Задание на лабораторную работу
Разработать функцию определения режима дискретного отображения при заданных параметрах. На вход функции подается массив, содержащий бифуркационную диаграмму исследуемого отображения (см. предыдущую лабораторную работу) и предельный номер режима (при превышении этого режима состояние системы определяется как хаос). На выходе функция выдает вектор-строку с номерами режимов для каждого столбца входного массива (1 соответствует апериодическому режиму, 2 – циклу периода 2, 4 – циклу периода 4 и т.д.; 99 соответствует хаосу).
Литература к лабораторной работе №6
Безручко, Б.П. Нелинейные маятники и их модели / Б.П. Безручко // Соросовский образовательный журнал. – 2000. – Т. 6, № 9. – С. 95-102.
Валентинов, А. Хаос в порядке вещей [Электронный ресурс] / Альберт Валентинов, Юлия Малахова. – (http://www.xaoc.ru/a31/a31.htm).
Кроновер, Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории / Р.М. Кроновер; [пер. с англ.] – М.: Постмаркет, 2000. – Гл. 6 – С. 147-184.
Кузнецов, А.П. Наглядные образы хаоса / А.П. Кузнецов // Соросовский образовательный журнал. – 2000. – Т. 6, № 11. – С. 104-110.
Кузнецов, С.П. Динамический хаос / С.П. Кузнецов. – М.: Физматлит, 2001. – 296 с.
Медведева, Н.Б. Динамика логистической функции / Н.Б. Медведева // Соросовский образовательный журнал. – 2000. – Т. 6, № 8. – С. 121-127.
Лабораторная работа № 7. Фазовые портреты динамических систем. Цель работы
Изучить и освоить методику работы с программой Fractan. Познакомиться с понятием фазового пространства. Проанализировать представление различных данных в фазовом пространстве. Изучить применение показателя Хёрста.
Основные сведения о фазовом пространстве
Один из лучших способов понять динамическую систему – сделать её динамику видимой, например, построив график. Есть два основных вида графиков, отражающих динамику системы. Первый – простой график временного ряда. Другой вид графика не отображает время напрямую. Поэтому ось, по которой мы откладывали время на первом виде графика, может быть использована для какой-либо другой переменной. Таким образом, новый вид графика позволяет изображать в том же пространстве на одну переменную больше (вместо времени). Точка на таком графике отражает состояниеилифазусистемы конкретный момент времени (также как, например, фаза Луны). Время выявляется в относительном восприятии из последовательности точек, в том, как система переходит из одного состояние в другое.
Пространство в таком виде графика имеет специальное название: фазовое пространствоилипространство состояний(Рис. 1). Формально, фазовое пространство или пространство состояний – это абстрактное математическое пространство, в координатах которого отображаются переменные, необходимые для задания фазы (или состояния) динамической системы. Фазовое пространство содержит все мгновенные состояния системы, которые только могут быть.
Рис. 7.1. Двумерное (слева) и трёхмерное фазовые пространства
Как дополнение к простому графику временного ряда, фазовое пространство предоставляет другой взгляд на развитие. К тому же, поскольку некоторые временные ряды могут быть очень длинными, их сложно показать на одном графике. Фазовое пространство уплотняет все данные в одно легко управляемое пространство или график, часто называемый фазовым портретом. Также следует отметить, что структуры или зависимости, которые мы могли не заметить на графике временного ряда, часто обнаруживаются в наглядных формах в фазовом пространстве.
В том случае, если в фазовом пространстве необходимо отобразить систему, описываемую лишь одной переменной, то по одной оси откладывают эту переменную, а по другой – следующее или предыдущее значение этой переменной. Также можно откладывать значения переменной с задержкой или опережением, отличными от единицы. Например, откладывая по одной оси текущее значение переменной, а по другой – значение переменной 5 итераций назад.