математика Раздел1 практика

Значит,					а		в = (-2;			-19;								27) .
							2) 2	( 19) 2										(27) 2
	a	в		(																		1094 .
Следовательно,
			1							1
														1094 .
SА1 А2 А3 2							a	в
												2
3.		Объем пирамиды найдем по формуле
										1												1			а1	а2	а3
								V					а в					с							в	в	в		,
										6												6			1	2	3
																									с1	с2	с3
где		а (а1; а2; а3),						в (в1; в2; в3),														с (с1; с2; с3) .
Найдем координаты векторов																		А1А2 , А1А3 , А1А4 :
А1А2 = ( 3; -6;							-4) ,				А1А3 =							(4; 1;				1),				А1А4	= (3;		-1; -3).
Тогда
		1					6	4			1
					3
V		6			4		1	1			11							(ед.куб)
																3
					3		1	3

4. Составим уравнение грани А1А2 А3 как уравнение плоскости, которая проходит через три точки Мо (х0, уо, zо); М1 (х1, у1, z1); М2 (х2, у2, z2):

	х	х0	у у0 z		z0
	x1	x0	y1	y0 z1	z0	0 .
	x2	x0	y2	y0 z2	z0

Для точек А , А , А имеем:
1	2	3

41

	х 0			у 4		z 5								х 0																у 4												z 5
	3	0		2	4	1	5							3																		6													4							х(		2)						( y				4) 19	(z 5) 27
	4	0		5	4	6	5							4													1																1
		2x 19у 76 27z 135																								2x							19y										27z					59						0.
Таким образом,							2x					19y											27z										59							0				- уравнение грани А1А2 А3 .
		5.	Из уравнения плоскости А1А2 А3																																найдем нормальный вектор плоскости
n		(	2;	19; 27).			Этот вектор является направляющим вектором для
высоты, опущенной из точки А4 на грань																																									А1А2 А3 , т.е. l																		( 2;					19;	27) .
Уравнение высоты имеет вид
																				x	3											y		3									z			2			.
																					2													13									27
		6. Синус угла между ребром А1А4																																и гранью А1А2 А3																									можно найти по
формуле
								sin																						Al						Bm									Cn													.
																					A2						B2								C2								l2					m2						n2
Составим уравнение прямой А1А4																											. Для этого воспользуемся каноническими
уравнениями прямой в пространстве
														х							х1									у					у1									z					z1			,
														х							х									у						у								z
																																4													4				z
												4									1													1														1
														х							0								у					4							z				5	,
												3								0							3							4						2					5
														х									у				4								z					5		.
												3															1													3
Отсюда l= 3,						m =	-1,						n =							-3 .
Уравнение плоскости А1А2 А3																					имеет вид
						2x		19y								27z											59							0 .
Отсюда				А = -2, В = -19,																С =							27.
Тогда синус угла между гранью																											А1А2 А3 и ребром А1А4																																	равен
						sin															6						19							81																				68									,
												9				1					9						4							361									729					19											1094
		откуда				arcsin						68											.
									1094										19

42

Задания для решения:

1.Составить канонические уравнения сторон треугольника с вершинами

Р(2; –4; 3), Q (4; 6; 7), R (5; 2; –8) и уравнения его медианы, проведенной из вершины R.

x8 2t,

2. Найти угол между прямой y 7 2t, и плоскостью z 9 4t

6х – 3у – 3z + 1 = 0.

3. Найти точку, симметричную точке Р (2; –4; 5) относительно прямой

x1 3t,

y	3	t,
z	3	4t.
	4. При каком значении l прямая		x 3		y 2		z 5		параллельна
			l		4		6

плоскости 2х – 5у + 3z – 7 = 0.

5. Найти проекцию точки Р (1; 2; –3) на плоскость 6х – у + 3z – 41 = 0.

43

Раздел II Введение в математический анализ

Тема 2.1 Элементарные функции и их графики. Предел числовой последовательности.

Введение в математический анализ:

1.Функцией y = f (x) называется соответствие f, которое каждому элементу х из множества Х сопоставляет один и только один элемент у из множества Y;

2.Областью определения D(y) функции y = f (x)называется множество всех действительных значений аргумента хпри которых она имеет действительное значение.

3.Областью значения E(y) функции y = f (x)называется множество всех действительных значений функцииу, которые она может принимать.

4.Графиком функции у = f (x) называется множество всех точек плоскости Оху, для каждой из которых х является значением аргумента, а у – соответствующим значением функции;

5.Функция у = f (x), определенная на множестве D, называется возрастающей, если значений аргументов x1, x2 D таких, что из

неравенства x1 < x2 следует неравенство f(x1) < f(x2), т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции;

y

x

6.Функция у = f (x), определенная на множестве D называется неубывающей, если значений аргументов x1, x2 D таких, что из

неравенства x1 < x2 вытекает f(x1) ≤ f(x2).

5.Функция у = f (x), определенная на множестве D называется убывающей, если значений аргументов x1, x2 D таких, что из неравенства

x1 < x2 следует неравенство f(x1) > f(x2), т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции;

y

x

6.Функция у = f (x), определенная на множестве D называется невозрастающей, если значений аргументов x1, x2 D таких, что из

неравенства x1 < x2 следует неравенство f(x1) ≥ f(x2);

44

7.Функция у = f (x), определенная на множестве D называется периодической, если существует такое числоТ ≠ 0, что при каждом значении x D значения (x + T) D, (x – T) D и f(x – T) = f(x + T) = f(x);

8.Функция у = f (x), определенная на множестве D, называется нечетной,

если х D выполняются условия: – х D и f(– x) = –f(x);

График нечетной функции симметричен относительно начала координат, например:

y

x

9.Функция у = f (x), определенная на множестве D, называется четной,

если х D выполняются условия:– х D и f(– x) = f(x); График четной функции симметричен относительно оси Оу

y

x

Графики элементарных функций.

45

Образцы решения задач:

ПРИМЕР: Построить график функции f (x) x sin x .

РЕШЕНИЕ: График данной функции получается путем сложения графиков

двух функций: g(x)	x, t(x)	sin x , изображенных на рисунке штриховыми
линиями. Ряд точек	графика	функции f (x) x sin x можно построить

принимая во внимание следующее:

1. f (x) x для тех х, при которых sin x 0 ;

46

2.	f (x)	x	1 для тех х, при которых sin x	1;
3.	f (x)	x	1 для тех х, при которых sin x	1.

ПРИМЕР: Построить график функции f (x) x sin x .

РЕШЕНИЕ График данной функции представляет собой произведение графиков двух функций: g(x) x, t(x) sin x . График можно построить по

точкам, имея в виду следующее:

1. так как 1 sin x			1, то	x f (x) x ,	т.е. график функции
f (x)	x sin x	целиком расположен между прямыми			y x, y	x (см. рис.
выше);
2.	f (x)	0 , если sin x	0 ;
3.	f (x)	x , если sin x	1;
4.	f (x)	x , если sin x	1.

ПРИМЕР: Построить график функции t(x)	sin x 3 .
РЕШЕНИЕ: Графиком данной функции	является синусоида f (x) sin x ,

сдвинутая в направлении оси Оу вверх на три единицы (рис. ниже).

47

ПРИМЕР: Построить график функции f (x) cos		x		.
			4
РЕШЕНИЕ:	График этой функции представляет собой				косинусоиду
t(x) cos x ,	сдвинутую вдоль оси Ох вправо	на	величину,		равную		.
						4

y = cos(x–π/4)

ПРИМЕР: Построить график функции f (x)		x2	2x	3	.
РЕШЕНИЕ: Построим сначала график функции			y	x2 2x 3.		Преобразуя
правую часть последнего уравнения, получим
y (x2 2x 1) 1 3,	y (x 1)2			4,
откуда
y 4 (x	1)2 .
Это уравнение определяет параболу с вершиной в точке O (1,						4) и осью,
параллельной оси Оу.

48

Парабола пересекает ось Ох в точках x1

1,

x2

3 (значения х получены из

уравнения

x2

2x

3

0 ). Уравнение

y x2 2x

3

можно

представит в

виде y (x

1)(x

3), откуда видно, что

(x2

2x 3)

0 при х < –1 и х > 3,

(x2

2x

3)

0 при –1 < x <3,

Переходим

к

функции

x2

.

По

определению

абсолютной

f (x)

2x

3

величины имеем:

f (x)

x2

2x

3 , если x2

2x

3

0 ;

f (x)

(x2

2x

3) , если (x2

2x

3)

0.

Следовательно,

график функции

f (x)

x2

2x

3

получается следующим

образом: при х < –1 и х > 3 он совпадает с графиком функции y

x2 2x 3;

при –1 < x <3 совпадает с графиком y

(x2

2x

3)

при изменении знака

ординат всех точек.

ПРИМЕР:

Показать,

что

последовательность

xn

1

(n

1, 2, 3,...) имеет

n

пределом нуль. Начиная с какого номера ее значения становятся и остаются меньше 0,001?

РЕШЕНИЕ: Последовательность xn

		1,		1		,
		2
Пусть	0,001. Неравенство		1
			n

Следовательно, N = 1000. Возьмем произвольное число

				1						(n			1, 2, 3,...) принимает значения
				n
		1	,		1		,				1		, ...
	3			4						5
			1						будет иметь место, когда n > 1000.
	1000

0 . Покажем, что, начиная с некоторого

a

. В данном случае xn

1

значения n, выполняется неравенство

xn

и

n

1

0

1

будет выполняться, когда n

1

а = 0. Неравенство

или

. В

n

n

49

качестве N можно взять меньшее из двух целых чисел, между которыми

заключено

1

. Таким образом, для любого

0 можно указать такое N, что

для всех

n

N выполняется неравенство

1

; это означает, что xn имеет

n

пределом нуль, т.е.

lim

1

0 .

n

n

Задания для решения:

1. Построить по точкам графики функций:

а)

y

x4 ;

б)

y

x

1

2 .

2. С помощью простейших преобразований построить графики функций:

а)

y

(x 2)2 ;

б)

y

cos x

2 ;

в)

y

x2

5x

6

;

г)

y

1

.

x 2

50