ДЕКАРТОВЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ
множеств X и Y называется такое множество X x Y, элементами которого являются все упорядоченные компоненты исходных множеств (x, y), называемые энками или координатами:
X x Y = { (x; y) | x X Λ y Y }
Свойства операции:
1.Декартово произведение любого множества с пустым множеством коммутативно и пусто. 2.Декартово произведение разных непустых множеств не коммутативны, не ассоциативны.
Декартово произведение множества A = {a; b; c} самого на себя выполняется следующим образом:
A x A = { a; b; c } x { a; b; c } = { ( a, a ); ( a, b ); ( a, c ); ( b, a ); ( b, b ); ( b, c ); ( c, a ); ( c, b ); ( c, c ) }
Дополнением B‘A включаемого подмножества B
до включившего его множества A называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих большему множеству A и не принадлежащих включённому подмножеству B:
B‘A = { x | x A Λ x B }
При записи дополнения любого множества до континуума, последний нижним индексом не указывается!
Свойства ДОПОЛНЕНИЙ: A (A ∩ B)` = A` U B` ;
(A U B)` = A` ∩ B` .
Качественное
описание
математических
объектов
•Множества
•Диаграммы Эйлера- Венна
•Операции над множествами:
–Пересечение
–Объединение
–Разность
–Декартово
произведение
•Теоремы и их строение
Высказывание, содержащее переменную, называется одноместным предикатом.
Выражение P(x) читается “P от x”.
Если логическая переменная получает значение, то предикат превращается в высказывание. Превращают предикат в высказывание и кванторы: Квантор общности – ( x X) P(x) читается “Для всех x из X справедливо P от x”;
Квантор существования - ( x X) P(x) читается “Существует такое x из X, что справедливо P от x”; Высказывания, предикаты и кванторы являются конструктивными элементами выводов формальных теорий, полученных доказательством, то есть теорем или формул теории.
Всякая истинная теорема структурно состоит из трёх частей и имеет вид:
( x X ) (A(x) => B(x)), где
( x X ) – разъяснительная часть, описывающая множество объектов, о которых идёт речь в теореме; A(x) – условие теоремы;
B(x) – заключение теоремы.
Заключение логически следует из условия, поэтому Заключение теоремы является необходимым условием для условия теоремы, а условие теоремы – достаточным условием для заключения теоремы.
Две теоремы c одинаковой разъяснительной частью называются обратными друг другу если заключение одной является условием другой и наоборот:
( x X ) (A(x) => B(x)) - прямая теорема; ( x X ) (B(x) => A(x)) - обратная теорема.
При истинности прямой и обратной теорем, их объединяют: ( x X ) (A(x) <=> B(x)).
Теорема противоположная прямой теореме:
___ ____
( x X ) (A(x) => B(x))
Теорема противоположная обратной теореме:
__________ __________
( x X ) (B(x) => A(x))
Прямая и противоположная обратной теоремы равносильны. На этом факте основывается доказательство теорем методом контрапозиции.
Суть метода заключается в том, что для доказательства истинности прямой теоремы доказывают истинность теоремы противоположной обратной.
Качественное описание математических объектов формулируется в виде теорем.
© KcH, 2011-2016