Раздел «Численные методы»

Абсолютная погрешность. Абсолютной погрешностьюприближенияназывается модуль разности, т.е.=.

Граница абсолютной погрешности. Границей абсолютной погрешности приближенияназывается такое положительное число, которое больше (или равно) абсолютной погрешности, т.е.=.

Относительная погрешность. Относительной погрешностьюприближенного числаназывается отношение абсолютной погрешности этого числа к модулю точного значенияданной величины, т.е..

Граница относительной погрешности. Границей относительной погрешности приближенияназывается такое положительное число, которое больше (или равно) относительной погрешности, т.е..

Приближенное числовое значение функции. Приближенное числовое значение функции можно найти с помощью дифференциала по формуле.

Приближенное вычисление определенного интеграла. Приближенное вычисление определенного интеграла от функциинаи, при разбиении отрезка наnравных интервалов, длина интервала, значения функции:,, … ,, тогда по формуле прямоугольников:, а по формуле трапеций:.

Приближенное решение уравнения. Приближенным решением уравнения называется такое приближенное значение корня, что образованная последовательность приближенных корней стремится к точному значению корня.

Метод хорд нахождения корней уравнения .Пусть на отрезке и (и), тогда первое приближениенайдем по формуле, если и , то второе приближениеи далее последовательностьстремится к корню при заданной точности вычисления.

Метод касательных (метод Ньютона) нахождения корней уравнения .Пусть на отрезке и (и), тогда найдем на этом отрезке точкутакую, что и - одного знака, тогда первое приближениенайдем по формуле, и т. д. последовательностьстремится к корню при заданной точности вычисления.

Интерполяционный многочлен Лагранжа. Пусть дана таблица, где, требуется составить функцию-многочлен степеникоторая принимала бы заданные значенияпри соответствующих, т.е., т.е. график этого многочлена проходит через точки. Обозначим черезвспомогательный многочлен. Тогда++…+

- интерполяционный многочлен Лагранжа.

Раздел «Ряды»

Числовой ряд. Числовым рядом называется выражение

Число называется общим членом ряда (.

Частичная сумма ряда. Сумма первых n членов числового ряда - s_n = называется частичной суммой ряда.

Сходимость числового ряда. Если существует предел последовательности частичных сумм s_n = s, то числовой ряд называется сходящимся, а число s называется суммой ряда Еслиs_n не существует или равен , то ряд называется расходящимся.

Знакочередующийся ряд. Знакочередующимся рядом называется ряд вида:

где .

Абсолютная сходимость ряда. Ряд называетсяабсолютно сходящимся, если сходится ряд . Рядназываетсяусловно сходящимся, если сам он сходится, а ряд - расходится.

Степенной ряд. Степенным рядом называется ряд вида

где a_n Î R называются коэффициентами ряда, x Î R.

Радиус сходимости . Радиусом сходимости степенного ряданазывается числоR³0 обладающее свойствами:

1) на интервале (-R,R) ряд сходится,

2) если |x| > R, то ряд расходится.

Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости (не исключается случай R = +¥).

Разложение функции в ряд. Функция f(x) раскладывается в степенной ряд на интервале (x₀ - R, x₀ + R), если существует степенной ряд сходящийся кf(x) на этом интервале, т.е. если

Ряд Тейлора. Степенной рядназывается рядом Тейлора функцииf(x) в точке x₀, f⁽ⁿ⁾(x₀) – значение производной n - порядка в точке x₀.

Теорема 1 (признак сравнения рядов). Пусть даны два поло-жительных числовых ряда и, если члены рядане превосходят соответствующих членов ряда, т.е., то из сходимости рядаследует сходимость ряда, а из расходимости рядаследует расходимость ряда.

Теорема 2. Положительный числовой ряд, члены которого, сходится тогда и только тогда, когда, в противном случае ряд расходится.

Теорема 3 (признак Даламбера). Если члены положительного числового ряда таковы, что существует предел, то приряд сходится, приряд расходится, при- ряд может, как сходиться, так и расходиться.

Теорема 4 (признак Коши). Если члены положительного числового ряда таковы, что существует предел, то приряд сходится, приряд расходится, при- ряд может, как сходиться, так и расходиться.

Теорема 5 (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда по абсолютной величине монотонно убывают,и общий член ряда стремится к нулю, то ряд сходится.

Теорема 6. Пусть для степенного ряда существует и отличен от нуля предел или, тогда радиус сходимости степенного рядачислоR=.