УЧЕБНИКИ 3 Экономика / Управленческие решения / Степанов А.Г. Разработка управленческого решения средствами пакета Excel. 2001

3.8. Многокритериальные задачи разработки управленческого решения

Многокритериальная задача разработки управленческого решения возникает в том случае, когда результат ее решения должен удовлетворять нескольким противоречивым требованиям. В этом случае эффективность решения оценивается совокупностью неких локальных критериев e1, e2,…, ek, которые могут различаться своими коэффициентами относительной важности λ 1, λ 2,…, λ k. Тогда говорят, что локальные критерии образуют вектор критериев E = ( e1, e2,…, ek), а коэффициенты вектора важности – вектор Λ= ( λ 1, λ 2,…, λ k) Для решения многокритериальной задачи необходимо найти такое значение вектора управления X , которое обеспечит оптимальное значение вектора критериев

E = E( X ) = opt [E( X ), Λ].

При решении многокритериальных задач главной проблемой оказывается выбор принципа оптимальности. Обычно он строится на основе различных способов компромисса между составляющими вектора критериев. Подобный компромисс можно отыскать только в том случае, когда возникает противоречие между локальными критериями, т. е. когда при изменении решения показатели по одному критерию улучшаются, а по всем другим ухудшаются. Если изменение решения приводит к улучшению показателей по различным критериям, то имеет место ситуация согласия, которая не представляет интереса для решения задачи оптимизации. Определение области компромисса, т. е. области допустимых значений решения X, для которой имеют место противоречия между составляющими векторного критерия эффективности, само по себе уже представляет достаточно важную задачу, поскольку ее решение существенно уменьшает количество альтернатив. Дальнейший поиск оптимального решения заключается в выборе схемы компромисса, которая соответствует отысканию некой скалярной функции ϕ от вектора критериев E(X), обеспечивающей

opt [E( X , Λ)] =max ϕ (E( X )).

При решении практических задач составляющие вектора критериев должны быть приведены к единой размерности или нормализованы. Кроме этого, локальные критерии могут иметь различную степень важности, в связи с чем при выборе оптимального решения это обстоятельство также приходится принимать во внимание. В целом при выборе

101

Рис. 3.10. Иллюстрация метода решения многокритериальной задачи

схемы компромисса приходится решать сложные концептуальные проблемы, что обычно приходится делать с помощью эвристических процедур.

	e2			На рис. 3.10 рассмотрена графи-
		B		ческая иллюстрация метода решения
e2max
			E	двухкритериальной задачи. По осям
∆ e2 A
				координат отложены значения ло-

Cкальных критериев e1 и e2 достигаемых при различных допустимых зна-

eчениях решения X. Кривая ABCD

1очерчивает область допустимых зна-

∆e1 D e1max чений критериальных функций e1 и e2

и фактически определяет область согласия. Основной интерес для менеджера представляет участок кривой BC, точки которой находятся в обла-

сти компромисса (в точке B имеется максимум по критерию e2, а в точке C – по критерию e1. Решением оптимальной двухкритериальной задачи разработки управленческого решения является такое значение вектора управления X , которое обеспечивает положение решения на кривой BC, удовлетворяющее некоторому принципу компромисса, определяющему правило уступки по каждому из критериев. Так, например, точка E и соответствующее ей решение двухкритериальной задачи выбрана в области компромисса (на кривой BC) как удовлетворяющее требованию одинаковой абсолютной уступки по критериям e1 и e2 (∆ e1 = ∆ e2).

В литературе [4, 5] описано несколько распространенных способов выбора компромисса. Наиболее простым является способ скаляризации векторного критерия. В этом случае

		= max(E( X )) = max ∑k	ei [ X ]λ i
	E
		i=1

и задача разработки управленческого решения из многокритериальной превращается в однокритериальную. Значения весовых коэффициентов λ i могут быть получены экспертным путем и задаются в абсолютном или относительном виде. В последнем случае

∑k	λ i= 1.
i=1

102

Если скаляризация векторного критерия не представляется возможной, то можно воспользоваться методом, основанным на принципе равенства. В этом случае

E= opt(E( X )) = E [e1 = e2 = e3 =,..., = ek ],

т.е. наилучшим считается такое решение, при котором достигается равенство локальных критериев. При практической реализации этот метод может оказаться неудобным, поскольку он может выводить решение из области компромисса. Вариантом этого метода является принцип квазиравенства, при реализации которого добиваются не точного

равенства, а обеспечения разности между величинами локальных критериев, не превышающей некоторой заданной величины δ. Тогда

E = opt(E( X )) = E{| eq − ev |<= δ}, q, v = 1, 2,..., k.

Еще одним вариантом решения задачи оптимизации является принцип максимина. В этом случае задача оптимизации решается для каждого из локальных критериев, после чего отыскивается такое значение вектора управления в области компромисса, которое обеспечивает максимум наименьшего значения локального критерия

E = opt(E( X )) = max min{ei }, 1 <= i <= k.

Принцип справедливой уступки предлагает компромисс, при котором суммарный абсолютный или относительный уровень снижения одного или нескольких критериев не превосходит суммарного абсолютного или относительного уровня повышения других критериев. Можно сказать [4], что принцип абсолютной уступки соответствует критерию

E = max{∑k ei },

i=1

аотносительной уступки – критерию

E = max{∏k eq}.

q=1

Принцип выделения главного критерия заключается в том, что среди локальных критериев выделяется один главный, проводится оптимизация по этому критерию, а затем обеспечивается требование, чтобы величины других критериев не были бы меньше некоторых заданных 103

величин. Вариантом этого метода является принцип последовательной уступки, при котором показатели эффективности ранжируются в порядке убывания важности. Далее находят решение, обращающее в максимум главный показатель эффективности e1. После этого назначается некоторая уступка ∆ e1, которая позволяет максимизировать значение показателя e2. Далее снова назначается уступка ∆ e2 и максимизируется значение показателя e3 и т.д. Полученное в итоге оптимальное в рамках выбранной схемы компромисса решение обеспечивает значение показателя эффективности в пределах величин заданных уступок.

В целом процедура решения многокритериальной задачи разбивается на два этапа: собственно оптимизацию в соответствии с одним из ранее рассмотренных методов по каждому из критериев и выбор схемы компромисса между локальными критериями.

Вернемся к рассмотренной в выше распределительной задаче. Количество имеющихся ресурсов описывается набором значений b={30,52; 51,11; 31,23; 26,28; 39,40; 57,47; 53,61; 44,30; 84,54}, матрица коэффициентов aij имеет вид табл. 3.2, в которой столбцы имеют смысл вида соответствующей продукции, а строки – вида ресурса. Коэффициенты значимости каждого вида продукции cj имеют значения {9,20; 7,15; 6,01; 7,61} и совместно с переменными определяют критериальную функцию e1. Решением задачи является набор переменных X ={1,13; 0,00; 0,00; 3,10}, обеспечивающий оптимальное значение целевой функции округленно равное 33,97 при общем суммарном расходе ресурсов равном 185,59. Введем дополнительную критериальную функцию e2 как функцию, описывающую первую строку ограничений. Решение задачи, обеспечивающее максимум e2 = 18,87, есть набор переменных X ={0,00; 0,00; 2,88; 0,00}. При этом e1 =17,27. Если вторую строку ограничений рассматривать как критериальную функцию e3, то ее максимум 28,06 обеспечивает решение X={0,00; 0,00; 1,77; 2,06} при e1 =26,33 и e2 =17,03. Критерии e1, e2, e3 являются противоречивыми, так как улучшение по одному критерию сопровождается ухудшением по другому.

Решим многокритериальную задачу методом скаляризации. Пусть вектор важности Λ = ( λ 1, λ 2,…, λ k) имеет вид {0,5; 0,25; 0,25}. Тогда

решение задачи X при новой целевой функции

E = max ∑3 ei [ X ]λ i= 25,93

i=1

104

есть X = {1,13; 0,00; 0,00; 3,10}. Отметим, что оптимальное решение имеет место при e1 = 33,97, e2= 9,39, e3 = 26,37.

Теперь решим задачу методом квазиравенства. Зададим δ= 5,0. Добавим к общему списку ограничений еще три ограничения

abs(e1 − e2 ) ≤ δ, abs(e2 − e3 ) ≤ δ, abs(e1 − e3 ) ≤ δ,

где abs( x) – функция взятия модуля числа. Сначала отыщем решение при максимизации e1. Результат X={0,00; 1,99; 0,45; 0,63} при e1 =21,70, e2 =16,70, e3 =21,70. Теперь попытаемся максимизировать e2. Получается новый результат решения X={0,00; 1,19; 1,63; 0,00}, а e1 = 18,27, e2 = 17,91, e3 = 22,91. Наконец если максимизируется e3 , то решение полностью совпадает с предыдущим. В качестве оптимального решения мож-

но взять один из двух наборов переменных X = {0,00; 1,99; 0,45; 0,63} или X = {0,00; 1,19; 1,63; 0,00}, а выбор между ними сделать в зависимости от конкретного смысла задачи.

Попытка решить задачу методом точного равенства дает нулевые решения X и e1, e2, e3, что иллюстрирует основной недостаток этого метода.

Решим многокритериальную задачу оптимизации методом максимина. Решение по локальному критерию e1, e2, e3 уже неоднократно находилось ранее и имеет вид X ={1,13; 0,00; 0,00; 3,10}, обеспечивающий значение

целевой функции e1 округленно равное 33,97. При этомрешении e2 = 9,39,

e3 = 26,37. Максимизация локального критерия e2 дает решение X ={0,00; 0,00; 2,88; 0,00} и значения локальных критериев e1 = 17,27, e2 = 18,87, e3 = 25,74. Наконец, максимизация по локальному критерию e3 дает решение X = {0,00; 0,00; 1,77; 2,06} и значения локальных критериев e1 = 26,33, e2 = 17,03, e3 = 28,06. Во всех случаях минимальное значение имеет критерий e2, поэтому в качестве оптимального следует выбрать решение X = {0,00; 0,00; 2,88; 0,00}.

Решение задачи методом одинаковой абсолютной уступки осуществляется аналогично методу скаляризации при задании вектора важности Λ = ( λ 1, λ 2,…, λ k) вида {1; 1; 1} и дает решение X = {0,00; 0,00; 1,77; 2,06} при e1 = 26,33, e2 = 17,03, e3 = 28,06 и e1+e2+e3 = 71,42, что

105

совпадает с решением, полученным при максимизации локального критерия e3 в предыдущем примере. Аналогичный результат дает решение, полученное методом одинаковой относительной уступки, хотя сама целевая функция задачи в этом случае выходит из класса линейных.

Решим задачу методом последовательной уступки. Будем считать, что важность локальных критериев определяется их номером, т.е. самым важным считается критерий e1, потом e2 и, наконец, e3. Уже неоднократно найденный ранее максимум по локальному критерию e1 достигается при решении X ={1,13; 0,00; 0,00; 3,10}, обеспечивающем значение целевой функции e1 округленно равное 33,97. Предположим, что мы согласны поступиться 10 % от достигнутой величины локального критерия, что составляет в абсолютных величинах 3,40.

Введем новое ограничение вида e1 ≥ 30,57 и решим задачу отыскания максимума по локальному критерию e2. Решение имеет вид X = ={0,63; 0,00; 0,79; 2,64} при e1= 30,57 и e2= 12,79. Зададим возможную абсолютную уступку ∆ e2=1,28 и добавим в задачу ограничение вида e2 ≥ 11,51. Теперь для отыскания оптимального решения нам необходимо найти максимум по локальному критерию e3. Вычисления дают

X = {0,63; 0,00; 0,79; 2,64} при e1=30,57 , e2=12,79 и e3=27,12.

Подводя итог обзору методов решения многокритериальных задач, отметим, что многообразие различных форм записи критериальной функции и, как следствие, разнообразие получаемых результатов чрезвычайно наглядно демонстрирует важнейшую концептуальную проблему, стоящую перед менеджером, – проблему правильного формулирования достигаемой цели и выбора соответствующего этой цели критерия.

3.9. Рациональные задачи разработки управленческого решения

Рассмотренные выше методы отыскания оптимальных решений традиционно вызывали наибольший интерес исследователей, поскольку позволяли получить наилучшее из всех возможных решение и, как говорится, закрыть вопрос. К сожалению, существует много практических случаев, когда рассчитать или реализовать оптимальное решение становится принципиально невозможным. Рассмотрим некоторые причины, которые обуславливают возникновение таких ситуаций.

1. Физическая нереализуемость. Оптимальное решение может относиться к категории нереализуемых решений. Причина возникновения

106

подобной ситуации определяется недостаточно полным учетом ограничений ресурсов в математической модели. Так, например, решение статической задачи может не учитывать ограничения по имеющимся трудовым ресурсам в смысле их квалификации. В динамических задачах известны случаи, когда для расчета оптимального решения необходимо предварительно иметь бесконечную реализацию исходного процесса. Существование физически нереализуемых решений представляет определенный практический интерес как средство оценки потенциально достижимой ситуации (предельное значение критериального параметра).

2.Техническая нереализуемость. Реализация или даже расчет оптимального решения могут оказаться невозможными чисто по техническим причинам, определяемыми текущим состоянием имеющихся в распоряжении менеджера технических средств. Такая ситуация возникает в том случае, когда объем реальной задачи не соответствует техническим характеристикам вычислителя, вычислитель неисправен или отсутствует, произошел сбой вычислений, утрата данных, использование ошибочных данных и т.п. К этой же категории следует отнести ситуации, когда полученные результаты решения уже не представляют интереса для менеджера, поскольку они поступают после принятия решения.

3.Особенности множества альтернатив. В рассмотренных выше оптимальных задачах разработки управленческого решения множество альтернатив, как правило, представляло собой бесконечное количество вариантов решений, генерируемых аналитически. В дискретных задачах количество альтернатив может быть конечным, однако возможность их аналитической записи по-прежнему сохраняется. На практике менеджеру часто приходится иметь дело с некоторым конечным числом альтернатив, разработанных в виде конкретных вариантов и не имеющих аналитической записи. Имеющиеся в распоряжении менеджера альтернативы необязательно исчерпывают весь возможный список, поскольку некоторые из них могут быть еще не найдены (например, не придуман ход в шахматной партии) или они еще в принципе не существуют, но могут появиться в будущем или были когда-то в прошлом (например, вариант обмена квартиры). Оптимальные решения в таких случаях просто не существуют, поскольку никто не может гарантировать, что не будет придуман ход лучше или не появится новый вариант обмена.

4.Неметрические критерии. Во всех предыдущих рассуждениях под критерием понималась количественная оценка цели. На практике

107

возникают ситуации, когда критерий выражается только в качественной форме. Такие критерии принято называть неметрическими [28]. Сравнение альтернатив по неметрическому критерию невозможно выполнить автоматически, поэтому в качестве единственного средства разработки управленческого решения в этом случае начинают выступать экспертные процедуры.

Методика разработки управленческого решения в случае, когда оптимальное решение нереализуемо или вообще не существует, может существенно отличаться от методики поиска оптимальных решений. Тем не менее, невозможно отрицать то обстоятельство, что менеджер заинтересован в поиске наилучшего для данной ситуации решения. Будем называть такое решение рациональным (от латинского rationalis– разумный, целесообразный), т. е. обеспечивающим наилучшее удовлетворение критерия из имеющегося множества альтернатив. Разработка рациональных решений начинается с формулирования проблемы и определения цели или целей ее разрешения, на основе которой формулируется критерий. Если критериев несколько, необходимо воспользоваться методами решения многокритериальных задач разработки управленческого решения. Разработка альтернатив ведется автоматическими, автоматизированными или ручными методами. В двух последних случаях целесообразно первоначально попытаться определить множество допустимых значений альтернатив. На процесс разработки альтернатив оказывает серьезное влияние время, оставшееся до принятия решения и возможности имеющихся в распоряжении менеджера технических средств. Очевидно, что процесс разработки альтернатив может быть закончен до исчерпания всего множества решений. Имеющиеся альтернативы должны быть подвергнуты сравнению с критерием и в качестве рационального решения должна выбираться альтернатива с наилучшим значением критериальной функции. Подавляющее большинство решений, принимаемых к реализации менеджером, относится к категории рациональных. Качество разработки подобных решений в первую очередь определяется качеством разработки альтернатив, методам разработки которых следует уделять наибольшее внимание.

Последовательность действий, которую необходимо выполнить при разработке рациональных решений, представлена на рис.1.1. Она начинается с идентификации, постановки и принятия проблемы и определения цели ее разрешения. Пройдя этап поиска, фильтрации и анализа информации, менеджер проводит классификацию задачи и разрабатывает

108

критерии достижения цели, которые могут быть метрическими или неметрическими. Следующим шагом этого процесса является разработка альтернатив. Методы разработки альтернатив рациональных решений представлены на рис. 3.11. Особый интерес представляет случай, когда найдены только две альтернативы решения. Подобного рода решения называют бинарными [25] или решениями типа “делать – не делать” [29] (заметим, что решение подобного рода принимал Гамлет).

Бинарные решения встречаются в практической деятельности достаточно часто по той простой причине, что третья и последующие аль-

Методы разработки альтернатив рациональных решений

Автоматические		Автоматизированные		Ручные

На основе оптимальных		На основе оптимальных методов		Экспертные
методов		Моделирование		группы
На основе		Работа экспертных групп
моделирования

Рис. 3.11. Методы разработки альтернатив при принятии рациональных решений

тернативы могут просто не отыскиваться менеджером. Действительно, если решается вопрос “быть или не быть”, то вопрос “как быть” неизбежно отходит на второй план. Процедура принятия бинарных решений ничем существенным не отличается от обычной и заключается в сравнении альтернатив по критерию. Если критериев несколько, то используются методы решения многокритериальных задач. Наличие случайных параметров в альтернативах может переводить рассматриваемые задачи к задачам в условия риска и неопределенности. Методы решения подобных задач сводятся к расчету функции распределения критериального параметра и определению наиболее выгодной стратегии. Если критерий является неметрическим, то выбор альтернативы

109

осуществляется за счет формулирования бинарных отношений (“лучше

– хуже”). Во многих случаях оказываются применимы процедуры экспертного оценивания. Наконец, известны варианты, когда подобные решения принимаются случайным методом, например подбрасывая монетку.

Наличие большего числа альтернатив по сравнению со случаем бинарного решения технически усложняет процедуру их применения, но не вносит в нее принципиальных изменений. Так, в отличие от бинарного случая, увеличивается количество сравнений альтернатив. Если выполняется, например, процедура их попарного сравнения, то общее число сравнений определяется как число сочетаний из количества альтернатив по два и может очень быстро расти, что может привести к технической нереализуемости решения. Искусство менеджера заключается, в частности, в точном определении числа рассматриваемых альтернатив рационального решения, сохраняющих его в категории реализуемых и обеспечивающего наилучшие из числа возможных результаты.

Таким образом, последовательность разработки рационального управленческого решения совпадает с последовательностью действий менеджера при разработке оптимальных решений. Принципиальным отличием процедуры разработки рационального решения от оптимального является ручная или, в лучшем случае, автоматизированная разработка альтернатив. Остальные действия менеджера, связанные с принятием проблемы, определением целей, разработкой критериев и сравнением альтернатив выполняются аналогично.

В ы в о д ы

1.Математическая теория предоставляет менеджеру большой набор методов, позволяющих отыскивать оптимальное решение.

2.Метод линейного программирования в сочетании с его программной реализацией на ЭВМ позволяет менеджеру практически отыскивать экстремумы линейных функций при условии учета ограничений ресурсов. Реализация метода линейного программирования позволяет автоматизировать решение ряда типовых задач оперативного и стратегического управления. Существуют все предпосылки для внедрения этого метода в повседневную деятельность практикующего менеджера.

3.Разработан большой набор методов решения нелинейных задач математического программирования, в том числе и дискретных. Кроме этого, разработаны методы решения задач со случайными парамет-

110