Построение аттракторов

Аттрактор– неподвижная точкасистемыназывается устойчивой (или аттрактором), если для любой окрестности N точкисуществует некоторая меньшая окрестность этой точкитакая, что любая траектория, проходящая через N ', остается в N при возрастании t. Кроме того, под аттрактором понимают совокупность всехустойчивыхточекфазового портретасистемы.

Для большинства систем можно наблюдать, что облако исходных точек «конденсируется» на некоторые предельные объекты. Это и есть аттракторы. Динамические системы, которые обладают аттракторами, называют диссипативными. Существование аттрактором приводит к весьма важным выводам о поведении системы. В этом случае исследование установившихся режимов эквивалентно изучению геометрической структуры аттрактора.

Фрактальная размерность и показатель Хёрста

Для того чтобы иметь возможность сравнивать фрактальные свойства различных природных процессов, таких, как сток рек, отложение ила или рост колец деревьев, Хёрст использовал при анализе временных рядов наблюдений безразмерный показатель в виде отношения размаха (R) накопленного отклонения от среднего к среднеквадратическому отклонению (S) – R/S-метод.

Зависимость параметра (R/S) от времени наблюдения, построенная в двойном логарифмическом масштабе, представляет исследуемый процесс в виде фрактальной функции. При аппроксимации фрактальной функции прямой линией определяется угловой коэффициент Н, называемый показателем Хёрста. Показатель Хёрста используют для вычисления основного фрактального параметра процесса – размерности Хаусдорфа-Безиковича:

D = 2 – H.

Размерность Хаусдорфа-Безиковича или фрактальная размерностьявляется интегральной характеристикой объекта или процесса. Она обобщает понятие евклидовой геометрической размерности и, в отличие от последней, может принимать нецелочисленные значения. Вообще,размерность– число, характеризующее скорость роста числа ячеек покрытия данного множества при уменьшении размера ячеек.

Познавательная сила понятия фрактальной размерности состоит в том, что с его помощью можно упорядочивать исследуемые процессы по свойствам хаотичности или сложности и, таким образом, классифицировать их.

Общие закономерности связи степени зашумленности сигналов и их фрактальных свойств, выраженных показателем Хёрста, проиллюстрированы на рис. 2, где изображены реализации временных рядов наблюдений (объем выборки N = 1000), имеющие различные фрактальные свойства и, соответственно, разные оценки показателя Хёрста.

Рис. 7.2. Типовые реализации фрактальных временных рядов наблюдений c H = 0,1; H = 0,5; H = 0,9 и белого шума с нормальным распределением

Визуально можно определить, что стационарные случайные сигналы (например, шум с нормальным распределением) имеют максимальную зашумленность, а зашумленность фрактальных сигналов падает с увеличением показателя Хёрста.

Задание на лабораторную работу

1. Ознакомиться с теоретическим введением к лабораторной работе.

2. В среде MatLabнаписать функции генерации синусоидального сигнала, пилы, меандра. С помощью программыFractanпостроить фазовый портрет сигнала, а также рассчитать для этого сигнала показатель Хёрста. Проанализировать и объяснить полученные результаты.

3. Построить фазовый портрет логистической функции для цикла периода 2, 3, 8, для хаотического режима (подобрать параметры логистической функции для необходимых режимов можно с помощью программы Chaos).