10.74 ,,. 10.75,,.

10.76 ,. 10.77,.

10.78 Найти моменты инерции следующих однородных плоских фигур (плотность ):

а) прямоугольника со сторонами иотносительно стороны;

б) круга радиуса относительно касательной;

в) треугольника, ограниченного прямыми ,,относительно оси;

г) фигуры, ограниченной эллипсом относительно оси.

10.79 На пластинке, лежащей в плоскости и занимающей область, распределён электрический заряд с поверхностной плотностью. Найти полный заряд пластинки, если:

а) ,,,;

б) ,,,.

10.80 Распределение давления тела на площадку смятия даётся формулой . Определить среднее давление тела на эту площадку.

§3. Тройной интеграл.

Пусть функция непрерывна в ограниченной замкнутой пространственной области. Если областьимеет вид, где функции,- непрерывны и заданы одним аналитическим выражением на отрезке, функции,- непрерывны и заданы одним аналитическим выражением в области, являющейся проекцией областина плоскость, то выражениеназываетсяповторным интегралом от функции по области . Аналогично вводятся другие повторные интегралы.

В повторных интегралах от функции последовательно вычисляются простые (однократные) интегралы, причём интегрирование производится по внутренней переменной, а внешние переменные считаются постоянными. В результате последовательных интегрирований получим число.

В задачах 10.81-10.88 вычислить повторные интегралы:

10.81 . 10.82.

10.83 . 10.84.

10.85 . 10.86.

10.87. 10.88.

Тройным интегралом от непрерывной функции по ограниченной замкнутой пространственной областиназывается число, где,,и суммирование ведётся по тем значениям,и, для которых.

Замкнутую область , где функции,- непрерывны и заданы одним аналитическим выражением в области, являющейся проекцией областина плоскость, будем называтьэлементарной в направлении оси и обозначать. Аналогично вводятся элементарные области в направлении других координатных осей.

Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению одного двойного интеграла и одного простого (однократного) или к вычислению трёх простых интегралов.

Тройной интеграл по области вычисляется по формуле

.

Если область - элементарная в направлении оси, т.е. имеет вид, где функции,- непрерывны и заданы одним аналитическим выражением на отрезке, то применяют формулу

.

Если область - элементарная в направлении оси, т.е. имеет вид, где функции,- непрерывны и заданы одним аналитическим выражением на отрезке, то применяют формулу

.

Если не является элементарной, то её представляют в виде объединения непересекающихся (без общих внутренних точек) областей, каждая из которых является элементарной в направлении той или другой координатной оси. Разбиение зависит от желаемого порядка расстановки пределов интегрирования. Тогда в силу аддитивности тройного интеграла.

В задачах 10.89-10.94 вычислить тройные интегралы по областям , ограниченными указанными поверхностями:

10.89 ,.,,,.

10.90,.,,,.

10.91,.,.

10.92 ,.

10.93,,,,.

10.94 ,,,,.

При переходе в тройном интеграле от прямоугольных координат к цилиндрическим координатам ,связанным с прямоугольными координатами соотношениями ,,,имеет место формула

,

где -область интегрирования в пространстве переменных,и.

Если область имеет вид, то применяют формулу

.

При переходе в тройном интеграле от прямоугольных координат к сферическим координатам (-долгота, -широта) связанным с прямоугольными координатами соотношениями ,,,имеет место формула

,

где -область интегрирования в пространстве переменных,и.

Если область имеет вид, то применяют формулу , где.

В задачах 10.95-10.98 в тройном интеграле перейти к цилиндрическим координатам, и расставить пределы интегрирования: