УЧЕБНИКИ 3 Экономика / Управленческие решения / Степанов А.Г. Разработка управленческого решения средствами пакета Excel. 2001

дование склада, потери от связывания средств в незавершенном производстве. Сюда же могут быть отнесены потери от старения товара, порчи и хищений.

Издержки дефицита возникают в случае отсутствия запасов при появлении заявки потребителя. Прямые потери связаны с упущенной прибылью и могут измеряться величинами штрафов.

Издержки информационного сопровождения включают в себя затраты на вычислительную технику, программное обеспечение и персонал и могут быть отнесены к издержкам по содержанию запасов. При первичной организации склада эти издержки могут оказаться чрезмерно большими и выделяться в виде отдельной статьи.

С точки зрения теории принятия решений задача управления запасами представляет собой динамическую задачу разработки управленческого решения, которая может рассматриваться как детерминированная, так и в условиях риска и неопределенности. Основной целью решения подобной задачи является минимизация издержек на хранение запасов. В качестве искомой величины может рассматриваться функция управления запасами, параметрами которой являются размер партий заказа, моменты выполнения заказа и т. п.

Пусть функции F1(t) и F2(t) выражают соответственно пополнение запасов и их расход. Производные этих функций f1(t) и f2(t) могут рассматриваться как интенсивность соответственно пополнения и расходования запасов. Динамическое уравнение величины имеющегося на складе запаса J(t) может быть записано в виде

t	t
J (t) = J0 + F1(t) − F2 (t) = J0 + ∫ f1(t)dt − ∫ f2dt,		(3.16)
0	0

где J0 – некий начальный уровень запаса. Запишем дискретный конечный вариант постановки задачи управления запасами. Возьмем в рассмотрение интервал N дискретных отсчетов времени ∆ t (T=N∆ t). Тогда уравнение (3.16) преобразуется к виду

n

n

J [n] = J

0

+ F [n] − F [n] = J

0

+

∑

f [ j] −

f

2

[ j],

(3.17)

1

2

1

∑

j=1

j=1

где n – номер текущего временного отсчета, 0 ≤

n≤ N−

1 .

Издержки поставок Cпост могут рассматриваться как некоторая функция текущей стоимости поставки в момент времени n , распадающаяся на составляющие, не зависящие Cпост[n] и зависящие от размера по-

71

ставляемой партии Cпост[n, P[n]], где P[n] – количество заказываемого в момент n товара.

Введем в рассмотрение дополнительную дискретную функцию заказа x1[n]. Будем считать, что

1, если в момент n осуществляется заказ; x1[n] =

0, если заказ в момент n не осуществляется.

Тогда производная (конечная разность) функции поставки f1[n] = P[n]x1[n].

Аналогично введем в рассмотрение функцию выдачи запаса x2[n].

1, если в момент n осуществляется выдача со склада; x2[n] =

0, если расход со склада в момент n не осуществляется.

Тогда производная (конечная разность) функции расхода

f2[n] = R[n]x2[n],

где R [n] – количество товара, поставляемого со склада в момент n. За время планирования T

N −1
Cпост = ∑	(Cпост0 [n]x1[n] + Cпост[n, P[n]]P[n]x1[n]),
n=0

где Cпост0 и Cпост – текущие значения стоимости поставки, не зависящей и зависящей от размера партии.

Издержки по содержанию запаса Cхр также могут быть определены за счет рассмотрения текущих затрат на хранение запасов, не завися-

щих Cxр0 [n]

и зависящих Cхр[n, J [n]]

от величины имеющегося запаса.

Тогда на основе (3.17)

N −1

N −1

C

xp

=

∑

C

xр0

[n] +

C

xр

[n, J [n]] =

∑

n=0

n=0

N −1

n

=

∑

(C

[n] + C

xр

[n, J [n]] (J

0

+

(P[ j]x [ j] − R[ j]x

2

[ j])).

xр0

∑

1

n=0

j=1

Для определения издержек дефицита Cштр введем в рассмотрение дополнительную функцию x3[n]

72

x3[n

J штр

1,		J [n] < 0;
] =	0,	J [n] ≥ 0.

[n] = −x3[n]J [n].

Тогда издержки, связанные с дефицитом, могут быть определены как

N −1
Cштр = ∑	(Cштр0 [n]x3[n] + Cштр[n, J штр[n]]J штр[n]).
n=0

Общие издержки хранения, представляющие собой критериальную функцию, имеют вид

Е = Е(С, Х ,t) = Cпост + Сxр + Cштр =

N −1 C

[n]x [n] + C

[n, P[n]]P[n]x [n] +

∑

пост0

1

пост

1

×

n=0

+Cxp0 [n] + Cxp[n, J [n]]J0 + Cxp[n, J [n]]

n

P[ j]x [ j] − R[ j]x [ j]) + C

[n]x [n] +

∑

1

2

штр0

3

×

+Cштр[n, J штр[n]]J штр[n]

→

min.

j=1

В качестве дополнительных условий к формулировке задачи может рассматриваться набор ограничений gi ( A, X ,t) ≤ bi (t) . Предметом полного решения задачи является отыскание функций x1[n] и P[n]. Решение задачи может быть осуществлено различными методами, в том числе методом сведения динамической задачи к статической, причем все входящие в задачу функции могут задаваться в табличном виде.

Рассмотрим ряд допущений. Пусть штрафные санкции отсутствуют и имеет место дополнительное ограничение J[n] ≥ 0. Будем считать, что издержки поставок зависят только от числа поставок, т. е. Cпост=[n, P[n]]=0, а заказ выполняется одинаковыми партиями P, следующими с

интервалом M. Тогда за время T будет поставлено Z = N партий това-

		PΣ	M
	ра размером P =		и издержки составят Cпост = ZCпост0 . Кроме этого
		Z
	будем считать, что независимая от объема составляющая издержек
	хранения C [n] = 0, а издержки от хранения пропорциональны размеру

хр0

хранимой партии Cхр[n, J[n]] J[n] = Cхр[n] J[n]. Предположим, что заказ

73

выполняется мгновенно, т.е. f1[n] = Px1[n], а партия расходуется равномерно f2[n] = f2n и на момент заказа складской запас отсутствует. Тогда выражение полных издержек будет иметь вид

		P		СxрPM
Е = Cпост		Σ	+		.
				2
	0	P

Дифференцируя по P, имеем

E′ = − PΣ Cпост0 + CхрM ,

P2 2

откуда размер оптимальной партии

P = P	=	2PΣ Cпост0 .		(3.18)
опт		CxрM

Выражение (3.18) в литературе получило название формулы Уилсона или формулы наиболее экономичного объема партии. Очевидно, что формула Уилсона представляет собой аналитическое решение задачи управления запасами, не учитывающее достаточно большого числа дополнительных ограничений.

3.6. Разработка управленческого решения в условиях риска

В литературе по менеджменту, в частности в учебниках по разработке управленческого решения, встречаются самые разнообразные определения понятия риска. Так, например, приводится следующая формулировка: риск – принятие решений в условиях, когда возможен неблагоприятный исход; вероятность отклонения величины фактического инвестиционного дохода от величины ожидаемого, неопределенность получения убытка при страховании [25]. Также существует определение, что в самом широком смысле риск – это опасность возникновения ущерба [26]. Объем этого понятия включает сферы деятельности по производству продукции, товаров, услуг, выполнению социально-экономичес- ких и научно-технических проектов, по товарно-денежным и финансовым операциям. Риск характеризуется на качественном и количественном уровнях: в виде затрат (либо снижения доходов), а также может иметь абсолютное (физическое, материально-вещественное) или стоимостное выражение [26]. Риск может быть рассчитан и в относительных показателях как отношение величины возможных потерь к сумме основных и оборотных средств предприятия либо к общим затратам

74

ресурсов, ожидаемым доходам от намечаемых действий. Указывается также на тесную связь понятий риска и неопределенности: неопределенность связывается с разработкой управленческого решения, а риск– с его реализацией, отмечается, что неопределенность – основная причина появления рисков [27]. Все выше изложенные соображения являются безусловно правильными и широко используются в менеджменте.

Следуя предложенным определениям, было бы логично объявить все не точно известные данные неопределенностями и ограничиться подсчетом возможных убытков в интегральном выражении. Тем не менее, аналитические науки, в частности исследование операций [5], разработали методы более точных расчетов результатов деятельности, связанной с различными неопределенностями. Эти методы базируются на более узком понимании терминов риск и неопределенность. Принятие решения в условиях риска – это ситуация, когда действия по реализации принятого решения приводят к возможности появления одного из множества результатов, причем каждый результат имеет известную вероятность появления [5]. Учитывая этот подход, будем использовать следующее определение: задача разработки управленческого решения в условиях риска предусматривает существование в определении критерия оптимальности и (или) в ограничениях стохастических факторов, т. е. случайных величин с известными законами распределения. Математически указанная задача может быть сформулирована на основе выражений (2.1–2.2)

El = E(C, X ,Y1,Y2 ,...Yq )
gi = gi ( Ai , X ,Y1,...,Yq ){<=, =, >=}bi ;
i = 1, 2,..., m;
	A = (a	, a		2		,..., a			q		);
	1
	X = ( x		, x		2		,..., x );
	1									l
	C = (c	, c			,..., c			q		),
	1		2

где yr конкретная реализация случайного контролируемого фактора

Y= (y1,…,yr, … ).

Всвязи тем, что конкретное решение задачи X приводит к возникно-

вению случайного значения целевой функции, рассматривать выражение целевой функции как критерий нельзя, так как для решения задачи

75

оптимизации критерий обязательно должен быть детерминированной величиной. Известны по крайней мере два варианта постановки задачи оптимизации. При первом варианте (так называемая М-постановка) случайное значение целевой функции заменяется ее математическим ожиданием

max(M {El }) = E(C, X ,Y1,Y2 ,...Yq )
gi = gi ( Ai , X ,Y1,...,Yq ){<=, =, >=}bi ;
i = 1, 2,..., m;
	A = (a	, a		2			,..., a		q		);
	1
	X = ( x		, x		2			,..., x );
	1									l
	C = (c	, c				,..., c				).
	1		2					q

В другом варианте (так называемая P-постановка) максимизируется вероятность того, что целевая функция будет не меньше некоторого наперед заданного значения r

max(P{El							> r}) = E(C, X ,Y1 ,Y2 ,...Yq )
g		i	= g	( A		, X ,Y			,...,Y	){<=, =, >=}b	;
			i		i			1	q	i
i = 1,2,..., m;
	A		= (a	, a	2	,..., a		q	);
			1
	X = (x			, x			,..., x );
			1 2					l

C = (c1 , c2 ,..., cq ).

Формулируя задачу разработки управленческого решения в условиях риска, необходимо определить детерминированные характеристики случайного процесса, значения которого являются параметрами задачи Y= (y1,…,yr, … ), например моменты и вид функции распределения, что достигается за счет различных способов обработки выборок реальных значений. Точность определения характеристик существенно зависит от объема выборки и свойств самого процесса. Менеджер должен обработать все известные ему достоверные значения случайной величины, сделать заключение о возможности расчета моментов распределения, рассчитать их, выдвинуть, если это возможно, гипотезу о функции (плотности) распределения случайной величины, проверить

76

ее по критериям согласия и дать соответствующие мотивированные заключения.

Методы решения задач разработки управленческих решений в условиях риска могут быть разбиты на две основные группы. Первая группа – это методы сведения стохастической задачи к детерминированной. В их основе лежит замена случайных факторов их неслучайными характеристиками, например математическими ожиданиями, в результате чего стохастическая задача сводится к детерминированной. Подобный метод применяется преимущественно в ориентировочных расчетах, однако он оказывается достаточно эффективным и в том случае, когда диапазон возможных значений случайных величин сравнительно мал. Если известны, например, максимальное и минимальное значение параметра, то можно говорить о так называемой трубке риска. Если задача линейная, то показатель эффективности находится внутри некоторого диапазона значений, определяемого соответственно при максимальном и минимальном значении параметра. Если максимальное и минимальное значение переменной не могут быть определены непосредственно, то в качестве них могут быть использованы рассчитанные значения доверительного интервала их изменения с заданным уровнем вероятности его превышения. Результат решения задачи в этом случае при M-постановке представляется в виде решения X, обеспечивающего максимум среднего значения целевой функции, диапазона ее изменения и (или) стандартного отклонения и доверительного интервала. Решение задачи в P-постановке в этом случае оказывается невозможным.

Вторая группа методов – методы “оптимизации в среднем” – позволяют найти решение, максимизирующее ту или иную статистическую характеристику показателя эффективности. Отметим, что речь идет о введении нового критерия оптимальности, отличного от критерия, использовавшегося при решении детерминированных задач, со всеми вытекающими из этого обстоятельства последствиями. Таким образом, математически прием “оптимизация в среднем” состоит в переходе от исходного случайного показателя E к его детерминированной характеристике, например к математическому ожиданию или к дисперсии. Вычисление математического ожидания оказывается предпочтительным в том случае, когда требуется отыскать максимум целевой функции, однако встречаются задачи, требующие, например, минимизировать некоторое отклонение от заданного значения. Если исходная мо-

77

дель задачи линейная, то вычисление математического ожидания в качестве целевой функции сохраняет ее в классе линейных задач, в то время как вычисление дисперсии неизбежно переводит задачу в категорию задач квадратичного программирования.

Для линейной задачи

E = ∫∫ ...∫ Ei ( A, X , y1i, y2 ,... yq ) f ( y1, y2 ... yq )dy1dy2 ...dyq ) = E( A, X , D),

где D – массив статистических характеристик случайных величин y1,y2, …, yq а f(y1,…,y2, …, yq) – закон распределения вероятностей случайных величин y1,y2, …, yq Как и в случае детерминированной задачи, решение представляет собой некоторую оптимальную стратегию X = ( x1, x2 ,...xl ) , соответствующую области допустимых значений (ограничениям) и удовлетворяющих

Е = Е (А,X ,D) = max E (A,X ,D) .

Сравнивая оба метода решения задачи, нетрудно увидеть, что при линейной постановке они дают одинаковые результаты, поскольку предполагают в первом случае замену случайных реализаций неконтролируемых факторов их детерминированными значениями, а во втором – замену случайного показателя эффективности детерминированной функцией. Решение нелинейных задач разработки управленческого решения приводит к существенным отличиям результатов, поскольку нелинейные элементы искажают вид функций распределения. Поэтому в нелинейном случае может быть использован только метод “оптимизации в среднем”.

При практической реализации метода “оптимизации в среднем” могут использоваться три различных варианта решения:

критерий оптимальности может быть получен в аналитической форме; критерий оптимальности может быть получен в виде алгоритма; возможно создание модели операции, при которой для различных

стратегий X и различных значений реализаций случайных факторов y1,y2,…,yq можно получить соответствующие численные значения показателя эффективности.

Аналитическая запись критерия оптимальности как функции входящих в него параметров представляет собой полное теоретическое решение. Получение таких решений, как правило, бывает весьма затруднительным в силу чисто математических сложностей, однако если та-

78

кое решение найдено, то его обычно связывают с фамилией автора (например, задача Винера).

Наибольший практический интерес представляет случай, когда критерий оптимальности может быть получен в виде алгоритма. Если известна функция распределения случайного параметра, то может быть определена вероятность P(y0), при которой значение случайного параметра не превысит некоторой величины y0 (рис. 3.7).

P(y)
P(y0)
P(y1)
y1	y0	y

Рис. 3.7. Функция распределения случайного параметра у

Может быть подготовлена и решена обратная задача отыскания значения параметра y1 по заданной вероятности P(y1). Задавая различные значения вероятности P, можно получить набор предельных значений параметра, для которого может быть получен набор решений X(P) и набор значений критериальной функции E(P). Получившийся в этом случае набор решений X(P) и E(P) является окончательным в том случае, когда имеется возможность задавать вариант решения по конкретному значению параметра в конкретной ситуации, например когда формируется план на основе известного на текущий момент остатка на складе. Если это невозможно, т.е. необходимо разработать единое решение X, не зависящее от вероятности появления конкретного события, то оно должно выбираться исходя из наиболее вероятного значения исходного параметра, обычно соответствующего его математическому ожиданию. Оптимальное решение X в этом случае определяется обычным способом, а зависимость критериальной функции от вероятности E(P) корректируется с учетом выбранного решения и конкретного значения ограничения дополнительным расчетом.

Использование метода Монте-Карло позволяет получить аналогичные результаты. Зная законы распределения параметров задачи, проводится ее многократное решение, результатом которого является гистограмма распределения критериальной функции и набор соответству-

79

ющих ей решений X. Рассматривая гистограмму распределения критериальной функции как ее эмпирическую плотность распределения, мы можем получить те же зависимости, что и в алгоритмическом методе.

Отметим, что практическое использование методов решения задач в условиях риска требует от менеджера дополнительных знаний в области математической статистики.

Частный случай задачи в условиях риска

содним стохастическим параметром

Внекоторых случаях при решении задач разработки управленческого решения оказывается достаточным предположить, что случайным является только один параметр задачи, входящий в определение целевой функции или в ограничения. Рассмотрим этот случай отдельно. В качестве примера вернемся еще раз к распределительной задаче, описанной в подразд. 3.4. Пусть m = 9, n =4, количество имеющихся ресурсов описывается набором значений b ={30,52; 51,11; 31,23; 26,28; 39,40;

57,47; 53,61; 44,30; 84,54}, матрица коэффициентов aij имеет вид табл. 3.2, в которой столбцы имеют смысл вида соответствующей продукции, а строки – вида ресурса. Коэффициенты значимости каждого вида

продукции cj имеют значения {9,20; 7,15; 6,01; 7,61}.

Предположим, что коэффициент c1 представляет собой случайную величину, принимавшую в процессе десяти экспериментов следующий набор случайных значений {7,88; 6,86; 8,38; 9,67; 10,30; 9,47; 9,56; 10,04; 10,49; 8,73}. При решении задачи методом сведения стохастической задачи к детерминированной рассчитывается среднее арифметическое выборки случайного процесса равное в настоящем случае 9,14. Это значение подставляется на место случайного парамет-

ра c1 и отыскивается экстремум целевой функции для вектора значимости {9,14; 7,15; 6,01; 7,61}. Тогда решением задачи является набор

переменных X = {1,13; 0,00; 0,00; 3,10}, обеспечивающий оптимальное значение целевой функции округленно равное 33,90 при общем суммарном расходе ресурсов равном 185,59 (для непосредственных вычислений использованы средства надстройки Поиск решения табличного процессора Excel). Определим теперь трубку риска. Максимальное значение параметра c1 равно 10,49. Ему соответствует то же решение, так как диапазон изменения параметра укладывается в пределы чувствительности решения, а значение целевой функции оказывается округленно равным 35,43. Наконец, минимальное зна-

80