Непрерывность дробно-рациональных функций

Дробно-рациональные функции терпят разрыв только в тех точках, где знаменатель обращается в 0, при этом разрыв – либо устранимый, либо бесконечный скачок (частный случай разрыва 2-го рода).

Пример 9. Исследуем на непрерывность функцию .

Знаменатель обращается в 0 в точке , при подстановке получаем неопределённость. Раскроем её:

,

тогда .

В точке имеет место устранимый разрыв, на графике получается прямая, из которой удалена точка с координатамии.

НФ7. Исследуйте на непрерывность функции и постройте их графики:

1) а) ; б); в); г);

2) а) ; б); в); г);

3) а) ; б); в); г).

НФ8. Исследуйте на непрерывность дробно-рациональные функции. Покажите схематично поведение графика функции вблизи точки разрыва:

1) а) ; б); в); г);

2) а) ; б); в); г);

3) а) ; б); в); г);

4) а) ; б); в); г).

Пример 10. Пусть . Эта функция не определена в точке, где знаменатель равен 0. Во всех других точках она определена и потому непрерывна по свойству элементарных функций.

Проверим точку . При подстановке её в функцию число 5 делится на бесконечно малую величину, получается бесконечность, и тогда–точка разрыва 2-го рода. Для построения схематичного графика находим пределы слева и справа:

а) ;

б) .

Если подходить к точке слева, график падает круто вниз вдоль вертикальной прямой, а при подходе справа – круто поднимается вверх.

Пример 11. Пусть . Функция непрерывна во всех точках, кроме той, где, т.е. кроме точки.

При подстановке получим, и потому– точка разрыва 2-го рода. Найдём пределы слева и справа:

а) ;

б) .

При подходе аргумента x слева к точке 2 график поднимается вдоль вертикальной прямой , а при подходе справа – круто падает.

НФ9. Исследуйте на непрерывность дробно-рациональные функции. Покажите схематично поведение графика функции вблизи точки разрыва:

1) а) ; б); в);

2) а) ; б); в);

3) а) ; б); в);

4) а) ; б); в).

Пример 12. Пусть . Функция не определена при. Корни знаменателя – числаи. Во всех других точках функция определена и потому непрерывна как элементарная.

При получим, и поэтому обе точки – точки разрыва 2-го рода. Дальнейшие действия лишь уточняют знак бесконечности при подходе к точкам с конкретных сторон. При вычислении воспользуемся «методом близкой точки». Его идея – узнать знак функции в точках,близких к тем, что нас интересуют.

Пусть . Вместо точек –5–0 и –5+0 возьмём соответственно –5,1 и –4,9:

а) ;

б) .

При подходе слева к точке –5 график падает, при подходе справа – поднимается.

Пусть . Вместо точек 5–0 и 5+0 возьмём соответственно 4,9 и 5,1:

а) .

б) ;

При подходе слева к точке 5 график поднимается, при подходе справа – падает.

Пример 13. Пусть . Корни знаменателя – числаи. В остальных точках функция непрерывна.

Подставив, получим и– перед нами точки разрыва 2-го рода. Для уточнения знаков бесконечности применяем «метод близкой точки».

Для в качестве –6–0 и –6+0 берём соответственно –6,1 и –5,9:

а) ;

б) .

Для в качестве –0 и +0 возьмём соответственно –0,1 и +0,1:

а) ;

б) .

Вблизи точек –6 и 0 график ведёт себя одинаково – слева падает, справа растёт.

НФ10. Исследуйте на непрерывность дробно-рациональные функции. Покажите схематично поведение графика функции вблизи точки разрыва:

1) а) ; б); в);

2) а) ; б); в);

3) а) ; б); в);

4) а) ; б); в).

Пример 14. Пусть . Решив уравнение, получаем корнии. В остальных точках функция непрерывна.

Подставив , получим. Значит,– точка разрыва 2-го рода. Уточним знак бесконечности:

а) ;

б) .

Подставив , получим. В этом случае, как известно, надо упростить дробь, разложив на скобки и сократив одинаковые:

,

тогда независимо от того, как подходить к точке.

Итак, – точка разрыва 2-го рода, в которой знак бесконечности меняется с «–» на «+»;– точка устранимого разрыва, в которой функция стремится к значению.

Замечание 3. Метод близкой точки требует осторожности. Например, подставив в функцию в качествечисло, получим, что, тогда как на самом деле. Дело в том, что между 2 и 2,1 находится корень числителя – число 2,01.

Лучше усложнить вычисления, взяв лишние 0 после запятой – в данном случае можно взять , тогдадаёт верный вывод.