математика Раздел1 практика

Тема 2.5 Непрерывность функции. Исследование функций на непрерывность.

Образцы решения задач:

ПРИМЕР Исследовать функцию f(x) на непрерывность , найти точки разрыва и определить их тип. Изобразить схематически график функции. РЕШЕНИЕ:

f (x) =		x	6			6	.
		x	6			x

Функция определена на интервалах (- ; -6); (-6;0); (0,+ ).

Исходя из определения модуля действительного числа, можно записать:

		х	6				6				, если х		(-	; -6),
		х	6						х
		х	6				6			,	если х		(-6 ;	0 ) (0; + ) .
		х	6				х
Таким образом,
1			6				,				х	(-	; -6),
				х
1			6				,				х	(-6 ; 0 )		(0; + ) .
				х

Функция задана двумя аналитическими выражениями, каждое из которых является элементарной функцией, следовательно, непрерывной в области определения.

В точках х = - 6 и х = 0 функция не определена. Значит, х = - 6 и х = 0 – точки разрыва функции. Определим характер разрыва в каждой из них:

lim f (x)	lim ( 1	6) 0 ;	lim f (x)	lim (1	6) 2 .
x 6 0	x 6 0	x	x 6 0	x 6 0	x

Итак, х= -6 – точка разрыва первого рода.

lim f (x)

lim (1

6)

;

lim f (x)

lim (1

6)

.

x 0

x

0

x

x 0

x 0

x

Значит, х = 0

– точка разрыва второго рода.

Для изображения графика функции найдем

lim f (x)

lim (1

6)

1;

lim f (x)

lim (

1

6)

1.

x

x

x

x

x

x

61

Рисунок 4 ПРИМЕР Исследовать функцию на непрерывность. Определить, в каких

точках и какого рода разрывы имеет функция

	х, если	х		0,
f (x) =	x2 , если	0	x	2,
	2, если	x		2.
Сделать схематический чертеж.
РЕШЕНИЕ:
	х, если	х		0,	y1	х, если	х	0,
f (x) =	x2 , если	0	x	2,	y2	x2 , если 0	x	2,
	2, если	x		2.	y3	2, если	x	2.
На каждом из промежутков (-						; 0); (0;2);	(2,+ ) функция определена

и является элементарной, и ,следовательно, непрерывна. Непрерывность функции может нарушаться лишь в точках, где меняется ее аналитическое задание, т.е. в точках х=0 и х=2. Исследуем функцию на непрерывность в этих точках. Найдем односторонние пределы в этих точках.

	lim	f (x)		lim (		х)	0 ;
x	0	0	x	0	0
lim		f (x)		lim	х2		0; .
x	0	0	x	0	0
	f (0 ) = 0.
Так как f (0 ) =			lim		f (x)		lim	f (x) , то функция непрерывна в т. х=0.
			x	0 0			x 0	0
	lim	f (x)		lim	х2		4;
x	2	0	x	2	0
lim		f (x)		lim	2	2;
x	2	0	x	2	0
								62

Так как	lim	f (x)	lim	f (x) , но односторонние пределы существуют
x	2	0	x 2	0

(конечны) , то точка х=2 является точкой разрыва I рода.

Сделаем схематический чертеж:

Рисунок 2 – График функции к примеру 4.

Задания для решения:

1. Задана функция f ( x ). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж:

x

4,

если x

1,

а)

f (x)

x2

2, если

1 x

1,

2x,

если х

1.

х,

если x

0,

б)

f (x)

sin x,

если 0

x

,

x

2, если х

.

1

в)

f (x)

4 x

3 ;

г)

f (x)

1

;

1

1 2 x

д)

f (x)

2

x

.

x

63

Раздел III Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Тема3.1 Техника дифференцирования. Основные правила дифференцирования. Касательная и нормаль к плоской кривой.

Производная. Основные правила дифференцирования.

Пусть функция у	f(x) определена и непрерывна на (a,b), пусть x0 (a, b). Дадим в точке х0
приращение аргументу	х так, что точка х0	х (a, b). Тогда функция получит соответствующее
приращение у f(x0	x) f(x0).

Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует и конечен. Функция называется дифференцируемой в точке х0.

y	lim	f (x0	x) f (x0 )
			x
	x 0

Основные правила

Таблица

Геометрический смысл

дифференцирования.

производных.

производной

Производная

f

(x) в

точке

х равна

(u

v)

u

v ;

угловому

коэффициенту

касательной к

(u

v)

u

v

u

v ;

графику функции y = f (x) в точке, абсцисса

которой равна х.

(c

u)

c

(u) ;

y

y=f(x)

u

u

v

u

v .

M

v

v2

α

x

Уравнение

касательной

к

кривой

y

f (x) в т. M0 (x0 ; y0 ) :

y y0

f (x0 )(x x0 ) .

Уравнение нормали к кривой

y

f (x)

в т. M0 (x0 ; y0 ) :

y

y0

1

(x

x0 ) .

f (x0 )

Образцы решения задач:

ПРИМЕР Найти производную первого порядка следующей функции:

64

Тема 3.2 Производная сложной и неявной функций Производная обратной функции и функции, заданной параметрически.

Образцы решения задач:

ПРИМЕР Найти производную первого порядка следующей функции:

у е

х2

сos

3

(2x

3)

3

е .

РЕШЕНИЕ:

у

(е

х2

сos

3

(2x 3))

3

(е

х2

)

3

х2

3

(е )

cos (2x 3) е

( cos (2x 3)) 0

2xe

x 2

3

3)

6

e

x 2

cos

2

(2x 3) sin (2x

3).

cos (2x

ПРИМЕР Найти производные первого порядка следующих функций:

а)

x 4

x 2 y2

y

4 .

Данная функция задана неявно. Считая у функцией от х, дифференцируем по

х.

	4х3	2х2 у2	х2 2 уу			у 0,
	4х3	2х2 у2	у (2х2 у 1) 0,
	у (2х2 у 1)			(4х3		2х2 у2 ),
	у	(4х3		2х2 у2 )	.
		(2х2		у 1)
б)	x	аrсsint,
	y	lnt.

Данная функция задана параметрически. Ее производная находится по формуле

								yx	yt	.
									xt
xt	(arcsin t)			1			, yt	(lnt)		1		yx	1	/			1				1 t 2
											,													.
										t			t
	1				t2									1			t	2				t

65

Тема 3.3 Логарифмическое дифференцирование. Вычисление производных высших порядков.

Образцы решения задач:

ПРИМЕР Найти производные первого порядка следующих функций:

а) y (2x2 3x)ln5x .

Данная функция является степенно-показательной. Применим логарифмическое дифференцирование.

ln y

ln(2x2

3x)ln 5x ,

(ln y)

(ln5x

ln(2x2

3x)) ,

y

(ln5x) ln(2x2

3x)

ln5x (ln(2x2 3x))

y

5

ln(2x2

3x)

ln5x

4x

3

.

5x

2

2x

3x

у у

ln(2x2

3x)

ln5x

4x

3

x

2x2

3x

ln5x

ln(2x2

3x)

4x

3

ln(2x2

3x)

ln5x

.

x

2x2

3x

66

Тема 3.4 Дифференциал функции и его применение к приближенным вычислениям. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.

26. Исследование функций на монотонность. Экстремумы функций. Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функций.

Если функция f xна интервале a;bвозрастающая (не убывающая) или убывающая (не возрастающая), то она на этом интервале называется строго монотонной (монотонной). Исследование непрерывных на интервале a;bфункций на монотонность опирается на следующие факты:

Теорема. Если f ' x	0	x	a;b , то функция f x						на интервале a;b
строго возрастающая. Если		f ' x		0	x	a;b , то функция f					x на интервале
a;b строго убывающая.
Теорема. Функция f	x на интервале				a;b тогда и только тогда не
возрастающая, когда f ' x		0	x	a;b . Функция f					x на интервале a;b
тогда и только тогда не убывающая, когда f '							x	0	x	a;b .
Если найдѐтся такая окрестностьO						x0	точки x0 , во всех точках
x которой выполняется неравенство f					x0	f	x , то точка x0				называется
точкой (локального) минимума функции						f x	, а число f			x0	называется
минимумом функции f	x . Аналогично, при выполнении
неравенства f x0 f x	при тех же предположениях говорят соответственно
о точке (локального) максимума и максимуме функции f										x .
Точки (локального) минимума и максимума функции											f x называются
точками (локального) экстремума функции f							x	, а значения функции f x в
них – (локальными) экстремумами функции f x								. Наибольшее (наименьшее)
значение функции на отрезке			a;b	называется глобальным экстремумом

функции на отрезке a;b . Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке a;bдостигаются либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка a;b .

При нахождении экстремумов функции пользуются следующими теоремами.

Теорема. (Необходимое условие экстремума). Если функция f x

имеет в точке x0 экстремум, то либо f ' x0	0 , либо f ' x0	не существует.
Точки, в которых выполняются заключения предыдущей теоремы,
называются критическими. Точка x0 со свойством f ' x0		0 называется
стационарной точкой.
Выделить среди критических точек точки экстремума позволяют
достаточные условия экстремума:
Теорема. Если функция f x непрерывна в окрестности критической
точки x0 и при переходе через точку x0 знак	f ' x не меняется, то точка x0
67

точкой экстремума не является. Если же при переходе через точку x0						знак
f ' x меняется, то точка x0			является точкой экстремума в соответствии со
следующей таблицей:
x		x	x0	x0	x	x0
f '	x		+	Точка максимума	–
f x				максимум
f '	x		–	Точка минимума	+
f x				минимум

Теорема. Пусть функция f xнепрерывна в окрестности точки x0 и при этом выполняются следующие условия: f ' x0 0, f '' x0 0 .

Тогда точка x0 является точкой экстремума в соответствии со следующей таблицей:

f ''

x

0

x0 – Точка минимума

0

f ''

x0

0

x0 – Точка максимума

Пример.

Определить промежутки возрастания, убывания и точки

x2

экстремума функции y

.

x2

1

Решение.

Найдѐм первую производную этой функции y'

x2

'

x2

1

2x x2

1 2x x2

2x

.

y' 0 в точке x 0 .Знак производной

1 2

x2

x2

1 2

определяется знаком числителя.

y'

0 при

2x

0 или x

0 .

Значит x

0, x

1 – участок возрастания функции. Аналогично,

y' 0 при

2x

0 или x

0. Значит,

x

0, x

1 – участок убывания функции. Раз

при переходе через критическую точку x

0 знак производной меняется с ―+‖

на ―–‖ , то x

0 – точка максимума. Этот же результат можно получить с

помощью второй производной:

'

2 x2

1 2

2 x2

2 x2

6x2

y"

2x

1 2x 2x

1 2 2x 2x

2

.

x2

1

2

x2

1 4

x2 1 3

x2

1 3

Так как y"(0)

2

0

то x

0 – точка максимума. Результаты исследования

1

сведѐм в таблицу:

x

;

1

1

1;0

0

0;1

1

1;

y'

0

Не

0

max

0

Не

0

сущ.

сущ.

68

y	возр.	Не	возр.	0		убыв	Не	убыв
		сущ.					сущ.
Пример Найти экстремумы функции f (x) 3x						x3 .

Решение. Данная функция определена для всех действительных чисел, ее

производная имеет вид f '(x)

3

3x 2

и также определена при всех x. Из

уравнения

f ' (x) 3

3x 2

0 находим стационарные точки: x

1, x

2

1.

1

Данные сведѐм в таблицу:

x

(

; 1)

–1

(

1;1)

1

(1;

)

f ' x

—

0

+

0

—

Вывод

т. мин.

т. макс.

Итак,

f

min

f (

1)

3( 1)

( 1)3

2 ,

f

max

f (1) 3 1 2.

Пример. Найти экстремумы функции f (x)

3 x2 .

Решение. Данная функция определена для всех действительных чисел, еѐ

производная имеет вид

f '(x)

2

. При этом производная не определена

33

x

при x=0.

Эта точка является критической. Знак производной определяется

знаком 3

x<0 f '(x)

x>0 f '(x)

x . Тогда при

0 , а при

0 . Поэтому x=0 –

точка минимума исходной функции, и fmin

f (0)

0 .

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения

f (x)

2

x3

3x2 на

3

отрезке 1;4 .

Решение. f '(x)

2x2

6x 2x(x

3) , производная определена всюду,

критических точек нет. Чтобы найти стационарные точки, приравниваем

производную к нулю: 2x(x

3) 0 . Итак,

x

3 и x

0 – стационарные точки.

При этом 3

[1;4] , а x

0

[1;4], поэтому точку x 0 не рассматриваем.

Сравниваем значения исходной функции в выбранной точке и на концах

отрезка:

f (1)

2,33 ;

f

3

9;

f (4)

5,33.

Итак, наименьшее значение функции достигается в точке x 3 , fНАИМ 3

9,

наибольшее значение функции достигается в точке x

1,

fНАИБ 1

2,33.

Задания для самостоятельного решения.

Найти интервалы возрастания и убывания функций:

1.

y

x

2

8x

7

2.

y

x

ex

3.

y

e

x2

4.

y

ln x

x

5.

y

1

6.

y

x e

2 x

x 1

69

Найти экстремумы данных функций:

1.

y

x

2

8x

7

2.

y

x

ex

3.

y

e

x2

4.

y

ln x

x

5.

y

1

6.

y x e

2 x

x 1

Найти наибольшее и наименьшее значение заданной функции на отрезке:

1.

f (x)

x

2

4x

6 , x [ 3;5]

2.

f (x)

x

2

6x

5, x [1;5]

3.

f (x)

x

4

, x

[1;3]

4.

f (x)

x

1

, x

[0,01;100]

x 2

x

27 Решение задач на экстремум с практическим содержанием.

Нахождение интервалов выпуклости (вогнутости), точек перегиба и асимптот графика функции.

Пример. Бак с квадратным основанием должен вмещать 32 м3 .

Каковы должны быть его размеры для того, чтобы поверхность (без крышки)

была наименьшей?

Решение. Пусть x – сторона основания бака. Тогда площадь его

основания x2 , высота бака будет 32x 2 . Боковая поверхность бака состоит из 4

равных по площади прямоугольников, площадь каждого будет

32

x

32

.

x2

x

Тогда поверхность бака без крышки будет: S x

x2

4

32

x2

128

.

x

x

Исследуем эту функцию на экстремум:

S'

x

x

2

128 '

2x

128

. Так как

x

x2

x 0;

, то наименьшее значение функции будет среди локальных

экстремумов. S' x

0

2x

128

0

2 x3

64

0

x

4 . Так как

x2

x2

S '' x

2 128

2

1

2

256

. При

x

4 S'' 4

0 и x

4 – точка

x3

x3

70