Пределы дробно-рациональных функций с квадратичными выражениями

В случае неопределённости следует разложить квадратичное выражение на множители. Для этого можно

а) воспользоваться тождеством , гдеи– корни уравнения, найденные по формуле;

б) учесть, что, когда , то– один из корней, и другой кореньможно найти по теореме Виета, например, из равенства, где;

в) применить равенство , где .

Пример 7.

(решили уравнения ии применили 1-й способ).

Пример 8.

.

В уравнении свободный коэффициент –10 разделили на коэффициент, стоящий перед(число 4). Результат разделили на известный корень 2. Получили 2-й корень.

Затем в уравнении нашли 2-й корень из условия, где 2 – известный корень, а 6 – свободный коэффициент (Теорема Виета).

Пример 9.

.

Скобка получена как, а остальные найдены 3-м способом.

ПР6. Раскройте неопределённость , разложив дробь на множители:

1) а) ; б); в); г);

2) а) ; б); в); г);

3) а) ; б); в); г);

4) а) ; б); в); г).

Пример 10.

.

Предел дробно-рациональной функции в бесконечности

Пусть дана функция (см. стр. 16) и надо найти. Оказывается, прився дробь ведёт себя так, как отношение старших степеней:

.

Тогда . Обозначим. Возможны 3 случая:

1) , тогда, где ();

2) , тогда, где ();

3) , тогда.

Таким образом, предел равен

а) бесконечности, если степень числителя больше, чем степень знаменателя;

б) 0 в противоположном случае;

в) отношению старших коэффициентов, если степени равны.

ПР7. Найдите пределы

1) а) ; б); в); г); д);

2) а) ; б); в); г); д);

3) а) ; б); в); г); д);

ПР8. Найдите пределы

1) а) ; б); в);

2) а) ; б); в);

3) а) ; б); в).

Пример 11. Оставив в числителе и в знаменателе старшие степени, находим

а) ;

б) ;

в) .

Пример 12. Оставив старшие степени, видим, что

а) ;

б) ;

в) .

Обратите внимание, что знак бесконечности (если таковая получается) в ответе не указывается. Тем не менее, если обе старшие степени – чётные (или если обе нечётные), очевидно, их отношение всегда положительно, что можно учесть.

ПР9. Найдите пределы функций в точках,,,,, а также при.

.

Пределы иррациональных функций

Если функция содержит корень, подставляем, как обычно, предельную точку. Сложности связаны с неопределённостью , когда приходится умножать числитель и знаменатель насопряжённое выражение.

Выражения сопряжены относительно разности квадратов, если их произведение превращается в разность квадратов по формуле .

Примеры сопряжённых выражений

а) сопряжено с, при этом;

б) сопряжено с, и тогда;

в) сопряжено с, поскольку

,

причём под корнем всё остаётся без изменений;

г) сопряжено с:

.

ПР10. Найдите пределы иррациональных функций простой подстановкой:

1) а) ; б); в); г);

2) а) ; б); в); г);

3) а) ; б); в); г);

4) а) ; б); в); г).

Пример 13. Подставив указанные точки, находим значения

а) ;

б) .

ПР11. Раскройте неопределённость , умножив числитель и знаменатель дроби на подходящее сопряжённое выражение и сократив одинаковые скобки:

1) а) ; б); в); г);

2) а) ; б); в); г);

3) а) ; б); в); г);

4) а) ; б); в);

г) ; д); е).

Пример 14.

.

Пример 15.

.

Пример 16.

.

ПР12. Умножьте числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое к числителю, а затем – на выражение, сопряжённое к знаменателю. Сократив скобки, раскройте неопределённость :

1) а) ; б); в); г);

2) а) ; б); в); г);

3) а) ; б); в);

4) а) ; б); в).

Пример 17. Умножим, чтобы получить разность квадратов:

.

Пример 18. Так же, как в примере 17,

.

Иррациональные пределы при в случае неопределённостинаходят подобно рациональным, при помощи старших степеней, а в случае неопределённостисводят её кпри помощи сопряжённого выражения.