математика Раздел1 практика

Y

a	Z

r

b

0

X

Здесь из геометрических соображений очевидно

					a 2 b2
a	r cos	r	z
						b .
b	r sin		arg z		arctg
						a

Над комплексными числами производятся операции сложения, вычитания, умножения и деления. Для чисел, заданных в алгебраической форме, эти операции определяются соответственно:

z z1 z2	(a1	ib1 ) (a2 ib2 ) (a1 a2 ) i(b1 b2 )
z z1 z2	(a1a2	b1b2 ) i(a1b2 b1a2 )

z

z1

a1

ib1

(a1

ib1 )(a2

ib2 )

(a1a2

b1b2 ) i(a2b1

a1b2 )

.

z

2

a

2

ib

(a

2

ib )(a

2

ib )

a2

b2

2

2

2

2

2

Тригонометрическая форма удобна для умножения и деления

комплексных чисел: если z1

r1 (cos

1 i sin

1 ) , z2

r2 (cos 2

isin 2 ) , то

z

z1 z2

r1r2 (cos(

1

2 ) i sin(

1

2 )) ,

z

z1

r1

(cos(

) i sin(

)) .

z2

r2

1

2

1

2

Из операции умножения комплексных чисел следуют формулы Муавра, позволяющие легко возвести данное число в натуральную степень

z n r n (cosn

i sin n

) и извлечь корень натуральной степени из

2 k

2 k

комплексного числа n

z

n r(cos

i sin )

n r

cos

i sin

,

n

n

k 0,1,..., n 1.

Равенство w e x

iy

ex (cos y

i sin y) называется уравнением Эйлера.

Уравнение Эйлера позволяет комплексные числа представлять в

показательной форме:

z

r(cos

i sin

)

rei .

Пример. Выполнить арифметические действия над комплексными

числами в алгебраической форме:

z1

7

2i , z2

2

7i .

81

Решение. z1

z2

7

2i

2

7i

5 9i ,

z1

z2

7

2i

2

7i

9

5i . (Для вычисления применяем все

известные правила приведения подобных).

z1

z2

7

2i

2

7i

28

45i (Дополнительно используем факт

i2

1).

z1

7

2i

(

7

2i)(2

7i)

14

49i

4i 14

53i

i. (Применяется

z2

2

7i

(2

7i)(2

7i)

4

49

53

основное свойство дроби).

Задания для самостоятельного решения.

Выполнить арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме:

1.	z1	3 2i , z2	5 7i		2.	z1	1 2i , z2	2 3i
3.	z1	2 4i , z2	3 5i		4.	z1	2 3i , z2	5 1i
Пример.		Представить заданные комплексные числа z в
тригонометрической и показательной форме, z							2 2i . Найти z3 , выписать
все корни 3-ей степени из z .
Решение.		Изобразим z 2		2i на комплексной плоскости.

Y

0

X

																									22								2 2
Модуль числа z												z					2		2i																						8 , его аргумент
arg z	2		аrctg					2				2											7			. Значит, тригонометрическая форма числа
						2											4						4
z будет z																			7											7			. Показательная форма этого числа будет
			2			2i						8					cos								i sin
																			4											4
						7						i																																		3
																								z3													7							7							21		21
						e 4								. Тогда																												i sin										i sin
z 2 2i			8																											8			cos															8 8 cos
																																					4								4						4	4
			5			i sin				5															2								2
8	8 cos																8		8												i								4			16				i 16			16 i		16 .
			4									4													2								2
Найдѐм все корни 3-ей степени из числа z																																										2			2i :
																																					82

									7	2 k	7			2 k
									4		i sin	4
k	3 2 2i		3 8 cos												. При k 0
										3				3

		7				7
														7		7
			cos	4			i sin	4					cos		i sin		0,37 0,37i ,
	0	2										2
		3				3				12					12

1

2

					7		2					7				2
																							5				5
					4					i sin		4														i sin				1 i ,
2			cos														2					cos
							3					3											4				4
					7			4				7				4
																								23				23
						4				i sin			4													i sin				1,37 0,37i .
2			cos															2				cos
							3					3											12					12

Замечание.	Если аргумент комплексного числа z 0 0i не
		arctg	b	; a	0, b		0;
			a
―табличный‖, то arg z		arctg	b		;	a	0;
			a
		arctg	b		2	; a	0, b 0.
			a

Задания для самостоятельного решения.

Представить заданные комплексные числа z в тригонометрической и

показательной форме, z									2 2i . Найти z3 , выписать все корни 3-ей степени
из z :
1.	z		1		3			i		2.	z	3				1	i
		2		2								2				2
3.	z	1		1i						4.	z	i

33 Интегрирование с помощью таблицы основных неопределенных интегралов.

Умение увидеть в интеграле ―табличный‖ интеграл называется ―непосредственным ‖ интегрированием.

Пример. Вычислить неопределѐнный интеграл	2	3		dx путѐм
	x		x2 4

непосредственного интегрирования.

Решение. Используя свойства интегралов и таблицу основных интегралов, находим:

83

2

3

dx

2

dx

3

dx 2

1

dx 3

1

dx 2 ln

x

3

1

ln

x 2

C

x x 2

x 2 4

x 2 22

4

x

x

2 2

x 2

3

x

2

C .

2 ln

x

ln

4

x

2

6

2x

Пример. Вычислить неопределѐнный интеграл

dx путѐм

1

3x2

непосредственного интегрирования.

Решение. Используя свойства интегралов и таблицу основных интегралов,

находим:

6						2x								6									2x							d 1			3x 2				6xdx
							dx												dx						dx					1		d 1
1			3x 2						1					3x 2							1		3x 2											3x 2			2xdx
																														3
														1						d 1 3x			2
																																											d 1 3x 2
							1											3								6							1								1
6												dx																								d		3x
								3x 2						1							3x 2													3x 2						3			1 3x 2
			1																							3 1
6															1	ln 1					3x 2
						arctg				3x														C .
3														3

Задания для самостоятельного решения.

Вычислить неопределѐнный интеграл путѐм непосредственного интегрирования:

1.						3						2.				3
				x							dx			1	2x		dx
								x
3.												4.			cos x
	3 2x					4 2 dx											dx
														4	sin x
5.				2					sin 7 8x dx			6.		2 3x		4	dx
	3				4x

34 Интегрирование с помощью замены переменной и по частям.

В основе метода замены переменной (метода подстановки) лежит

	Теорема:	f (x)dx	x	t	f ( (t)) (t)dt . Интеграл в правой части
			dx	' t dt

формулы предполагается проще интеграла в левой части формулы, все участвующие в формуле элементы существуют.

Пример. Найти неопределенный интеграл sin x cos xdx .

Решение.

sin x

t

. Тогда

sin x cos xdx

cos xdx

dt

1/ 2

2

3 / 2

2

3 / 2

sin x cos xdx

tdt t

dt

t

C

sin

x C.

3

3

84

Пример. Вычислить неопределѐнный интеграл

переменной.
Решение. Сделаем замену переменной:
				sin x			4
Приравнивая дифференциалы, получим: d sin x							4
Подставляя в интеграл, получим:	cos xdx						2tdt
							t
		sin x	4

cos xdx				методом замены
	sin x	4
t , тогда sin x 4					t 2 .
d t 2		или cos xdx			2tdt .
2 dt		2t C . Вернѐмся к

старой переменной: 2t

C . Значит,

cos xdx

C .

C

2

sin x

4

2 sin x 4

sin x

4

Пример. Найти неопределенный интеграл

x(x2

1)3 / 2 dx.

Решение.

x(x

2

1)

3 / 2

dx.

t

x 2

1

t

3 / 2 dt

1

t

3 / 2

dt

1 2

t

5 / 2

C

dt

2xdx

2

2

2 5

t 5 / 2

(x2

1)5 / 2

C .

C

5

5

Формула

udv

uv

vdu называется формулой интегрирования по частям.

При правильном выборе функций u

u x и v

v x Она позволяет свести

данный интеграл к более простому.

Пример. Методом интегрирования по частям вычислить интеграл

arctg x

2 dx .

Решение. Применим формулу интегрирования по частям:

udv uv

vdu . В

нашем случае

u

arctg x

2

dv

dx

dx

arctg x

2 dx

dx

x

arctg x

2

x

du

v

x

x

2

1

x

2

2

1

2

x

arctg x

2

x

2

2

d x

2

x

arctg x

2

x

2

d x 2

1

x

2 2

1

x

2 2

2

d x 2

x

arctg x

2

1 d x 2 2

2

d x 2

2 1 x 2 2

1 x 2 2

1 x 2 2

x

arctg x

2

1

d 1

x

2 2

2

d x

2

2

1

x

2 2

1

x

2 2

x arctg x

2

1

ln 1

x

2 2

2arctg x

2

C . При решении использовали

2

таблицу основных интегралов:

d 1

x

2 2

2 2

так как

ln

1

x

C

1

x

2 2

dt

d x

2

dt

ln

t

C и

arctg x

2

C так как

arctgt

C .

t

1

x

2 2

1

t 2

Задания для самостоятельного решения.

85

Вычислить неопределѐнный интеграл методом замены переменной.

1.		arcsin x					dx				2.			arctgx
			1 x2											1		x 2 dx
3.			cos x					dx			4.					dx
				sin 3 x											x (x			3)
5.				dx							6.					dx
	1				x	1								2			x	3

Задания для самостоятельного решения.

Методом интегрирования по частям вычислить интеграл

1.

x

3

x

dx

2.

x

2

2x

ln xdx

3.

e

2 x

cos xdx

4.

ln x

dx

x3

5.

ln( x 5)dx

6.

(2

x)5

x

dx

36 Вычисление определенных интегралов. Основные методы определенного интегрирования. Несобственные интегралы.

Вычисление определѐнных интегралов основывается на следующей теореме:

Теорема: Если функция F(x) – какаято первообразная от

b

непрерывной функции f(x), то f (x)dx F (b) F (a) .

a

Последнее выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.

							2					dx
Пример.	Вычислить															.
							0		4					x2
2		dx	2				dx										x		2		2		0			.
Решение															arcsin					arcsin		arcsin		arcsin 1 arcsin 0
0 4 x2 0 22 x2																	2		0		2		2	2
							12
Пример.	Вычислить									cos3 2xdx .
									2

86

														12												12																											1 12
Решение																			cos3 2xdx																			cos2					2x cos 2xdx																	cos					2 2x cos 2xd 2x
																																																					2
														2												2																														2
1			12											2 2xd sin 2x												1 12																	sin 2 2x d sin 2x																1 12															1			12						2 2xd sin 2x
							cos																															1																											d sin 2x														sin
2																										2																																	2															2
			2																							2																																	2																		2
	1																				1		sin 3 2x															1																													1		sin 3 2												1	sin 3
		sin 2x									12																12																sin 2							sin 2																																		2
2																					6																	2						12												2									6									12			6							2
														2												2
1				sin											sin									1	sin	3													1		sin 3			1						1			0						12						1					11	.
2			6																		6					6												6						4						48									48											48
Задания для самостоятельного решения.
Вычислить
1.							27 3											dx																												2.							3			x						1 2dx
															x
						1																																															1
3.						3								1								dx																								4.							1												1
																																																																									dx
													3 x2
																																																					0 6 4x 2x2
										3

Различают несобственные интегралы по бесконечному промежутку и от разрывных функций (несобственные интегралы 1 и 2-го рода).

					b
Определение: Если существует конечный предел					lim f (x)dx , то этот
				b	a
предел называется несобственным интегралом от функции f(x) на
интервале [a,	).
Обозначение:			b
	f (x)dx		lim f (x)dx
	a	b	a

Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится, в противном случае несобственный

интеграл f (x)dx расходится.

a
b			b	c
Аналогично,	f (x)dx	lim	f (x)dx и f (x)dx	f (x)dx f (x)dx .
		a	a	c
Если в точке x	b функция либо неопределена, либо имеет разрыв 2 рода, то
			87

b		b	f (x)dx .
	f (x)dx	lim
a		0 a
	Если в точке x			a функция либо неопределена, либо имеет разрыв 2
рода, то b f (x)dx			lim	b f (x)dx .
	a			0 a
	Если функция f(x) имеет разрыв в точке c на промежутке a;b , то
b	c		b
	f (x)dx	f (x)dx	f (x)dx
a	a		c

Если все предел существуют и конечны, то говорят, что несобственные интегралы сходятся, если хотя один из них не существует, то интегралы расходятся.

Пример. Выяснить сходимость интеграла

arctg3x

dx .

1 1

9x2

Решение.

arctg3x

b arctg3x

1

b

dx

lim

dx

lim

arctg3xdarctg3x

2

2

3 b

1 1 9x

b

1 1 9x

1

1

lim

arctg 2 3x

b

1

lim

arctg 2 3b

1

lim

arctg

2 3

1

2

1

arctg 2

3.

3 b

2

1

6 b

6 b

6

2

6

Так как полученный предел существует и конечен, то исходный интеграл сходится.

																			2			dx
Пример. Выяснить сходимость интеграла																							.
																			0 x			2 2
Решение.				Подынтегральная функция в точке x 2 не определена и имеет
разрыв второго рода. Значит,
2	dx					2			dx				2					d x	2						1		2
				lim								lim										lim
0 x 2 2								x 2 2										x 2 2
				0		0							0 0									0 x 2					0
	lim			1		lim				1		lim		1		1		. Конечного предела не существует,
		2		2				0 0		2						2
	0												0

исходный интеграл расходится.

Задания для самостоятельного решения.

Исследовать на сходимость несобственные интегралы

88

1.			1			2.			x
				dx							dx
	1		x2				0		x2 9
3.	4		dx			4.	e		dx
	0	x	1 2				2 x		ln 2 x

37 Решение задач прикладного характера с помощью определенных и несобственных интегралов.

Если непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением

y f x ,	f x	0 x a,b , то	площадь	криволинейной	трапеции,
ограниченной		графиком функции	y f x ,	прямыми x a , x	b и осью

b

абсцисс, вычисляется по формуле: S f x dx .

a

ПРИМЕР. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями: у = х2, x + y = 6, х ≥ 0. Сделать чертѐж.

Решение. Выполним чертеж.

Рисунок

Найдем точки пересечения кривых. Решим систему

y	x2 ,
x	y 6,
x	0.

Получим точку А(2; 4) (рисунок).

b

Воспользуемся формулой S ( f2 (x) f1(x))dx .

a

Следовательно, площадь фигуры равна:

89

2		x2		x3		2
S = (6 x х2 )dx =	6x
		2	3
0						0

= 12 – 2 – 83 = 223 (кв. ед.).

Задания для самостоятельного решения.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертѐж.

1.	y	x 2	2,	2.	yx	6,
	y	x	0		y	7	x
3.	y 2	9x,		4.	y x3		3, y x 1,
	y	3x			x	0, x	2

90