Непрерывность некоторых сложных функций
Здесь даны примеры
исследования на непрерывность функций
,
где
– некоторая разрывная функция. Основная
трудность вызвана тем, что значение
величины
зависит от знака бесконечности и от
того, будет ли
.
Пример 15.
Найдём точку разрыва функции
и проверим поведение функции вблизи
этой точки.
Поскольку число
2 можно возвести в любую степень, смотрим,
при любых ли значениях x
существует сам показатель степень. Нет,
число
подставить нельзя – получится деление
на 0. Значит, надо найти предел в точке
:
.
Но результат
зависит от знака бесконечности. Основание
,
а функция
возрастает на всей числовой оси, принимая
значения от 0 до
.
Значит,
,
а
.
В свою очередь
знак бесконечности зависит от того, с
какой стороны подойти к точке
.
Поэтому находим пределы слева и справа:
а)
;
б)
.
Итак, предел слева
равен 0, предел справа равен
.
Когда хотя бы с одной стороны предел
бесконечен, получается разрыв 2-го рода
(бесконечный
скачок).
Ответ:
разрыв 2-го рода в точке
,
предел слева 0, справа
.
Замечание 4. Далее в заданиях показатель степени в скобки не берём.
Пример 16.
Исследуем на непрерывность функцию
.
Знаменатель не
должен обращаться в 0. Но
,
если
.
Находим пределы слева и справа в точке
.
Учтём, что основание
,
и потому функция
убывает от
до 0, а именно,
и
.
а)
;
б)
(при раскрытии
скобок
,
но знак 0 меняется на противоположный).
Ответ:
разрыв 2-го рода в точке
;
предел слева равен
,
справа – 0.
Пример 17.
Найти точки разрыва функции
,
определить их тип.
Очевидно, большой
знаменатель не должен обращаться в 0.
Но показательная функция
всегда положительна, тем более – если
прибавить к ней 5.
Значит, проблемы
могут возникнуть только со знаменателем
.
Действительно, число
подставить нельзя – возникает деление
на 0.
Воспользуемся
методом близкой точки, взяв в качестве
и
соответственно 0,999 и 1,001.
Пусть
.
Тогда
а)
; б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Пусть теперь
.
Тогда
а)
; б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Тем самым предел
слева равен 1,4, а предел справа равен 0.
Значит, в точке
получается разрыв 1-го рода – конечный
скачок от значения 1,4 до значения 0.
Ответ:
разрыв 1-го рода в точке
,
предел слева равен 1,4, справа – 0.
Пример 18
(повышенной сложности).
Исследуем на непрерывность функцию
,
найдём точки разрыва, определим их тип.
Возможны два проблемных случая:
а) в 0 обращается
знаменатель
(очевидно, когда
);
б) в 0 обращается
знаменатель всей дроби (когда
).
Эти случаи рассматриваются отдельно и независимо один от другого.
1-й случай.
Пусть
.
Найдём пределы слева и справа тем же
способом, что в примере 17.
В качестве числа
возьмём
.
Тогда
а)
; б)
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
Предел слева в точке 3 равен 0.
В качестве числа
возьмём
.
Тогда
а)
; б)
; в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
Предел справа в точке 3 равен –48.
В точке
имеет место разрыв 1-го рода – конечный
скачок от значения 0 до значения –48.
2-й случай.
Пусть
,
или, что то же самое,
(учтём, что
).
Тогда
,
поскольку функция
монотонна.
Значит,
,
откуда
,
и
– точка разрыва. Поскольку в ней
получается
,
разрыв будет 2-го рода.
Выясним знак
бесконечности, если подходить слева и
справа к точке
.
Поскольку
,
в качестве
возьмём
,
а в качестве
возьмём
.
Пусть
,
тогда
а)
; б)
в)
;
г)
;
д) знаменатель
;
е)
.
Предел слева в
точке
равен
.
Пусть
,
тогда
а)
; б)
в)
;
г)
;
д) знаменатель
;
е)
.
Итак, если подходить
к
слева, функция стремится к
,
а если подходить справа – стремится к
.
Ответ:
Функция терпит неустранимый разрыв
1-го рода в точке
,
при этом предел слева равен 0, а предел
справа равен
.
Кроме того, функция терпит разрыв 2-го
рода в точке
,
при этом предел слева равен
,
а предел справа равен
.
Пример 19. Исследуем
на непрерывность функцию
.
Понятно, что
– точка разрыва. Но если
,
то всегда
.
Тогда
,
и степень положительна при любом
аргументе, в том числе при
.
Но при
степень бесконечна, и получается
,
или
.
Ответ:
разрыв 2-го рода в точке
,
пределы и слева, и справа равны
.
Замечание 5. Совпадение знака бесконечности ни в коем случае не означает, что перед нами – точка устранимого разрыва. Разрыв устраним только для конечных числовых значений (когда совпадают числа).
Пример 20. Проверим
непрерывность функции
.
Непрерывность нарушается, если
,
или
.
Пусть
:
а)
;
б)
.
Пусть
:
а)
.
б)
;
Ответ:
разрыв 2-го рода в точках
и
.
В 1-й точке предел слева равен
,
предел справа равен 0; во 2-й точке – всё
наоборот.
НФ11. Исследуйте функции на непрерывность, покажите схематично их поведение вблизи точек разрыва:
1) а)
; б)
; в)
; г)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
;
3) а)
; б)
; в)
; г)
.
НФ12. Задание то же, что в НФ11:
1) а)
; б)
; в)
; г)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
;
3) а)
; б)
; в)
; г)
;
4) а)
; б)
; в)
; г)
.
НФ13. Задание то же, что в НФ11:
1) а)
; б)
; в)
; г)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
;
3) а)
; б)
; в)
; г)
.
Пример 21.
Пусть предложено выяснить, как функция
ведёт себя в точках разрыва.
Распространённая
ошибка – решая уравнение
и считая, что точки разрыва обязаны
быть, раз о них речь в условии, взять
.
На самом деле
а) уравнение
корней не имеет;
б) соответственно
знаменатель дроби
в 0 не обращается;
в) поэтому дробь определена при любых значениях x;
г) тогда, поскольку 3 можно возвести в любую степень, вся функция также определена при любых значениях x.
Никаких точек разрыва нет, функция непрерывна на всей числовой оси.
Пример 22.
Исследуем на непрерывность функцию
.
Функция
определена на отрезке
.
Значит, должно быть выполнено неравенство
,
или
.
При этом
а) неравенство
выполнено при любом действительномx;
б) неравенство
выполнено только при
.
Тем самым вся
функция
определена в единственной точке
.
Пределы слева и справа не имеют смысла.
Пример 23.
Исследуем на непрерывность функцию
.
Должно выполняться
неравенство
или, что равносильно,
.
При этом
а) неравенство
выполнено при любом действительномx;
б) неравенство
выполнено только при
.
Поскольку
и
не определены, в 1-й точке функция
непрерывна справа, а во 2-й – слева. На
интервале
функция непрерывна.