Тригонометрические пределы. Первый замечательный предел

ПР13. Найдите тригонометрические пределы простой подстановкой:

1) а) ; б); в); г); д);

2) а) ; б); в); г); д).

Пример 19. Легко видеть, что

а) ;

б) .

Предел помогает, если при вычислении тригонометрических функций получается неопределённость. Оказывается, если прифункция, то выполнено приближённое равенство

,

и все 4 функции примерно равны собственному аргументу. Тем самым, если аргумент , указанные функции являютсяэквивалентными бесконечно малыми (предел их соотношения равен 1).

Так, ,, поскольку. Как применить это при вычислении пределов, показано в примерах.

ПР14. Раскройте неопределённость при помощи эквивалентных бесконечно малых величин:

1) ; б); в); г); д);

2) ; б); в); г); д).

Пример 20. Если заменить функции собственным аргументом, то

а) ;

б) ;

в) .

ПР15. Раскройте неопределённость при помощи эквивалентных бесконечно малых и тождества:

1) а) ; б); в); г);

2) а) ; б); в); г).

Пример 21.

.

Пример 22.

(учли, что по смыслу задачи , иначене существует).

При переходе к эквивалентным бесконечно малым следует проявлять осторожность, когда присутствует разность или сумма функций, тем более, если после упрощений получается 0 в числителе или знаменателе:

.

Попытка перейти в числителе к разности приведёт к ошибке: либо решим, что в числителе «чистый» 0, и потому ответ равен 0, либо вовсе зайдём в тупик.

Второй замечательный предел

Предел применяют для раскрытия неопределённостей вида , связанных с показательными функциями. Равносильное свойство:

Однако, как при вычислении любого предела, начинать следует с подстановки предельной точки. Если вместо точки указана бесконечность, пытаются упростить пример, найдя предел основания, степени и т.п. И только при возникновении неопределённости применяют замечательный предел.

Схема применения 2-го замечательного предела

Пусть при оказалось, что, а. Тогда.

Считаем, что , гдепри. Тогда

.

Поскольку , то.

Найдём предел , и если он равен числуA, то весь предел равен .

ПР16. Найдите пределы простой подстановкой:

1) а) ; б); в); г);

2) а) ; б); в); г).

Пример 23. .

ПР17. Найдите пределы, воспользовавшись свойствами показательной функции , а именно – её значениями при, когдаили:

1) а) ; б); в); г);

2) а) ; б); в); г).

В задании 2 в каждом примере получаются 2 ответа – в зависимости от знака бесконечности.

Пояснение. Если , тои. Если, тои. Призависимостьне является функцией (точнее, это функция, разрывная в каждой действительной точке).

Пример 24. Видно, что

.

Тогда, поскольку при величинаобращается в 0,

.

Пример 25. Находим

.

Основание , а в этом случае. Поэтому

.

Пример 26. Здесь

.

Но функция – это то же, что. А эта функция стремится к 0 прии обращается впри. Тогда.

ПР18. При помощи 2-го замечательного предела раскройте неопределённость , когда аргумент стремится к бесконечности:

1) а) б); в); г);

2) а) б); в); г);

3)а) ; б); в); г);

4) а) ; б); в); г);

5) а) ; б); в); г).

Пример 27. .

Пример 28.Найдём . Представим основание так:

(а лучше сразу заметить, что ).

Тогда .

Но .Поэтому .

ПР19. При помощи 2-го замечательного предела раскройте неопределённость , когда аргумент стремится к 0:

1) а) ; б); в); г);

2) а) ; б); в); г).

Пример 29. Преобразовав степень, получаем

а) ;

б) .

ПР20. Найдите пределы

1) а) ; б); в); г);

2) а) ; б); в); г).

Пример 30. Найдём . Здесь

,

и тогда

.

В степени присутствует , но, поэтому

. Это и есть ответ.

Пример 31. Найдём . Представив, получаем, что.

Теперь находим . Преобразуем показатель степени так:

.

Тогда

Ответ: .