- •Новочеркасский ордена Трудового Красного Знамени политехнический институт имени Серго Орджоникидзе
- •Тема 1. Основные понятия и законы теории цепей. Электрические и магнитные цепи.
- •1. Основные термины теории электрических цепей
- •2. Первый закон Кирхгофа
- •3. Второй закон Кирхгофа.
- •4. Основные элементы линейных электрических цепей.
- •5. Эквивалентные преобразования фрагментов электрических цепей.
- •6. Мощность двухполюсника
- •7. Полная система расчетных уравнений эл. Цепи.
- •8. Метод узловых потенциалов
- •9. Магнитные цепи.
- •10. Основные характеристики переменных токов и напряжений.
- •Тема 2. Синусоидальные режимы электрических цепей
- •11. Комплексный метод расчета синусоидальных режимов эл. Цепей.
- •12. Резистор, катушка индуктивности и конденсатор в синусоидальном режиме.
- •13. Комплексное сопротивление и комплексная проводимость.
- •14. Мощность двухполюсника в синусоидальном режиме
- •15. Последовательное соединение резистора, катушки индуктивности и конденсатора.
- •16. Смешанное соединение резистора, катушки индуктивности и конденсатора.
- •17. Трехфазный источник напряжения. Общая характеристика трехфазных цепей.
- •18. Соединение трехфазного источника напряжения и нагрузки звездой
- •19. Соединение трехфазного источника напряжения и нагрузки треугольником
- •Тема 3. Дополнительные главы
- •20. Переходные процессы
- •21. Взаимная индуктивность.
8. Метод узловых потенциалов
Рис. 8.1. |
Метод узловых потенциалов удобен еще и тем, что потенциалы узлов можно измерить вольтметром или наблюдать с помощью осциллографа, сравнивая расчеты с экспериментами.
Рассмотрим эл. цепь (рис. 8.1). Поставим задачу найти напряжения и токи всех ветвей цепи.
Вначале устраним неоднозначность узловых потенциалов. Если ко всем ним прибавить одно и то же число, то разности потенциалов, а значит, напряжения и токи цепи, не изменятся. Поэтому можно заранее считать, что мы прибавили к потенциалам такое число, что потенциал выбранного нами узла оказался равным нулю. Такой узел называется базовым и обозначается знаком . После выбора базового узла потенциалы определяются однозначно.
Запишем уравнения первого закона Кирхгофа для всех узлов, кроме одного (любого). Пусть в нашем случае это будут узлы 1, 2:
(8.1 )
Рис. 8.2. |
– по 2‑му закону Кирхгофа ,
– по определению напряжения между двумя точками ,
– по уравнению источника напряжения ,
– согласно уравнению резистора .
Окончательно получаем .
Аналогично для остальных ветвей с учетом того, что потенциал базового узла равен нулю, получим:
Формулы для токов можно получить по правилу: ток ветви равен потенциалу узла, из которого выходит стрелка тока, минус потенциал узла, в который она входит, плюс ЭДС ветви, если стрелка ЭДС и стрелка тока направлены в одну сторону (минус ЭДС, если они направлены противоположно), и все это умножить на проводимость ветви.
Подставим выражения для токов в уравнения (8.1), получим:
Сгруппировав слагаемые, преобразуем полученную систему уравнений к виду
Запишем последнюю систему уравнений в матричной форме:
(8.2)
Решив эту систему уравнений, получим значения узловых потенциалов. Затем можно будет найти токи ветвей по записанным выше формулам и напряжения ветвей как разности потенциалов узлов.
Систему уравнений (8.2) можно составить непосредственно по схеме эл. цепи с помощью следующих правил:
На диагонали матрицы в k-й строкеk-м столбце записывается сумма проводимостей ветвей, подключенных кk-му узлу.
В k-й строкеm-м столбце записывается взятая со знаком "минус" сумма проводимостей ветвей, соединяющих узел №kи узел №m.
В k-й строке правой части системы уравнений записывается сумма токов короткого замыкания ветвей, подключенных к узлу №k. При этом ток входит в сумму с дополнительным знаком "минус", если стрелка соответствующего источника направлена от узла №k.
Замечание. При составлении системы уравнений учитывается, что проводимость ветви, содержащей источник тока, равна нулю.
Рис. 8.3. |