Раздел «Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной»

Полином Тейлора. Многочлен вида:

называется полиномом Тейлора функции f(х) в точке х₀.

Возрастающая и убывающая функция. Функция f(х) называется возрастающей (убывающей) в интервале (a,b), если для любых точек x₁, x₂ из (a, b), из неравенства вытекает неравенство(соответственно). Если же для любых точекx₁, x₂ из (a, b), из неравенства вытекает неравенство(соответственно), то функцияf(х) называется неубывающей (невозрастающей) на интервале (a, b).

Точка максимума, минимума. Пусть f(х) дифференцируема на (a, b). Если при переходе через точку х₀ из (a,b), функция f(х) меняет возрастание на убывание (убывание на возрастание), то х₀ называется точкой максимума (минимума) функции f(х).

Выпуклость графика функции. Функция f(х) называется выпуклой вверх (вниз) на интервале (a,b), если для любых точек x₁, x₂ из (a, b), её график над интервалом (x₁, x₂) лежит выше (ниже) секущей – прямой, проходящей через точки (x₁, f(x₁)) и (x₂, f(x₂)).

Точка перегиба. Пусть f(х) дифференцируема на (a, b). Если при переходе через точку х₀ из (a,b), функция f(х) меняет направление выпуклости, то х₀ называется точкой перегиба функции f(х).

Асимптота. Прямая х = х₀ называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(х), если хотя бы один из односторонних пределов в точке х₀ равен +¥ или –¥. Прямая y = kх+b называется наклонной асимптотой графика y = f(х) при x→±, если

(f(х) - (kх+b)) = 0.

Теорема 1. Если функция y = f(х), дифференцируемая в интервале (a,b), неубывающей (невозрастающей) на нем, то ее производная в этом интервале не отрицательна (не положительна), т.е. ().

Теорема 2. Если функция y = f(х), дифференцируемая в интервале (a, b), удовлетворяет в нем условию (), то эта функция возрастает (убывает) в интервале (a, b).

Теорема 3. (необходимое условие существования экстремума) Если функция y = f(х), дифференцируемая в интервале (a, b), имеет в точке ,, экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю:.

Теорема 4. (достаточное условие существования экстремума) Если производная функции y = f(х) обращается в точке в нуль (-стационарная точка) и при переходе через эту точку в направлении возрастанияменяет знак плюс (минус) на минус (плюс), то в точке эта функция имеет максимум (минимум). Если же при переходе через точкупроизводная функцииy = f(х) не меняет знака, то в этой точке функция y = f(х) экстремум не имеет.

Теорема 5. Если вторая производная функцииy = f(х) положительна (отрицательна) в интервале (a, b), то график этой функции является выпуклым вниз (вверх) в интервале (a, b). Теорема 6. Если вторая производная функцииy = f(х) обращается в точке в нуль и при переходе через эту точку в направлении возрастанияменяет знак, то точка (x₀, f(x₀)) графика данной функции является точкой перегиба.

Теорема 7. (правило Лопиталя) Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует, т.е. .

Первообразная. Функция F(x) называется первообразной для данной функции f(х) на данном промежутке, если на этом промежутке .

Определенный интеграл. Выражение , где- первообразнаяфункции f(х) и обозначается символом , причемf(х) называется подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением,- переменной интегрирования, знак- знаком интеграла. Таким образом, по определению,=, если.

Свойства неопределенного интеграла.

1. или;

2. или;

3. ;

4. =+.

Основные методы интегрирования.

Метод непосредственного интегрирования – это метод нахождения неопределенного интеграла на основе свойств и таблицы основных интегралов.

Замена переменной интегрирования производится по следующей формуле:

= , гдеи функцияимеет непрерывную производную.

Метод внесения под знак дифференциала работает по формуле: == =.

Метод интегрирования по частям работает по формуле: ,и- дифференцируемые функции.

Определенный интеграл. Если существует предел , не зависящий от способа разбиения отрезкаи выбора точек, то этот предел будем называть определенным интегралом функцииf(х) на сегменте и обозначать символом=.

Свойства определенного интеграла.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. , где.

Свойства Ньютона – Лейбница. Если функция f(х) непрерывна на сегменте и - первообразнаяфункции f(х) на этом отрезке, то = -.

Основные методы интегрирования определенного интеграла:

Метод непосредственного интегрирования – это метод нахождения определенного интеграла на основе свойств, таблицы основных интегралов, формулы Ньютона-Лейбница.

Замена переменной интегрирования производится по следующей формуле:

= , гдеи функцияимеет непрерывную производную,.

Метод внесения под знак дифференциала работает по формуле:

= =.

Метод интегрирования по частям работает по формуле: ,и- дифференцируемые функции на сегменте .

Геометрические приложения определенного интеграла.

Площадь криволинейной трапеции. Пусть функция f(х) непрерывна на сегменте , то площадькриволинейной трапеции, ограниченной линиямиy = f(х), y = 0, х = а, х= , равна интегралу =.Пусть функции f₁(х), f₂(х) непрерывны на сегменте , то площадькриволинейной трапеции, ограниченной линиямиy = f₁(х), y = f₂(х), х = а, х= , равна интегралу =.

Площадь в полярных координатах. Пусть требуется определить площадь сектора, ограниченного лучами и кривой, где- непрерывна на сегменте, тогда

= .

Длина дуги кривой. Пусть функция f(х) непрерывна на сегменте , то длина дуги кривойзаданной функциейy = f(х) и ограниченной х = а, х= , равна .