование
- •1 Понятие экономико-статистической модели
- •2 Основные инструменты анализа экономических данных1
- •3 Применение корреляционного анализа для решения экономических задач1
- •4 Применение регрессионного анализа для решения экономических задач1
- •5 Трендовые модели прогнозирования экономических процессов
- •Лекция 4. Модели оптимального управления товарными запасами
- •1 Основные понятия экономико-математических моделей управления запасами
- •2 Модели управления однономенклатурными запасами1
- •3 Модели управления многономенклатурными запасами2
- •Лекция 5. Модели систем массового обслуживания
- •1 Понятие о системах массового обслуживания (смо)
- •2 Основные характеристики смо1
- •3 Классификация смо
- •4 Экономико-математическая постановка задач массового обслуживания
- •Лекция 6. Методы и модели сетевого планирования и управления
- •1 Особенности и назначение систем сетевого планирования и управления
- •2 Основные понятия, определения и графические обозначения спу
- •3 Правила построения сетевых графиков
- •4 Основные параметры сетевых моделей и методы их расчета
- •5 Постановка задач для решения методами спу
- •6 Виды и сущность оптимизации сетевых моделей
- •Лекция 7. Экономико-математические методы и модели теории игр
- •1 Предмет и задачи теории игр
- •2 Матричные игры с нулевой суммой
- •3 Решение матричных игр в чистых стратегиях
- •4 Решение матричных игр в смешанных стратегиях
- •5 Решение статистических игр по различным критериям
- •Лекция 8. Модели межотраслевого баланса
- •1 Общие понятия балансового метода
- •2 Принципиальная схема межотраслевого баланса
- •3 Экономико-математическая модель межотраслевого баланса
- •Литература
2 Методика построения оптимизационной модели
Методика построения оптимизационной модели состоит в том, чтобы экономическую сущность задачи представить математически, используя различные символы, переменные и постоянные величины, индексы и другие обозначения.
Все условия задачи необходимо записать в виде уравнений или неравенств. Поэтому, в первую очередь необходимо определить систему переменных величин, которые могут для конкретной задачи обозначить искомый объем производства продукции на предприятии, количество перевозимого груза поставщиками конкретным потребителям и т. д. Как правило, для обозначения переменных величин используются буквы: х, у, z, а также их модификации. Например, модификация переменной х: и т. д. Аналогичные модификации могут быть и для других переменных, используемых в модели. Переменные х1, х2, …, хn могут обозначать объемы производства или реализации продукции соответственно первого, второго и так далее n-го вида. Переменные хij могут обозначать объемы производства продукции i-го вида j-м технологическим способом. Для индексации, как правило, используются латинские буквы: i, j, s, l. Количество переменных может обозначаться буквами n, k, m. По каждой переменной для конкретной задачи дается словесное пояснение.
Целевую функцию (цель задачи) чаще всего обозначают буквами f, F, Z. Постоянные величины обычно обозначают буквами: а, b, с, d и т. д.
Ограничения модели должны отражать все условия, формирующие оптимальный план. Однако практически учесть все условия задачи для достижения цели невозможно, достаточно учесть основные условия. Естественно, полученная модель будет упрощенной по сравнению с реальной, которая отражала бы все условия поставленной задачи.
Итак, в упрощенном виде экономико-математическая модель представляет собой:
1) систему ограничений - равенства, неравенства вида больше или равно (), меньше или равно ();
2) условия неотрицательности переменных, исходя из экономической или физической сущности переменных (хj >0), ();
3) целевую функцию.
Математически общую модель задачи можно представить в виде:
найти значения n переменных х1, х2, …, хn, которые удовлетворяют системе ограничений
fi (х1, х2, …, хn) {<,=,>} bi () (2.2)
и максимизируют или минимизируют целевую функцию
Z = f (х1, х2, …, хn) (max/min). (2.3)
Если на переменные налагается условие неотрицательности, тогда в модель задачи вводится условие
(хj >0), ().(2.4)
Иногда на переменные налагается условие целочисленности, тогда его можно записать в виде
xj = 0, или 1, или 2, или 3 и т. д.
3 Основные типы линейных экономико-математических моделей
Среди линейных моделей математического программирования особое место занимают четыре типа моделей:
модель общей задачи линейного программирования;
модель транспортной задачи линейного программирования;
модель распределительной задачи линейного программирования;
модель ассортиментной задачи линейного программирования.
1 Модель общей задачи линейного программирования применяют для решения задач планирования в торговле, использования сырья, определения оптимального плана выпуска изделий и др.
В торговле планирование связано с поиском наиболее выгодного варианта распределения различного вида ресурсов: финансовых, трудовых, товарных, материальных, технических и др. Модель общей задачи линейного программирования применяют для решения широкого круга задач торговой практики, таких как планирование товарооборота; организация рациональных закупок продуктов питания (задача о диете); замена торгового оборудования; определение ассортимента товаров для торговой базы в силу ограниченной площади хранения; установление рационального режима работы и т.д.
1.1 Модель оптимального планирования товарооборота. Торговое предприятие реализует товары нескольких групп: А, В, С. Для реализации единицы товара группы А затраты рабочего времени составляют a11 чел.-ч., товара группы В – a12 чел.-ч., товара группы С – a13 чел.-ч. Площадь торгового зала, занимаемая единицей товара А, составляет а21 м2, товара В – а22 м2, товара С – а23 м2. Расходы (издержки обращения) при продаже единицы товара группы А составляют а31 ден. ед., группы В – а32 ден. ед., группы С – а33 ден. ед. Известны величины ресурсов: рабочее время – b1 чел.-час., площадь торгового зала b2 м2, издержки обращения b3 ден.ед. Доход при реализации единицы товара группы А равен c1 ден. ед., товара группы В – c2 ден. ед., товара группы С – c3 ден. ед.
Требуется составить экономико-математическую модель задачи, пользуясь которой, можно найти план товарооборота по критерию максимума дохода f.
Экономико-математическая постановка задачи. Известно, что величина дохода линейно связана с объемом продажи товаров х1, х2 и х3. В связи с этим целевую функцию можно записать таким образом:
f = (c1 x1 + c2 х2 + c3 х3) → max. (2.5)
Очевидно, что объем продажи товаров не может быть отрицательной величиной. Поэтому x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0. Учитывая нормы затрат рабочего времени и то, что общие затраты в целом не должны превышать имеющихся ресурсов, запишем следующее ограничение:
(2.6)
Исходя из торговой площади и общей площади запишем следующее ограничение:
(2.7)
Поскольку известны ограничения по издержкам обращения, запишем последнее ограничение
(2.8)
1.2 Модель планирования рациональных покупок продуктов питания (задача о диете). Нередко возникают задачи, связанные с осуществлением рациональных покупок продовольственных товаров, обеспечивающих необходимый рацион питания. Задачи о рациональном питании решаются в условиях ограниченного ассортимента, товарных запасов, стоимости, суточных норм потребления питательных веществ и их содержания в продуктах. В любом случае из всех возможных вариантов необходимо выбрать самый экономичный.
Экономико-математическая постановка задачи. Допустим, имеется набор продуктов: мясо, рыба, молоко, сахар, яйца, картофель, овощи, фрукты, хлеб, мука по цене соответственно: с1, …, сn, причем запасы этих продуктов ограничены: а1, …, аn.
Содержание питательных веществ – белков, жиров, углеводов, витаминов и минеральных солей – в 1 кг каждого продукта известно и составляет соответственно: q11, q21, …, qi1, …, qmn. Кроме того, известны нормы суточной потребности человека в каждом питательном веществе: b1, b2, …, bm.
Перечисленные показатели можно записать в виде системы линейных ограничений:
(2.9)
Еще одно ограничение связано с тем, что количество каждого продукта в рационе, с одной стороны, не может быть величиной отрицательной, а с другой — его покупка ограничена запасами:
(2.10)
В задаче необходимо определить такое количество закупаемых продуктов, которое бы обеспечило потребность человека в питательных веществах при минимальной стоимости набора и описывалось бы линейной формой связи целевой функции:
. (2.11)