- •Содержание
- •Введение
- •Лабораторная работа №1 Моделирование случайных величин с равномерным, нормальным и экспоненциальным законами распределения
- •Цель работы
- •Теоретическая часть
- •1.2.1 Краткие сведения из теории вероятностей и математической статистики
- •Алгоритм формирования случайной величины X, равномерно распределённой в диапазоне [a;b]
- •1.2.3 Алгоритм формирования случайной величины Yс нормальным законом распределения
- •1.2.4 Алгоритм формирования случайной величины с экспоненциальным законом распределения
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Порядок выподлнения работы
- •Контрольные вопросы
- •4.3 Порядок выполнеиня работы
- •Кривоносов Владимир Алксеевич
Алгоритм формирования случайной величины X, равномерно распределённой в диапазоне [a;b]
Рассматриваемый алгоритм генерирует дискретную случайную величину X, но шаг дискретности ∆Xможет быть настолько малым, что для практических задач моделированияXможет имитировать непрерывную случайную величину.
Вначале генерируется значение целой случайной величины R, равномерно распределённой в диапазоне [0;N–1].
В библиотеке функций языка программирования Cэто реализуется следующим образом:
R=random(N).
Значение Nнеобходимо выбирать достаточно большим (но не более допустимого максимального значения для заданного типа данных, например для целых беззнаковых 32767). При этом шаг дискретности ∆Xгенерируемой случайной величины будет равен
.
Случайная величина X, равномерно распределённая в диапазоне [a;b], вычисляется по формуле
,
где Z– переменная вещественного типа.
.
1.2.3 Алгоритм формирования случайной величины Yс нормальным законом распределения
Пусть при помощи алгоритма, описанного в п. 1.2.2. получено nнезависимых значений случайной величиныX, равномерно распределённых в диапазоне [–0.5; 0.5]. Обозначим их соответственноx1,x2,…xn. Тогда суммируя по 6 значенийxiполучим
,
где j=1,2,…m;k=6∙(j–1).
Случайная величина Xимеет нулевое среднее (M(x)=0), а дисперсия σ²x=1∕12. ВеличинаYраспределена по закону, близкому к нормальному с математическим ожиданиемM(y)=0 и дисперсией σ²x=0.5.
Напомним, что умножение Yна постоянный коэффициент C позволяет получить случайную величину, распределенную с дисперсией, равной 0.5∙C2, а прибавлением кYпостоянной величины можно получить необходимое математическое ожидание.
1.2.4 Алгоритм формирования случайной величины с экспоненциальным законом распределения
Как известно, случайная величина , распределенная по экспоненциальныму закону описывается следующей плотностью распределения:
На рис. 1.1 построены графики экспоненциальных плотностей распределения при различных значениях параметра .
Рис. 1.1 Экспоненциальная плотность вероятностей с разными значениями параметра
Экспоненциальному распределению, как правило, подчиняется случайный интервал времени между поступлениями заявок в систему массового обслуживания. Поэтому весьма важно уметь моделировать потоки заявок разной интенсивности .
Математическое ожидание экспоненциально распределенной случайной величины равно:
Чтобы найти алгоритм имитации экспоненциально распределенных чисел , пойдем от обратного. Приравняем равномерно распределенную на отрезке [0,1] величину R к интегралу от плотности распределения:
Взяв данный интеграл, получим:
откуда
но, поскольку случайная величина распределена точно так же, как , и находится в том же интервале , то предыдущую формулу можно заменить на более удобную:
что дает искомый ответ.