математика Раздел1 практика

Тема 2.2 Предел функции. Вычисление пределов функций.

Число

А называется пределом

функции

Число А называется пределом функции

y = f(x)

в точке x0 если

ε > 0,

найдется

f(x) при x

, если:

такое

δ(ε) > 0,

что

x

x0 ,

для любого числа ε > 0,

M, что

x,

удовлетворяющих неравенству 0 < |x – x0| < δ

удовлетворяющих неравенству |x| > M

выполняется

неравенство

|f(x) – A| <

ε .

выполняется

неравенство

|f(x) – A| < ε.

Записывают lim f (x) A

Записывают lim f (x)

A ;

x

x x0

Основные правила нахождения пределов:

a.

lim (f (x)

(x))

lim f (x)

lim

(x) ;

x

x0

x x0

x x0

b.

lim ( f (x)

(x))

lim f (x)

lim

(x)

x

x0

x

x0

x x0

c.lim f (x)

xx0 (x)

d. lim c f (x)

xx0

e.lim ( f (x))n

xx0

lim f (x)

x	x0	;
lim (x)
x	x0

clim f (x) ;

xx0

( lim f (x))n .

x x0

Образцы решения задач:

ПРИМЕР: Найти:

	lim	3x 2	4x	7
		2x 2	5x	6
	x 1

РЕШЕНИЕ: Так как предел частного равен частному пределов, то на основании основных правил нахождения пределов (формул с, d, e) получим

	3x	2		4x	7		lim(3x		2	4x		7)					lim3x			2	lim 4x				lim 7
lim							x	1									x	1			x		1		x 1
x 1 2x2				5x	6		lim(2x2			5x		6)					lim 2x2				lim5x				lim 6
							x	1									x	1			x		1		x 1
			3lim x		2	4 lim x			lim 7						2		4 1			7			6
			x	1			x	1	x	1		3 1												2.
			2 lim x2			5 lim x			lim 6			2 12					5 1			6			3
			x	1			x	1	x	1
ПРИМЕР: Найти:
													lim			3x2			x 2
																4x2		5x			1
													x 1

51

РЕШЕНИЕ: При х = 1 числитель и знаменатель обращаются в нуль,

получается неопределенность вида 00 . Преобразуем данную функцию,

разлагая на множители числитель и знаменатель по формуле ax2 bx c a(x x1 )(x x2 ),

где х1 и х2 – корни уравнения ax2 bx c 0 .

Подставляя соответствующие выражения и сокращая на общий множитель

(x 1) 0 , получим
											3(x	1)	x	2	3			x	2
		3x2			x 2
														3					3
lim										lim						lim
		4x	2		5x 1									1					1
x 1										x 1						x 1
											4(x	1)	x		4			x
														4					4
3 1			2
							5
			3					.
				1
4 1					3
			4

ПРИМЕР Вычислить пределы функций, не используя правило Лопиталя .

а)	lim	3x 2	4x		2	.
		8	x	2
	x

РЕШЕНИЕ: Числитель и знаменатель дроби не имеют конечного предела, значит выражение под знаком предела представляет собой при

х неопределенность типа . Разделим числитель и знаменатель на

х2 (наивысшую степень переменной х) и с учетом теорем о пределах получим

																			3	4					2
lim		3x2			4x					2								lim					х			х2
x			8			x	2			= (			) =					x		8					=
																									1
																					х2
	lim3			lim				4				lim	2
								x					x 2
	x			x								x						3 0		0
=																	=								3.
			lim			8				lim1								0	1
						x	2
			x							x
б) lim				9				х		3		.
					х	2
		x	0							x

52

Так

как

lim (

9

х

3)

0

и

lim(х2

х) 0 , то имеем

x 0

x

0

неопределенность типа

0

.

0

Преобразуем выражение под знаком предела, домножив числитель

и знаменатель на

(

9

х

3)

– выражение, сопряженное числителю.

lim

9

х

3

=

(

0

)

= lim

(

9

х

3) (

9

х 3 )

х

2

x

0

х(х 1) ( 9 х 3)

x

0

x

0

=

lim

( 9 х )2

32

lim

9 х 9

lim

х

х(х 1) ( 9 х 3)

х(х 1) ( 9 х 3)

x 0 х(х 1) ( 9 х 3)

x 0

x 0

1

lim 1

1

=

lim

x

0

.

6

(х

1) ( 9

х

3)

lim (х

1) lim (

9

х 3)

x 0

x 0

x

0

Задания для решения:

1. Найти пределы:

а) lim(2x2

7x

6) ;

x 3

б)

lim

4x2

5x

2

;

3x2

6x

4

x 2

в)

lim

x2

8x

12

;

x2

7x

6

x 6

г)

lim

3x2

7x

2

;

4x2

5x

6

x 2

д)

lim

10x3

6x2

7x

5

;

8

4x

3x

2

2x

3

x

е)

lim

2x4

5x3

7x2

8x 9

;

3x

5

2x

4x

2

6x

3

x

ж)

lim

2x4

5x3

7x2

8x 9

3x

5

2x

4x

2

6x

3

x

53

Тема 2.3 Бесконечно малые и бесконечнобольшие функции и связь между ними. Первый замечательный предел.

Функция	y = f(x)	называется	бесконечно
большой при x		x0 если для любого числа
М > 0,	δ = δ(М) > 0,		что	х,

удовлетворяющих неравенству 0 < |x – x0| < δ выполняется неравенство |f(x)| > M, тогда

lim f (x)	;
x x0

Функция y = f(x) называется бесконечно

малой	при	x	x0 если: для любого
числа	ε > 0,	найдется δ(ε) > 0,		что	х,
удовлетворяющих			неравенству	0 < |x –

x0| < δ выполняется неравенство |f(x)| < ε, тогда

lim f (x) 0 ;

x x0

Если функция (x) - бесконечно малая функция при x

x0 ,

то функция	1	– бесконечно большая функция.
	(x)
Ι замечательный предел
		lim	sin x	1
			x
		x 0

Образцы решения задач:

ПРИМЕР Вычислить пределы функций, не используя правило Лопиталя .

lim		sin 2 х	.
x 0 1		cos x

РЕШЕНИЕ: Так			как	lim sin2 x					0 и		lim (1 cos x) 0 , то имеем
				x 0							x 0
неопределенность			типа		0	.	Для		раскрытия этой неопределенности
				0
используем формулу 1				cos x			2sin	2	x	и первый замечательный предел
									2
lim sin х		1 .
x 0	x

54

x

2

sin2 х

sin2

х

1

sin 2 х

4

sin х

2

lim

0

lim

lim

2

2

lim

x =

x2

x 0

1

cos x =( 0 )= x

0

2sin

2

2 x

0

sin

2 x

x

0

x

2

2

x

2

lim

2

=2 .

x

x

0 sin

2

ПРИМЕР: Найти:

lim

sin ax

x

0

x

РЕШЕНИЕ: Положим ax

, откуда x

. Если x

0 , то и

0 , потому

a

lim

sin ax

lim

sin

lim a

sin

a 1

a.

x 0

x

0

x 0

a

Следовательно lim

sin ax

a .

x 0

x

В частности, при а = 2

lim

sin 2x

2 ,

x

0

x

при a

1

имеем

3

sin

x

1

lim

3

.

x

3

x

0

ПРИМЕР: Найти:

lim

tgx

x

x 0

РЕШЕНИЕ: Принимая во внимание, что

tgx

sin x

и limcos x

cos 0 1, на

cos x

x

0

основании свойств пределов и Ι – го замечательного предела получаем

lim

tgx

lim

sin x

1

lim

1

sin x

lim

1

lim

sin x

1 1

1.

x 0

x

x

0

cos x

x

x

0 cos x

x

x 0

cos x

x

0

x

Итак,

lim

tgx

1.

x

0 x

55

ПРИМЕР: Найти:

sin 2

x

lim

3

x

2

x

0

РЕШЕНИЕ: Принимая во внимание, то что lim

sin ax

a (см. пример выше),

x

x

0

а также основные свойства пределов получаем

sin

2

x

sin

x 2

sin

x

2

2

lim

3

lim

3

lim

3

1

1

.

x

2

x

x

3

9

x 0

x 0

x 0

ПРИМЕР: Найти:

lim

sin x

.

x

9

x

0

3

РЕШЕНИЕ:

При

х = 0

числитель и

знаменатель

обращаются в нуль.

Знаменатель содержит иррациональность. Освободимся от иррациональности и воспользуемся формулой первого замечательного предела.

lim			sin x					lim				sin x(				x	9		3)		lim	sin x(	x	9 3)
																						(x	9)	9
			x	9		3				(		x	9		3)(			x	9 3)
x	0							x	0												x 0
		sin x
lim				lim(				x	9			3)	1 (3				3)		6.
x	0		x	x		0

Задания для решения:

1. Найти пределы:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

	sin	x
lim		5		;
	x
x

	lim x sin			1			;
				x
	x
	lim		arctgx				;
			x
	x
	lim		sin ax		;
	x		tgbx

sin3 x

lim 2 ;

x x3

	lim			sin x				;
				x	4 2
	x
	lim	sin( x			1)		.
					1
	x			x3

56

Тема 2.4 Второй замечательный предел. Сравнение бесконечно малых функций. Вычисление пределов с помощью эквивалентных бесконечно малых функций.

ΙΙ замечательный предел

lim 1		1			x	e
			x
x
	или
						1
	lim(1				)		e
		0

Образцы решения задач:

ПРИМЕР Вычислить пределы функций, не используя правило Лопиталя

	. lim	x	2
		x	3
	x

2 x 1

.

	РЕШЕНИЕ: Так как	lim	x	2	1 ,	lim (2х 1)	, то имеем
			x	3
		x				x

неопределенность типа 1 . Используем второй замечательный предел:

lim (1

x

2

1)2 x 1

=

x

3

x

lim (1

x 2 х 3

)

2 x 1

lim (1

1

)

2 x 1

x

3

x

x

x

3

1

(2х 1)

1

lim ( (1

1

) (x 3))

(х 3)

е-2

=

.

x

(x

3)

е2

ПРИМЕР Вычислить пределы функций, не используя правило Лопиталя

lim 1

k

x

.

x

x

РЕШЕНИЕ: При x

выражение

1

k

1

, получаем неопределенность

x

1 . Введем новую переменную по формуле

k

,

x

откуда x

k

. Если x

, то

0 , поэтому

57

	k	x			k		1		k
lim 1			lim(1	)		lim	1
	x
x			x			x			.

Пользуясь основными правилами нахождения пределов и вторым замечательным пределом, находим

1

k

1

k

ek .

lim 1

lim 1

x

x

Следовательно,

lim 1

k

x

ek .

x

x

Следовательно, если k = –2 получаем

lim 1

2

x

e 2 ,

x

x

а при k = 3 получаем

lim 1

3

x

e3 .

x

x

ПРИМЕР Вычислить пределы функций, не используя правило Лопиталя

lim

x

2

x .

x

3

x

РЕШЕНИЕ:

Разделив

числитель и

знаменатель дроби на х и используя,

lim 1

k

x

ek .

полученную ранее формулу

x

x

2

x

2 x

1

x

e2

Получаем lim

lim

x

e

5

.

x

3

3

e 3

x

x

1

x

ПРИМЕР

Если

x

0 ,

то

какие

из бесконечно малых величин

3x, x2 , x, x3 , 12 x являются величинами одного порядка с х, величинами

высшего порядка и величинами низшего порядка по сравнению с х? РЕШЕНИЕ: Рассмотрим пределы отношений данных величин к х. Так как

				1	x
	3x	3, lim					1
lim				2				,
	x			x		2
x 0		x 0
		58

То величины

3x,

1

x

являются

бесконечно малыми одного порядка

с

2

величиной х.

Поскольку

lim

x2

lim x

0,

lim

x3

lim x2

0,

x 0

x

x

0

x 0 x

x 0

то величины

x2 , x3 являются

бесконечно

малыми

высшего

порядка

по

сравнению с величиной х.

Так как

lim

x

lim

1

,

x

x

x

0

x 0

то величина

x является бесконечно малой низшего порядка по сравнению

с величиной х.

ПРИМЕР Доказать, что при

x

0 ,

бесконечно малые sin cx,

cx являются

являются эквивалентными.

РЕШЕНИЕ: Так как lim

sin cx

lim

sin cx

1

, то из определения бесконечно

x

0

cx

cx

0

cx

малой функции вытекает эквивалентность данных величин.

ПРИМЕР Вычислить пределы функций, не используя правило Лопиталя

	lim	x sin 6x	.
		(arctg2x)2
	x 0

РЕШЕНИЕ: Принимая во внимание, что sincx ~ cx и arctgcx ~ cx получаем

lim	x sin 6x	lim	x		6x		1	3	3	.
	(arctg2x)2		2x		2x	2			2
x 0		x 0

Задания для решения:

1. Найти пределы:

а)	lim		tgax				;
	x	0 tgbx
б)	lim			tg 2 ax					;
	x	0 sin3 bx
в)	lim		5 1				x 1				;
						x
	x	0
г)	lim			ln(1			ax)				;
						x
	x	0

2. Сравнить бесконечно малые величины ax, cx3 , b3 x с бесконечно

малой х.

3. Доказать эквивалентность бесконечно малых величин:

59

	а)	tgcx и cx ;
	б)		1	tg3x	и x ;
		3
	в)	arcsin cx и cx ;
	г)		x 2x2		и x .

60