Раздел «Гармонический анализ»

Гармонические колебания. Гармонические колебания характеризуются изменением колеблющейся величиныво временипо закону, где- амплитуда гармонических колебаний,- угловая частота,- начальная фаза колебаний.

Тригонометрический ряд.Тригонометрическим рядом называют функциональный ряд вида

, где(- постоянные числа, называемые коэффициентами тригонометрического ряда.

Разложение функций в тригонометрический ряд.Пусть периодическая функцияс периодомявляется суммой тригонометрического ряда, в таком случае говорят, что функцияразлагается в тригонометрический ряд, причем коэффициенты на, найдем:

;;.

Раздел «Дифференциальные уравнения»

Дифференциальное уравнение.Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменнуюхискомую функциюи ее производные.

Порядок дифференциального уравнения.Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Решение дифференциального уравнения.Всякая функция, подставленная в уравнениеи обращающая его в верное равенство, называется решением этого уравнения.

Дифференциальное уравнение первого порядка.Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее независимую переменнуюхискомую функциюи ее производную первого порядка.

Общее решение дифференциального уравнения первого порядка.Решение уравнения, содержащее произвольную постояннуюс и имеющее видназывается общим решением уравнения.

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными первого порядка.Дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными называется уравнение вида.

Дифференциальное уравнение с разделенными переменными первого порядка.Дифференциальным уравнением первого порядка с разделенными переменными называется уравнение вида.

Однородная функция.Функцияназывается однородной степени, если имеет место тождество.

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка.Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида, если функцииявляются однородными функциями одной и той же степени.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида, где- непрерывная функция на.

Уравнение Бернулли.Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением Бернулли, если оно имеет вид, где- непрерывная функция на.

Дифференциальное уравнение второго порядка.Дифференциальным уравнением второго порядка называется соотношение, связывающее независимую переменнуюхискомую функциюи ее производные первого и второго порядка.

Общее решение дифференциального уравнения второго порядка.Решение уравнения, содержащее произвольные постоянныеи имеющее видназывается общим решением уравнения.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида, где- непрерывные функции на.

Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида, где- постоянные действительные числа.

Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида, где- постоянные действительные числа,- непрерывная функция на.

Теорема 1.Если- линейные независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, где- непрерывные функции на, то общее решение этого уравнения имеет вид, где- постоянные.

Теорема 2.Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, где- непрерывные функции на, то общее решение этого уравнения равно сумме общего решения соответствующего ему однородного уравнения и частного решения исходного уравнения, т.е. имеет вид, где- постоянные.