12. Резистор, катушка индуктивности и конденсатор в синусоидальном режиме.

При использовании комплексного метода рассматривают уравнения элементов, связывающие комплексы напряжений и токов.

Синусоидам ипоставим в соответствие комплексы:. Учтем, что умножению синусоиды на число соответствует умножение комплекса на то же число, а производной от синусоиды соответствует умножение ее комплекса на. Из уравнений элементов для мгновенных значений напряжения и тока получим уравнения элементов в комплексах.

Уравнение резистора для мгновенных значений напряжения и тока: , откуда получаем уравнение резистора в комплексах:

.

Рассмотрев модули и аргументы левой и правой частей последнего уравнения, получим:

(связь действующих значений напряжения и тока резистора),

(связь фаз напряжения и тока).

Последнее означает, что фазы напряжения и тока резистора совпадают(рис. 12.1, рис. 12.2).

Рис. 12.1. Мгновенные значения напряжения и тока резистора.

Рис. 12.2. Векторная диаграмма напряжения и тока резистора.

Уравнение катушки индуктивности для мгновенных значений напряжения и тока: , откуда получаем уравнение катушки индуктивности в комплексах:

.

Рассмотрев модули и аргументы левой и правой частей последнего уравнения, получим (учитывая, что модуль произведения равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей):

(связь действующих значений напряжения и тока катушки),

(связь фаз напряжения и тока)

Последнее означает, что фаза напряжения катушки больше фазы ее тока на(рис. 12.3, рис. 12.4). Величинуобозначаюти называютиндуктивным сопротивлением. Оно измеряется в омах.

Рис. 12.3. Мгновенные значения напряжения и тока катушки индуктивности.

Рис. 12.4. Векторная диаграмма напряжения и тока катушки индуктивности.

Уравнение конденсатора для мгновенных значений напряжения и тока: , откуда получаем уравнение конденсатора в комплексах:.

Рассмотрев модули и аргументы левой и правой частей последнего уравнения, получим:

(связь действующих значений напряжения и тока конденсатора),

(связь фаз напряжения и тока).

Последнее означает, что фаза тока конденсатора больше фазы его напряженияна(рис. 12.5, рис. 12.6). Величинуобозначаюти называютемкостным сопротивлением. Оно измеряется в омах.

. Рис. 12.5. Мгновенные значения напряжения и тока конденсатора.

Рис. 12.6. Векторная диаграмма напряжения и тока конденсатора.

Сводку уравнений этого параграфа можно представить таблицей:

	ур-е для мгновенных значений	ур-е для комплексов	ур-е для действующих значений	ур-е для фаз
Резистор
Катушка
Конденсатор

13. Комплексное сопротивление и комплексная проводимость.

Комплексное сопротивление

Рис. 13.1.

Рассмотрим пассивный двухполюсник в синусоидальном режиме (Рис. 13.1). Отношение комплекса напряжения к комплексу тока пассивного двухполюсника называетсякомплексным сопротивлениеми обозначаетсяZ:

.

С комплексным сопротивлением связаны следующие величины:

–полное сопротивление,

–активное сопротивление,

–реактивное сопротивление,

–аргументкомплексного сопротивления.

Согласно этим определениям, комплексное сопротивление можно представить в виде

.

Из определения комплексного сопротивления следуют равенства:

.

Рис. 13.2.

Комплексное сопротивление изображают в виде “треугольника сопротивлений” (рис. 13.2).

Комплексному сопротивлению не соответствует никакая синусоида. В электротехнике над обозначениями таких величин точки не ставят, а на диаграммах не рисуют стрелки. Реактивное сопротивление, в отличие от активного, может быть отрицательным.

Пример:последовательное соединение резистора и катушки индуктивности (рис. 13.3 - 13.5).

Рис. 13.3. Схема последовательного соединения R,L.

Рис. 13.4. Векторная диаграмма напряжений и тока последовательного соединения R,L.

Рис. 13.5. Треугольник сопротивлений последовательного соединения R,L.

При последовательном соединении двухполюсников их напряжения складываются (вследствие 2-го закона Кирхгофа). Поэтому

,

.

Из последней формулы видно, что комплексное сопротивление последовательного соединения резистора и катушки можно получить сложением комплексных сопротивлений резистора Rи катушкиjL.

Все правила и формулы для эквивалентных преобразований обычных сопротивлений и проводимостей годятся и для комплексных сопротивлений и проводимостей.Это следствие сохранения законов Кирхгофа при переходе к комплексам.

Напряжение двухполюсника складывается из двух составляющих. Одна из них совпадает по фазе с током и называетсяактивной составляющей напряжения, а вторая сдвинута относительно тока наи называетсяреактивной составляющей напряжения. В нашем примере- активная, а- реактивная составляющая напряжения.

Комплексная проводимость

Отношение комплекса тока к комплексу напряжения пассивного двухполюсника называется комплексной проводимостьюи обозначается:

.

С комплексной проводимостью связаны следующие величины:

–полная проводимость,

–активная проводимость,

–реактивная проводимость,

–аргументкомплексного сопротивления.

Согласно этим определениям, комплексную проводимость можно представить в виде

.

Рис. 13.6.

Из определения комплексной проводимости следуют равенства

.

Комплексную проводимость изображают в виде “треугольника проводимостей” (рис. 13.6).

Реактивная проводимость, в отличие от активной, может быть отрицательной.

Отметим также, что .

Пример: параллельное соединение резистора и конденсатора (рис. 13.7 - 13.9).

При параллельном соединении двухполюсников их токи складываются (вследствие 1-го закона Кирхгофа). Поэтому

,

.

Рис. 13.7. Схема параллельного соединения G,С.

Рис. 13.8. Векторная диаграмма напряжения и токов параллельного соединения G,С.

Рис. 13.9. Треугольник проводимостей параллельного соединения G,С.

Из последней формулы видно, что комплексную проводимость параллельного соединения резистора и конденсатора можно получить сложением комплексных проводимостей резистора Gи конденсатораjС.

Ток двухполюсника складывается из двух составляющих. Одна из них совпадает по фазе с напряжением и называетсяактивной составляющей тока, а вторая сдвинута относительно напряжения наи называетсяреактивной составляющей тока. В нашем примере- активная, а- реактивная составляющая тока.