Раздел «Дифференциальное и интегральное исчисление функции многих переменных»

Частная производная. Частной производной функции нескольких переменных f(x₁,x₂, …,x_n) по какой-нибудь переменнойназывается обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными). Например, частная производная функции по переменнойx₁имеет вид:

Аналогично определяются частные производные по другим переменным – нужно зафиксировать все переменные, кроме той, по которой находится частная производная. Частные производные обозначаются так: или.

Дифференцируемая функция. Функцияf(x₁,x₂, …,x_n) называется дифференцируемой в точкеМ₀ÎU, если для любогоМ ÎUприращение функции можно представить в виде:

f(М) -f(М₀) =A₁(x₁-x₁₀) + … +A_n(x_n-x_n0) +o(||М-М₀||) или

f(М) -f(М₀) = +o(||М-М₀||).

Дифференциал функции. Если функцияf(x₁,x₂, …,x_n) дифференцируема в точке

М₀ÎU, то линейная функция в условии дифференцируемости называется дифференциалом функции

f(x₁,x₂, …,x_n) в точкеМ₀ÎUв точкеМ₀и обозначаетсяdf(М₀), где .

Локальный максимум и минимум. Функцияf(x₁,x₂, …,x_n) имеет в точкеМ₀локальный максимум, если существует окрестностьV(М₀) точкиМ₀, что

f(М)£f(М₀)"МÎV(М₀).

Если "МÎV(М₀),МиМ₀различны, то выполняется неравенствоf(x) <f(x₀), тоf(x₁,x₂, …,x_n) имеет в точкеМ₀строгий локальный максимум. Аналогично определяется локальный минимум и строгий локальный минимум. Точки локального максимума и локального минимума называются точками локального экстремума.

Частная производная второго порядка. Частной производной второго порядка функции нескольких переменных f(x₁,x₂, …,x_n) по какой-нибудь переменнойназывается производная от частной производнойпо этой же переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными), если переменные при нахождении частной производной второго порядка различны, то частная производная называется смешанной и обозначается.

Теорема 1 (необходимые условия существования экстремума).

Если функция имеет в точкеэкстремум и в этой точке существуют частные производныеи, то,.

Теорема 2 (достаточные условия существования экстремума).

Пусть функция , непрерывная вместе со своими частными производными первого и второго порядков в некоторой окрестности точки, удовлетворяет условиям,. Обозначим,,,. Тогда: если, то в точкефункцияимеет экстремум, а именно максимум прии минимум при; если же, то в точкефункцияне имеет экстремума.