- •Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования
- •Подписано в печать11.02.2008. Формат .
- •Четность и нечетность функций
- •Периодичность функций
- •Задание 3. Найти наименьший период функции
- •Простейшие преобразования графиков
- •1.2. Непрерывность и точки разрыва функции
- •1.3. Асимптоты графика функции
- •1.4. Интервалы монотонности и точки экстремума функции
- •Нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке
- •1.5. Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба функции
- •1.6. Схема полного исследования функции и построение ее графика
- •2. Раскрытие неопределенностей
- •Содержание
- •1. Исследование функции 3
- •Задание 11. 36
- •2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя 38
Периодичность функций
Функция называетсяпериодической, если существует такое число , что для любого значениях из области определения выполняется равенство
,
число Т называется периодом функции.
Примеры периодических функций: ,,,.
Заметим, что периодическую функцию достаточно исследовать в пределах одного периода, т.е. при .
Пример. Найти наименьший период функции .
Решение. Период для функций иравен. Функцияимеет период в 3 раза меньше, т.е.,. Наименьший период суммыдолжен быть таким, чтобыипомещались в нем целое число раз. В данном случае.
Задание 3. Найти наименьший период функции
-
1)
16)
2)
17)
3)
18)
4)
19)
5)
20)
6)
21)
7)
22)
8)
23)
9)
24)
10)
25)
11)
26)
12)
27)
13)
28)
14)
29)
15)
30)
Простейшие преобразования графиков
Пусть в данной системе координат вычерчен график некоторой функции
Из этого графика с помощью специальных приемов легко получить график сходных функций; таких как
,
а также более общего вида
,
где - некоторые константы.
График функции получается растяжением или сжатиемвm раз исходного графика вдоль оси Оy.
Если же , то, построив сначала график функции, затем строим симметричный с ним относительно осиОх искомый график функции .
График функции получается с помощью параллельного переноса (сдвига) графика вдоль осиОy вверх или внизнаn единиц.
График функции получается из графика сжатиемили растяжениемего ва раз вдоль оси Ох. (т.е. к оси Оy).
График функции y=f(x+b) получается из графика y=f(x) с помощью параллельного переноса (сдвига) его вдоль оси Ох влево (b>0) или вправо (b<0) на b единиц.
Построение графиков подобного рода в общем случае
сводится к проведению в соответствующем порядке операций 1-4.
Пример. Построить график функции .
Решение.
Строим график ;
сжимаем его вдоль осив 2 раза, получаем график;
сдвигаем график влево наи получаем график;
растягиваем график вдоль осив 2 раза и получаем требуемый график.
Пример. Построить график функции .
Решение.
1) строим график ;
2) сдвигаем его влево по осина 1, получаем график функции;
3) сжимаем график вдоль осив 2 раза и строим симметричный ему относительно оси, получаем график;
4) поднимаем график функции по оси Оy вверх на две единицы, получаем искомый график.
Задание 4.
Методом деформации и сдвигов построить график функции
№ зад № вар |
1 |
2 |
3 |
1 | |||
2 | |||
3 | |||
4 | |||
5 | |||
6 | |||
7 | |||
8 | |||
9 | |||
10 | |||
11 | |||
12 | |||
13 | |||
14 | |||
15 | |||
16 | |||
17 | |||
18 | |||
19 | |||
20 | |||
21 | |||
22 | |||
23 | |||
24 | |||
25 | |||
26 | |||
27 | |||
28 | |||
29 | |||
30 |