8.Вероятность произведения событий

Р/м 2 события:А и В.Пусть Р(А) и Р(В) извсетны.Как найти вероятность совмещения этих событий,т.е вероятность того,что появится и событие А и событие В

Т-ма.Вероятность совместного появления двух событий равна произведению

вероятности одного из них на условную вероятность другого,вычисленную в предположении,что первое событие уже наступило:

Р(АВ)=Р(А)Р(В)

Док-во.

По определению условной вероятности Р(В)=Р(АВ)/Р(А)

отсюда Р(АВ)=Р(А)Р(В)(*)

Применив формулу Р(В)=Р(АВ)/Р(А) к событию ВА,получим Р(ВА)=Р(В)Р(А)

поскольку событие ВА не отличается от события АВ

Р(АВ)=Р(В)Р(А)(**)

Справедливость равенства выходит Р(А)Р(В)=Р(В)Р(А)

9.Сумма вероятностей совместных событий

Два события совместны,если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.Пример:А-повяление 4 очков при бросании игральной кости,В-появление четного числа очков.События А и В-совместные.

Т-ма.Вероятность появления хотя бы 1го из 2 совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

10.Формулы полной вероятности и Бейеса.

Если событие А может произойти только при выполнении одного из несовместных событий B1, B2,..., Bn, которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле:

P(A)=P(B1)P(A/B1)+P(B2)(A/B2)+…+P(Bn)P(A/Bn).

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий B1, B2,..., Bn, вероятности появления которых P(B1), P( B2),..., P(Bn). Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий B1, B2,..., Bn, которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности: (A)=P(B1)P(A/B1)+P(B2)(A/B2)+…+P(Bn)P(A/Bn).

Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез P(B1), P( B2),..., P(Bn).

По теореме умножения вероятностей P(AB1)=P(B1)P(A/B1)=P(A)P(B/A), откуда P(B1/A)=(P(B1)P(A/B1)) / P(A).

Аналогично, для остальных гипотез: P(Bi/A)=(P(Bi)P(A/Bi)) / P(A), i=1,…,n.

Полученная формула называется формулой Байеса (формулой Бейеса). Вероятности гипотез P(Bi/A) называются апостериорными вероятностями, тогда как P(Bi) - априорными вероятностями.

11.Повторение испытаний,формула Бернулли.

Вероятность одного сложного события,состоящего в том,что в n испытаниях событие А наступит k раз и не наступит k-n раз,по теореме умножения вероятностей независимых событий равна p в степени k*q в степени n-k.Событий может быть столько,сколько возможно составить сочетаний из n элементов по k элементам.С k/n.Т.к эти сложные события несовместны,то по т. сложения вероятностей нес. событий искомая вероятность=сумме вероятностей всех возможных сложных событий.Т.к вероятности всех сложных событий одинаковы,то искомая вероятность=вероятности одного сложного событий,умноженной на число:

Pn(k)=C n/k * p^k * q^n-k

Pn(k)= n!/k!(n-k)!*p^k*q^n-k

12. Предельные формулы Пуассона и Муавра-Лапласа.

Формула Бернуллиудобна для вычислений лишь при сравнительно небольшом числе испытаний. При больших значенияхпользоваться этой формулой неудобно. Чаще всего в этих случаях используют формулу Пуассона. Эта формула определяется теоремой Пуассона.

Теорема.Если вероятностьнаступления событияв каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытанийдостаточно велико, то вероятность наступления событияровнораз приближенно равна

формулу Пуассона:

Эта формула дает удовлетворительное приближение для p?0,1 и np?10. При больших np рекомендуется применять формулы Лапласа (Муавра-Лапласа). Cобытия, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность их осуществления очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).

Локальная теорема Лапласа.

Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то

где- функция Гаусса (функция табулирована, таблицу можно скачать на страницеформул по теории вероятностей).

Интегральная теорема Лапласа.

Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то

P(n; k1, k2)где- функция Лапласа (функция табулирована, таблицу можно скачать на страницеформул по теории вероятностей).

Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые необходимо знать при использовании таблиц значений этих функций:

а)

б) при больших верно.

Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при . Причем чем ближе значенияк 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность (по сравнению с исходной формулой Бернулли).