§5. Несобственные кратные интегралы.

Если функция непрерывна в неограниченной области, то по определению полагают, где- ограниченная замкнутая область, которая целиком лежит в областии стремится кпроизвольным образом. Если предел в правой части существует и не зависит от выбора области, то соответствующий несобственный интеграл по бесконечной области называетсясходящимся, в противном случае расходящимся. Предел в правой части не зависит от выбора , еслив области.

Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой областивсюду, за исключением точки, то по определению полагают, где- область, получаемая изпутём удаления малой области диаметра, содержащей точку. Если предел в правой части существует и не зависит от вида удаляемых измалых областей, то соответствующий несобственный интеграл от разрывной функции называетсясходящимся, в противном случае расходящимся. Предел в правой части не зависит от вида удаляемых из малых областей, еслив областии в этом случае, в качестве таких областей можно брать круги радиусас центром в точке.

Аналогично определяется несобственный интеграл, если функция в ограниченной замкнутой областиимеет линию разрыва. В этом случае- область, получаемая изпутём удаления полосы малой ширины, содержащей линию разрыва.

В задачах 10.143-10.154 вычислить несобственные интегралы по бесконечной области или установить их расходимость:

10.143 . 10.144.

10.145 . 10.146.

10.147 . 10.148.

10.149 . 10.150.

10.151 . 10.152.

10.153 . 10.154.

В задачах 10.155-10.160 вычислить несобственные интегралы от разрывных функций или установить их расходимость:

10.155 . 10.156.

10.157 . 10.158.

10.159 . 10.160.

ГЛАВА 11. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ

ИНТЕГРАЛЫ. ТЕОРИЯ ПОЛЯ.

§1. Криволинейный интеграл первого рода и его приложения.

Если - функция, определённая и непрерывная в точках гладкой плоской кривой, заданной уравнением() и- дифференциал дуги, токриволинейный интеграл 1-го рода вычисляется по формуле . В случае параметрического задания кривой:,() имеет место формула. Если плоская криваязадана уравнением() в полярных координатах, то.

Если - функция, определённая и непрерывная в точках гладкой пространственной кривой:,,() и- дифференциал дуги, токриволинейный интеграл 1-го рода вычисляется по формуле

.

Особенность криволинейного интеграла 1-го рода состоит в том, что он не зависит от направления пути интегрирования.

Длина дуги кривой вычисляется по формуле.Масса дуги кривой с плотностьювычисляется по формуле.

Если - дуга плоской кривой с плотностью, то её статические моментыи, моменты инерциииотносительно осейи, координатыицентра массвычисляются

по формулам:

250