1.2. Непрерывность и точки разрыва функции

Функция называетсянепрерывной в точке если:

1) определена в точкеи её окрестности;

2) существует конечный предел функции в точке;

3) этот предел равен значению функции в точке , т.е.

Функция, непрерывна в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, называетсяточкой разрыва функции.

Точка называется точкой разрывапервого рода, если функция имеет в этой точке конечный правый и левый предел, т.е.

Если хотя бы одна из этих пределов не существует или равен бесконечности, то точка называют точкой разрывавторого рода.

Пример. Исследовать функцию

на непрерывность, построить её график.

Решение. Функция определена и непрерывна на интервалет.к. на этих интервалах она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, разрыв возможен только в точках

Для точки имеем

,

,

.

т.к. и оба они конечны, то функцияf(x) в точке имеет разрыв первого рода.

Для точки имеем

,

,

т.е. и в точкефункция непрерывна.

Пример. Найдите точку разрыва функции .

Решение. Единственной точкой разрыва данной функции является точка т.к. функция в этой точке не определена. Найдем односторонние пределы в окрестности точки:

, т.к.

,

, т.к.

.

Т.к. то в точкеимеем разрыв первого рода.

Вычислим , т.к.,

т.е. горизонтальная асимптота графика данной функции.

Задание 5.

Исследовать данные функции на непрерывность и построить их графики

№ зад. № вар.	1	2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

1.3. Асимптоты графика функции

Прямая L называется асимптотой данной кривой , если расстояние от точки М кривой до прямойL при удаление точки М в бесконечность стремится к нулю.

Если существует числа при которой, т.е. функция имеет бесконечный разрыв, то прямыеназываютсявертикальными асимптотами кривой .

Если существуют пределы

то прямая являетсянаклонной асимптотой кривой (приk=0 - горизонтальной).

Пример. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Функция терпит разрыв в точке . Находим левый и правый пределы в этой точке

,

.

Таким образом - вертикальная асимптота графика функции.

Находим

, поэтому у=4 - горизонтальная асимптота.

Пример. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Данная функция терпит разрыв в точке . Находим

,

.

Поэтому прямая является вертикальной асимптотой графика функции.

Находим горизонтальные асимптоты.

,

,

следовательно, прямая является наклонной асимптотой графика данной функции.

Задание 6.

Найти асимптоты графика функции

№ зад. № вар.	1	2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30