3. Порядок выполнения работы

   1. Написать, отладить программу и выполнить генерацию nзначений случайной величиныX, распределённой равномерно в диапазоне [a;b]. Значенияn,a,bзадаются преподавателем. Вычислить статистические оценки математического ожиданияи дисперсии .

   2. Построить гистограмму относительных частот случайной величины X. Для этого диапазон [a;b] разбить на 10 равных интервалов и подсчитать количество значений случайной величиныX, попавших в каждый из интервалов.

   3. Написать программу и получить nзначений случайной величиныYраспределенной по нормальному закону. Величинаn, а такжеM(y), σ²_yзадаются преподавателем.

   4. Построить гистограмму относительных частот случайной величины Y. При этом диапазон значенийYтакже разбивается на 10 равных интервалов. Получить статистические оценки математического ожиданияи дисперсии величины Y.

   5. Написать, отладить программу и выполнить генерацию nзначений случайной величины, распределённой по экспоненциальному распределению с параметром. Значенияn,задаются преподавателем. Вычислить статистические оценки математического ожиданияи дисперсии .

   6. Построить гистограмму относительных частот случайной величины распределённой по экспоненциальному распределению с параметром. При этом диапазон значенийтакже разбивается на 10 равных интервалов.

4. Контрольные вопросы

1.4.1 Что характеризуют математическое ожидание и дисперсия случайной величины?

2. Какие случайные величины называют независимыми?

3. Как можно задать закон распределения случайной величины?

4. Чему равна дисперсия случайной величины Yравной среднемуkзначений случайной величиныX, дисперсия которой равна σ²_x?

5. Содержание отчёта по лабораторной работе

   1. Тексты программ

   2. Гистограммы относительных частот величин

   3. Статистические оценки математических ожиданий и дисперсий.

Лабораторная работа №2 Параметрическая идентификация статических объектов при помощи метода наименьших квадратов

1. Цель работы

Освоение методики параметрической идентификация статических объектов с использованием метода наименьших квадратов. Исследование статистических свойств оценок идентифицируемых параметров.

2. Теоретическая часть

Под идентификацией объекта понимается построение его математической модели в результате обработки экспериментальных данных, полученных при функционировании объекта. Различают идентификацию в широком смысле слова и идентификацию в узком смысле (оценивание параметров). Под идентификацией в широком смысле понимается построение структуры модели и определение её параметров в результате статистической обработки экспериментальных данных. При идентификации в узком смысле структура модели (т.е. вид математической зависимости вход-выход) известна априорно, а в результате обработки экспериментальных данных необходимо только оценить неизвестные параметры (коэффициенты, постоянные времени и т.п.) этой зависимости. В дальнейшем, говоря об идентификации, будем иметь ввиду оценивание параметров.

Пусть математическая модель представляет собой следующее соотношение

,

где y– выход модели (скаляр);A– вектор неизвестных параметров модели;X– вектор входных сигналов.

Например

,

Здесь

,

Проведено Nэкспериментов, в каждом их которых измерялись сигналыX,y. Результаты измерения дляi-го эксперимента обозначимX(i),y(i). Имея значения входных сигналовX(i) и задаваясь векторомAпараметров объекта, можно рассчитать модельное значение выходаy_M(i) для данныхi-го эксперимента. В общем случаеy_M(i)≠y(i), так как модель всегда лишь приближённо отражает свойства реального объекта. Кроме того, отклонение модельного значения выхода от экспериментального может быть вызвано неправильным выборомA.

В процессе идентификации объекта вектор Aстремятся выбрать так, чтобы последовательностьy_M(i) была как можно ближе кy(i). В качестве меры близости (критерия идентификации) чаще всего выбирают функционалF, представляющий собой сумму квадратов разностей (невязок) между модельными и наблюдаемыми значениями выхода по всем экспериментам.

При этом в качестве оценки неизвестных параметров Aобъекта целесообразно выбирать значение, минимизирующееF

.

Полученная таким образом оценка называется оценкой метода наименьших квадратов (МНК–оценкой).

Как известно, необходимым условием минимума функционала Fявляется равенство нулю его частных производных по каждой из составляющих

.

Если модель линейна по параметрам (т.е. если неизвестные коэффициенты входят линейно в функцию f), то последнее уравнение является также линейным относительноA, и имеет единственное решение, если число независимых экспериментовNбольше числа оцениваемых параметров (размерностиA). При решении задачи идентификацииNна практике должно превышать размерностьAв десятки раз.

Проиллюстрируем получение МНК–оценок примером. Пусть y=f(A,X)=a₀+a₁∙x₁+a₂∙x₂+a₃∙x₁∙x₂. Заметим, что модель является нелинейной относительно сигналовX, но линейной по параметрамA. Тогда функция невязок (критерий идентификации) будет выглядеть следующим образом

.

Неизвестные параметры модели находим из условий

.

Последняя система уравнений может быть записана в следующем виде

.

Или, учитывая, что сокращение на –2 и деление на Nне сказывается на равенстве нулю, получаем

Имеем систему четырёх линейных уравнений (относительно A) с четырьмя неизвестными. Решением системы и является МНК–оценка.

Заметим, что МНК–оценки, как и любые статистические оценки, являются случайными величинами. Случайный характер оценок обусловлен наличием погрешностей измерения, неконтролируемых возмущений, случайными изменениями параметров и т.п. Желательными свойствами оценок являются:

1. Несмещённость, которая состоит в том, что математическое ожидание оценки совпадает с истинным значением при любых объёмах Nэкспериментальных данных т.е.

2. Состоятельность т.е. сходимость по вероятности оценок Aк истинным значениям параметров

,

где P– обозначение вероятности; ε – бесконечно малая положительная величина.

3. Эффективность. Эффективной называется оценка, имеющая наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещённых оценок.

Во многих рассмотренных на практике задачах идентификации МНК–оценки являются несмещёнными, состоятельными и эффективными. Поэтому МНК является одним из наиболее используемых методов оценивания.