§27. Применение первого закона термодинамики к основным термодинамическим процессам

Анализ основных термодинамических процессов проведем применительно к идеальному газу. При этом определим:

-работу, совершаемую газом;

-изменение внутренней энергии газа;

-количество теплоты, получаемое газом;

-молярную теплоемкость газа

и выведем уравнения состояния газа для данных процессов.

Для этого перепишем уравнение первого закона, термодинамики в форме (26.4) с учетом выражений (24.3) и (25.4):

, (27.1)

где С- молярная теплоемкость газа в данном процессе.

27.1. Изохорический процесс

Изохорическим процессом называется процесс, происходящий в системе с неизменной массой при постоянном объеме.

Рис.27.1

Если к газу, заключенному в сосуд неизменного объема, подвести некоторое количество теплоты, то, как показывает опыт, его давление и температура возрастут. В координатных осях р и V этот процесс изображен отрезком 1-2 вертикальной прямой (рис. 27.1), называемой изохорой.

Работа газом над внешними телами не совершается, так как изменения объема нет (dV=0), то есть

(27.2)

и

^. (27.3)

Поэтому из первого закона термодинамики (26.4) следует, что в изохорическом процессе все количество теплоты, сообщаемое газу, идет на изменение его внутренней энергии:

. (27.4)

Или с учетом (25.4)

^, (27.5)

где С_V - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Опыты показывают, что С_V зависит от химического состава газа и его температуры. Однако в узком диапазоне температур можно считать, что С_V  Const. Поэтому изменение внутренней энергии газа при переходе из состояния 1 в состояние 2 найдем интегрированием выражения (27.5):

или

. (27.6)

Соответственно, количество теплоты, сообщенное газу в этом процессе, равно

. (27.7)

Из (27.7) следует, что при T₂>T₁ к газу подводится определенное количество теплоты (Q₁₂ > 0), а при T₂<T₁ - отводится (Q₁₂ < 0).

Следует повторить, что внутренняя энергия идеального газа определяется только его массой, химическим составом и температурой, поэтому выражения (27.5) и (27.6) справедливы для любого процесса изменения состояния идеального газа (изохорического, изобарического и пр.).

Подставляя выражение (27.5) в (27.1), можно записать уравнение первого закона термодинамики в виде

. (27.8)

Для бесконечно малого изменения внутренней энергии газа dU из (23.6) находим

^. (27.9)

Сравнивая это выражение c (27.5), получаем

^. (27.10)

Таким образом, молярная теплоемкость идеального газа в изохорическом процессе зависит только от числа степеней свободы его молекул.

Из уравнения Клапейрона-Менделеева (14.1) с учетом постоянства величин V, M, , и R, находим уравнение состояния газа в изохорическом процесса (закон Шарля):

. (27.11)

27.2. Изобарический процесс

Изобарическим процессом называется процесс, происходящий в системе с неизменной массой при постоянном давлении.

Такой процесс осуществляется, например, при нагревании или охлаждении газа, находящегося в цилиндре с подвижным поршнем, на который действует постоянное внешнее давление (рис.27.2.а).

На рис. 27.2.б показаны процессы изобарического расширения газа при нагревании (отрезок 1-2 прямой, называемой изобарой) и изобарического сжатия при его охлаждении (отрезок 1-3).

Элементарная работа А, совершаемая идеальным газом в изобарическом процессе, определяется из выражения с учетом того, что из уравнения Клапейрона-Менделеева

,

то есть

^. (27.12)

Рис.27.2

Работу А₁₂ ,совершаемую газом в процессе изобарического перехода из состояния 1 в состояние 2, находим интегрированием выражения (27.12):

. (27.13)

Как видно на рис.27.2.б, работа А₁₂ численно равна площади заштрихованной фигуры 12V₂V₁.

Используется и другое выражение для работы А₁₂, получаемое из (27.12):

^. (27.14)

Из (27.12) следует, что

(27.15)

Выражение (27.15) позволяет определить физический смысл универсальной газовой постоянной R - она численно равна работе, совершаемой одним молем идеального газа при изобарическом нагревании на один Кельвин.

Изменение внутренней энергии газа в изобарическом процессе так же, как в изохорическом, равно

(27.16)

и

^. (27.17)

Элементарное количество теплоты, сообщенное газу в изобарическом процессе определяется как

, (27.18)

где C_P - молярная теплоемкость газа при постоянном давлении.

Если в интервале температур от T₁ до T₂ величину С_P можно считать постоянной, то подводимое количество теплоты Q₁₂ к газу для перехода из состояния 1 в состояние 2 равно

. (27.19)

Для нахождения молярной теплоемкости газа при изобарическом процессе подставим выражения (27.12), (27.16) и (27.18) в уравнение первого закона термодинамики в форме (27.8):

(27.20)

и после сокращения на получим так называемое уравнениеРоберта Майера:

. (27.21)

Из уравнения (27.21) следует, что молярная теплоемкость идеального газа в изобарическом процесса больше его молярной теплоемкости в изохорическом процессе на величину, равную универсальной газовой постоянной. Это легко объясняется, так как в изобарическом процессе в отличие от изохорического теплота, сообщаемая газу, расходуется не только на изменение внутренней энергии газа, но и на совершение им работы. С учетом (27.10) перепишем выражение (27.21) в виде

^. (27.22)

Из уравнения Клапейрона-Менделеева (14.1) при постоянных значениях величин p, M, , и R находим уравнение состояния идеального газа в изобарическом процессе (закон Гей-Люссака):

. (27.23)