"Временные ряды в эконометрических исследованиях"

3.1. Краткие сведения из теории.

Совокупность наблюдений анализируемой случайной величиныY(t), произведенных в последовательные моменты времени называется временным рядом, причемn - число наблюдений. Значения элементов временного ряда формируются под воздействием ряда факторов, среди которых выделяют:

• долговременные, формирующие в длительной перспективе тенденцию анализируемого признака. Эта тенденция описывается с помощью некоторой функции, называемой трендом (Т);

• сезонные, формирующие периодически повторяемые в определенное время года колебания анализируемого признака (S);

• циклические, формирующие изменения признака в результате воздействия циклов экономической, демографической или астрофизической природы (С);

• случайные, не поддающиеся учету и регистрации, как результат воздействия случайных, внешних факторов (E).

Предметом анализа временного ряда является выделение и изучение вышеуказанных факторов, в дальнейшем именуемых компонентами временного ряда, как правило, в рамках одной из моделей ряда: аддитивной (Y=T+C+S+E) или мультипликативной (Y=T·C·S·E). Некоторые составляющие могут отсутствовать в тех или иных рядах. При решении задачи 3 предполагается, что речь идет об аддитивной модели временного ряда с отсутствующей циклической компонентой.

Процесс построения аддитивной модели включает следующие этапы:

6. Расчет значений сезонной компоненты S. Простейший путь оценки сезонности для ряда y₁, y₂, ..., y_t, ..., y_n с периодом сезонности  (=12 для ежемесячных данных, =4 для ежеквартальных данных, и h=n/) заключается в вычислении разности между средним по всем одноименным месяцам (кварталам) и средним по всем данным:

(22)

Подробно процесс выделения сезонной компоненты представлен при решении типовой задачи в п. 3.2.

7. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение z_i суммы трендовой и случайной компонент (z_i=Т_i+E_i) согласно аддитивной модели y_i=T_i+S_i+E_i откуда T_i+E_i=z_i=y_i−S_i.

8. Аналитическое выравнивание уровней (z_i), то есть расчет значений Т_i с использованием уравнения тренда. Аналитическое выравнивание осуществляется по математической модели тренда. Выбор модели тренда может быть осуществлен несколькими способами. Предполагая, что тренд имеет вид полинома, анализируют цепные абсолютные приросты (первые разности уровней ряда) и абсолютные ускорения уровней ряда (вторые разности ряда). Если примерно одинаковы, то ряд имеет линейный тренд. При вычислениях удобно моменты времениt пронумеровать так, чтобы получилось =0. Тогда параметры линейного тренда могут быть найдены по следующим формулам

. (23)

Если же примерно постоянны , то для описания тенденции временного ряда следует выбрать параболу второго порядка. Параметры такого тренда могут быть найдены по следующим формулам

, (24)

, (25)

, (26)

Методика нумерации моментов времени, так, чтобы =0, различна для рядов имеющих четное и нечетное число наблюдений. Так, если число наблюдений нечетное, то нумерация проводится так:

Год	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003
t	-3	-2	-1	0	1	2	3

Если же число наблюдений четное, то нумерация соответственно:

Год	1997	1998	1999	2000	2001	2002
t	-2,5	-1,5	-0,5	0,5	1,5	2,5

После выделения трендовой компоненты , случайная компонента получается как разность.

9. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Часто рассчитывают: среднюю абсолютную процентную ошибку (Mean Absolute Percentage Error):

. (27)

Если модель подогнана с высокой точностью MAPE<10%, хорошей − 10%<MAPE<20%, удовлетворительной − 20%<MAPE<50%, неудовлетворительной − MAPE>50%.

Целесообразно пропускать значения ряда, для которых y_i = 0.

Средняя процентная ошибка (Mean Percentage Error) и средняя ошибка (Mean Error). Средняя процентная ошибка не определена при нулевых данных и не должна превышать 5% для хорошо подогнанной модели:

. (28)

Средняя ошибка:

. (29)

3.2. Пример решения типовой задачи.

Задание.

1). Постройте аддитивную модель временного ряда, последовательно выделив сезонную, трендовую и случайную компоненты.

2). Используйте полученную модель для краткосрочного прогнозирования объема товарооборота в 3 квартале 2003 года.

3). Проверьте качество модели.

Имеются сведения о квартальном товарообороте торговой компании "Дельта" за 20 последних кварталов.

Год / Квартал	Товарооборот	Год / Квартал	Товарооборот	Год / Квартал	Товарооборот	Год / Квартал	Товарооборот
1998/1	155	1999/2	162	2000/3	187	2001/4	207
1998/2	160	1999/3	168	2000/4	197	2002/1	192
1998/3	163	1999/4	179	2001/1	188	2002/2	196
1998/4	173	2000/1	175	2001/2	193	2002/3	200
1999/1	161	2000/2	181	2001/3	198	2002/4	210

Решение:

1). Построим график ряда динамики.

На графике отчетливо видно, что товарооборот изменяется под воздействием сезонных колебаний. Заметен рост в 4 квартале каждого года (соответственно 4, 8, 12, 16 и 20 кварталы), а затем снижение товарооборота в первом квартале каждого года (соответственно 5, 9, 13 и 17 кварталы).

Построение аддитивной модели начнем с выделения сезонной компоненты временного ряда.

В нашем случае =4 и h=n/=20/4=5. Применим формулу (22). Для этого просуммируем уровни ряда по 1-му кварталу по всем пяти годам 155+161+175+188+192=871 и найдем среднее значение 871/5=174,2, и аналогично для остальных кварталов. Получим расчетную таблицу. Среднее значение по всем 20-ти наблюдениям равно 182,25. Вычитая из средних значений по кварталам 182,25 (например, для первого квартала 174,2−182,25=−8,05), получим последнюю строку расчетной таблицы, в которой и содержатся значения сезонной компоненты S_t.

Квартал/Год	I	II	III	IV
1998	155	160	163	173
1999	161	162	168	179
2000	175	181	187	197
2001	188	193	198	207
2002	192	196	200	210
Среднее по одноименным кварталам	174,2	178,4	183,2	193,2
St	-8,05	-3,85	0,95	10,95

Устраним сезонную компоненту из исходных уровней ряда и получим z_i=в столбце 4 расчетной таблицы, которая дана ниже.

Далее рассчитаем значения представленные в столбце 5 расчетной таблицы.Поскольку первые разности являются примерно одинаковыми (см. столбец 5), считаем, что ряд z имеет линейный тренд. Рассчитаем значения тренда Т. Модель тренда имеет вид . Расчет параметров уравнения проведем по формуле (23). Необходимые предварительные расчеты приведены в таблице в столбцах 6-8: столбец 7 получается путем возведения в квадрат значений столбца 6, столбец 8 равен произведению столбца 4 на столбец 6.

i		yi		Si				Δi		t		t^2		zt		T		Ei		Ei/yi		| Ei/yi|
1		2		3		4		5		6		7		8		9		10		11		12
1		155		-8,05		163,05		-		-9,5		90,25		-1548,98		158,785		4,265		0,027516		0,027516
2		160		-3,85		163,85		0,8		-8,5		72,25		-1392,73		161,255		2,595		0,016219		0,016219
3		163		0,95		162,05		-1,8		-7,5		56,25		-1215,38		163,725		-1,675		-0,01028		0,010276
4		173		10,95		162,05		0		-6,5		42,25		-1053,33		166,195		-4,145		-0,02396		0,02396
5		161		-8,05		169,05		7		-5,5		30,25		-929,78		168,665		0,385		0,002391		0,002391
6		162		-3,85		165,85		-3,2		-4,5		20,25		-746,33		171,135		-5,285		-0,03262		0,032623
7		168		0,95		167,05		1,2		-3,5		12,25		-584,68		173,605		-6,555		-0,03902		0,039018
8	179		10,95		168,05		1		-2,5		6,25		-420,13		176,075		-8,025		-0,04483		0,044832
9	175		-8,05		183,05		15		-1,5		2,25		-274,58		178,545		4,505		0,025743		0,025743
10	181		-3,85		184,85		1,8		-0,5		0,25		-92,43		181,015		3,835		0,021188		0,021188
11	187		0,95		186,05		1,2		0,5		0,25		93,03		183,485		2,565		0,013717		0,013717
12	197		10,95		186,05		0		1,5		2,25		279,08		185,955		0,095		0,000482		0,000482
13	188		-8,05		196,05		10		2,5		6,25		490,13		188,425		7,625		0,040559		0,040559
14	193		-3,85		196,85		0,8		3,5		12,25		688,98		190,895		5,955		0,030855		0,030855
15	198		0,95		197,05		0,2		4,5		20,25		886,73		193,365		3,685		0,018611		0,018611
16	207		10,95		196,05		-1		5,5		30,25		1078,28		195,835		0,215		0,001039		0,001039
17	192		-8,05		200,05		4		6,5		42,25		1300,33		198,305		1,745		0,009089		0,009089
18	196		-3,85		199,85		-0,2		7,5		56,25		1498,88		200,775		-0,925		-0,00472		0,004719
19	200		0,95		199,05		-0,8		8,5		72,25		1691,93		203,245		-4,195		-0,02098		0,020975
20	210		10,95		199,05		0		9,5		90,25		1890,98		205,715		-6,665		-0,03174		0,031738
Сумма					3649		36		0		665		1640		3654		10		-0,00073		0,415549

Параметры уравнения линейного тренда:

, .

Таким образом, уравнение тренда имеет вид:

T=182,25+2,47t.

Подставляя в уравнение тренда последовательно соответствующие значения t, получим значения тренда для каждого уровня временного ряда (столбец 9 расчетной таблицы), например, для t=−9,5 получим

T(−9,5)=182,25+2,47∙(−9,5)= 158,785.

После выделения тренда остаток E получается как разность между z и T (разность значений в столбцах 4 и 9) и представлен в столбце 10 расчетной таблицы.

Заметим в целях самопроверки, что значения в столбце 2 для y_i должны получаться как сумма значений в столбцах 3, 9 и 10 согласно принятой аддитивной модели.

2). Полученное уравнение временного ряда может быть использовано для краткосрочного прогнозирования. Так, если необходимо спрогнозировать значение товарооборота для 3 квартала 2003 года, то определим t=12,5, так как для 4 квартала 2002 года t=9,5, 1 квартала 2003 года соответственно 10,5, 2 квартала 2003 года 11,5. Подставим значение t в уравнение тренда:

T(12,5)=182,25+2,47∙(12,5)= 213,55.

С учетом того, что сезонная компонента равна для 3-го квартала 0,95, получим окончательно 213,55+0,95 = 214,5.

Таким образом, в третьем квартале 2003 года прогнозируется выручка 214,5 млн. руб.

3). Проверим качество полученной модели.

Рассчитаем среднюю процентную ошибку по формуле (28). Расчет суммы приведен в столбце 6 таблицы выше. Таким образом:

MPE=(-0,00073)∙100/20=-0,00367%,

что гораздо меньше 5%.

Рассчитаем среднюю абсолютную процентную ошибку по формуле (27). Расчет суммы приведен в столбце 7 таблицы выше. Таким образом:

MАPE=(0,415549)∙100/20=2,08%,

и поскольку MAPE<10%, то модель подогнана с высокой точностью.

Средняя ошибка, рассчитанная по формуле (29) с учетом суммы в столбце 10 таблицы, суть ME=10/20 = 0,5.

3.3. Задачи для самостоятельной работы.

1. Имеются данные о расстоянии, пройденном самолетами Великобритании, с янв. 1963 г. по дек. 1964 г., млн. миль.

Год/ Месяц	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII
1963	5,327	4,678	5,584	6,762	7,062	8,144	8,566	9,268	8,463	6,694	5,348	6,080
1964	5,769	5,275	6,319	6,871	7,569	8,748	9,530	9,382	8,733	7,609	6,185	6,825

К заданию 2) – прогноз на февраль 1965г.

2. Динамика импорта КНР характеризуется поквартальными данными за 1999-2002 гг., млрд. $

Год/ Квартал	1999				2000				2001				2002
	I	II	III	IV	I	II	III	IV	I	II	III	IV	I
Значение импорта	19,3	24,0	28,4	36,6	18,7	22,3	30,2	38,1	25,3	33,6	34,7	41,7	29,8

К заданию 2) – прогноз на 4 квартал 2002 г.

3. Динамика добычи газа в РФ характеризуется по месяцам 2002 – 2003 гг., млрд. м³:

Год/ Месяц	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII
2002	70,8	67,2	68,3	55,7	59,9	56,3	57,0	55,2	57,2	65,5	65,6	69,1
2003	71,4	64,5	67,2	62,7	58,0	52,3	51,9	51,6	53,7	61,6	67,8	69,9

К заданию 2) – прогноз на февраль 2003 г.

4. Индекс объема выпуска промышленной продукции в РФ с 2002 по 2003 гг. характеризуется следующими данными:

Год/ Месяц	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII
2002	125,01	126,41	137,67	125,95	119,12	123,49	112,3	108,83	112,09	117,61	121,89	125,6
2003	146,0	141,52	156,23	143,82	139,01	143,49	142,91	148,31	147,92	154,72	145,97	151,35

К заданию 2) – прогноз на 2 квартал 2003 г.

5. Динамика потребления мороженого в Бельгии на одного человека, в пинтах с марта 2002 г. по февраль 2004 г., характеризуется следующими данными:

Год/ Месяц	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII	I	II
2002/03	0,495	0,483	0,492	0,534	0,515	0,453	0,436	0,397	0,378	0,365	0,395	0,398
2003/04	0,438	0,427	0,490	0,480	0,579	0,552	0,497	0,451	0,428	0,416	0,393	0,435

К заданию 2) – прогноз на 4 квартал 2004 г.

6. Доля сбережений населения в РФ с 1991 по 1992 гг. имеет следующую динамику:

Год/ Месяц	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII
1991	11,28	20,93	13,65	17,78	12,99	22,57	69,23	24,89	23,59	22,86	22,46	29,65
1992	15,23	15,14	13,11	17,81	12,97	19,01	25,15	19,49	15,73	16,31	17,38	21,08

К заданию 2) – прогноз на апрель 1993г.

7. Уровень безработицы в %, на конец месяца по методологии МОТ, с 2001 по 2002 гг. имеют следующую динамику:

Год/ Месяц	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII
2001	13,38	13,22	12,58	11,95	11,37	11,23	11,1	10,97	10,96	10,95	10,94	11,06
2002	11,19	11,31	10,79	10,29	9,78	9,76	9,75	9,74	9,83	9,93	10,03	9,87

К заданию 2) – прогноз на март 2003 г.

8. Ряд динамики ВВП РФ по кварталам за 2000-2003 гг. имеет следующий вид (трлн. у.е.):

Год/ Квартал	2000				2001				2002				2003
	I	II	III	IV	I	II	III	IV	I	II	III	IV	I
ВВП	295,7	350,4	376,1	432,9	461,4	561,2	650,9	700,2	654,3	716,6	777,8	820,3	746,8

К заданию 2) – прогноз на 4 квартал 2003 г.

9. Индекс цен топливной промышленности в РФ характеризуется следующими данными:

Год/ Месяц	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII
2001	29,32	30,26	30,97	31,85	35,74	38,12	41,33	45,26	52,16	59,46	64,77	65,12
2002	69,45	73,59	76,11	78,02	79,22	81,43	84,97	88,15	94,15	96,86	98,72	100,00

К заданию 2) – прогноз на 3 квартал 2003 г.

10. Экспорт машин и оборудования в РФ имеет следующую динамику, млрд. долл.

Год/ Месяц	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII
2002	0,82	1,06	1,28	1,11	1,06	1,15	1,03	1,42	1,17	1,22	1,67	2,19
2003	0,93	1,09	1,38	1,62	1,16	1,69	1,01	1,69	1,62	1,27	1,88	1,43

К заданию 2) – прогноз на 2 квартал 2004 г.

Задача 4