Суммой двух простых случайных собы- тий называется такое сложное случай- ное событие, которое происходит, когда происходит одно из простых случайных событий или оба вместе.

Если случайные события A и B несов- местны, то сложное случайное событие C = A + B формируют два непересекаю- щихся пространства (множества) «поту- стороннего» мира.

Ωi

{ωj1,ωj2,ωjm,…,ωm+1, …,ωn}

B {ω1,ω2,ωm,…,ωm+1,…,ωn}

Ωj

ТЕОРЕМА 1 Для несовместных случайных

событий вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B) .

Событие C = A+B является сложным событием

генерируемым объединённым пространством: Ωi и Ωj двух непересекающихся множеств по- тустороннего мира: Ωi ∩ Ωj = 0.

Пусть событие A генерируется множеством Ωi = {ωi1,ωi2,…,ωil},

а событие B генерируется множеством

Ωj = {ωj1,ωj2,…,ωjk}, тогда событие C = A + B генерируется объединённым множеством:

Ωi υ Ωj = {ωi1,ωi2,…,ωil, ωj1,ωj2,…,ωjk} Поскольку пространства не пересекаются, то P(A+B) = P(A) + P(B)

Правило сложения вероятностей называют свойством адитивности вероятностей.

{ω1,ω2,ωm,…,ωm+1,…,ωn}

Ωi

{ω1,ω2,ωm,…,ωm+1,…,ωn}

B

Ωj

ТЕОРЕМА 2 Если события совместны, то вероят-

ность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A*B) .

Сумма событий генерируется объединённым множеством потустороннего мира: Ωi υ Ωj . Пересечение множеств одновременно принад- лежит и множеству Ωi и множеству Ωj.

Чтобы исключить двойной счёт, следует скор- ректировать сумму вероятностей на вероят- ность случайных событий, генерируемых пере- сечением множеств Ωi ∩ Ωj.

Следовательно:

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A*B) .

Теория

вероятностей

•Кортежи

•Комбинаторика

•Случайные события

•Статистическая и классическая вероятность

•Правило сложения вероятностей

•Правило умножения вероятностей

© KcH, 2011-2016

•Формула полной вероятности

•Теорема гипотез или формула Байеса

Произведением двух простых случайных событий называется такое сложное случайное событие, которое происходит, когда происходит и первое, и второе события вместе.

При совмещении случайных событий A и B сложное случайное событие:

C = A + B

формируют два пересекающихся прост- ранства (множества) «потустороннего» мира.

{ω1,ω2,ωm,…,ωm+1,…,ωn}

Ωi

{ω1,ω2,ωm,…,ωm+1,…,ωn}

B	Ωj

ТЕОРЕМА 3 При совмещении двух случайных событий

вероятность их произведения равняется произведению первого из событий на условную вероятность второго при условии, что произошло первое событие и наоборот: P(A*B) = P(A)*P(B|A) = P(B)*P(A|B) .

Пересекающиеся пространства потустороннего мира можно представить следующим образом:

Ωi	Ωi∩Ωj	Ωj
{………..{..….……}…….. }
A ~ m	A*B ~ l	k ~ B, где
|{Ωi∩Ωj}|=l, а |{Ωi U Ωj}| = n.
Тогда P(A)=m/n;	P(A*B)=l/n;	P(B|A)=l/m.

P(A)*P(B|A)= mn * ml nl =P(A*B). Что и требовалось доказать.

{ω1,ω2,ωm,…,ωm+1,…,ωn}

Ωi

{ω1,ω2,ωm,…,ωm+1,…,ωn}

B	Ωj

ТЕОРЕМА 4 Для любых независимых совместных или

несовместных случайных событий вероятность их произведения равняется произведению вероятностей этих событий: P(A*B) = P(A)*P(B).