УЧЕБНИКИ 3 Экономика / Управленческие решения / Степанов А.Г. Разработка управленческого решения средствами пакета Excel. 2001

чение параметра c1 равно 6,86 и ему соответствует старое решение и значение целевой функции равное 31,33.

Если диапазон изменения параметров не укладывается в пределы чувствительности, могут появиться несколько решений, соответствующих различным положениям внутри трубки риска. Тогда в качестве оптимального решения следует выбрать решение, соответствующее среднему значению случайного параметра, а предельные значения целевой функции (трубку риска) следует пересчитать в соответствии с этим решением. Очевидно, что размер трубки риска в этом случае возрастет.

Предположим теперь, что в распоряжении менеджера отсутствуют конкретные значения выборок случайных процессов, однако ему известна определенная ранее функция распределения случайного процесса F(c1). Целью решения задачи в этом случае является определение набора переменных X = (x1,x2 ,...xl ), максимизирующих математическое ожидание целевой функции (M-постановка) или вероятность того, что значение целевой функции будет превышать некоторое наперед заданное значение (P-постановка). Дополнительно в обоих случаях представляет интерес отыскание функции распределения целевой функции F(E). Как следует из определения функции распределения, ее значения представляют собой вероятность того, что реальное значение случайной величины x будет меньше или равно аргументу функции P( x ≤ x0 )= F ( x0 ) . Если предположить, что c1 распределен по нормальному закону со средним значением 9,14 и стандартным отклонением 1, то набору значений вероятностей {0,00001; 0,10; 0,20; 0,30; 0,40; 0,50; 0,60; 0,70; 0,80; 0,90; 0,99999} соответствует следующий набор значений аргументов функции {4,87; 7,86; 8,30; 8,62; 8,89; 9,14; 9,39; 9,66; 9,98; 10,42; 13,41}. Очевидно, что, как и в предыдущем случае, решением задачи в M-постановке является набор переменных X = {1,13; 0,00; 0,00; 3,10}, обеспечивающий оптимальное значение целевой функции округленно равное 33,90 при общем суммарном расходе ресурсов равном 185,59 и имеющий место при задании вероятности 0,5 (справедливо только для линейных задач). На рис. 3.8 изображена рассчитанная функция распределения целевой функции решаемой задачи.

Рассмотрим теперь P-постановку задачи. Исходные данные примера подобраны таким образом, что во всем разумном диапазоне изменения случайного параметра существует только одно оптимальное решение X = {1,13; 0,00; 0,00; 3,10}, найденное при M-постановке задачи. Именно это решение будет оптимальным и при P-постановке задачи.

81

	1,1
появления	1
	0,9
	0,8
	0,7
	0,6
Вероятность
	0,5
	0,4
	0,3
	0,2
	0,1
	0
	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
					Значения целевой функции

		Рис. 3.8. Функция распределения целевой функции
	1,1
появления	1
	0,9
	0,8
	0,7
	0,6
Вероятность
	0,5
	0,4
	0,3
	0,2
	0,1
	0
	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90
				Значения целевой функции

		Решение 1				Решение 2		Решение 3

Рис. 3.9. Функция распределения целевой функции при различных вариантах решений

Изменим условия задачи. Будем считать, что c1 распределен по нормальному закону со стандартным отклонением 5, а не 1, как в предыдущем случае. Все остальные параметры задачи сохраним. Решением задачи в M-постановке по-прежнему является набор переменных X = {1,13; 0,00; 0,00; 3,10}, обеспечивающий оптимальное значение целевой функции округленно равное 33,90. А решение задачи в P-поста-

82

новке, представленное в табл. 3.13, существенно отличается при разных уровнях задаваемых вероятностей.

Как следует из табл. 3.13, существует три варианта решения задачи: X={0,00; 1,78; 0,00; 1,87}, X={1,13; 0,00; 0,00; 3,10}, X={2,68; 0,00; 0,00; 0,00}. Каждый из этих вариантов обеспечивает свое значение целевой функции, а на рис. 3.9 представлены расчеты функций распределения целевой функции при использовании каждого из решений. Теперь перейдем собственно к решению задачи в P-постановке. Вероятность того, что целевая функция будет больше некоторого наперед заданного значения r, определяется по формуле P(E>r)=1–P(E≤ r). Зададим значение r = 20. Как следует из графика рис. 3.9, наибольшее значение P(E>r) обеспечивает решение 1 {0,00; 1,78; 0,00; 1,87}. При r = 30 лучший результат дает решение 2 {1,13; 0,00; 0,00; 3,10}, а при r = 50 – решение 3 {2,68; 0,00; 0,00; 0,00}. Около r = 40 имеет место граничное значение между двумя решениям, причем точное значение границы также может быть определено расчетным путем.

Таблица 3.13

Решение задачи в условиях риска с одним стохостическим параметром

Вероятность	Значение	Решение	Решение	Решение	Решение	Целевая
	параметра	:	:	:	:	функция
		1	2	3	4
0,00001	–12,19	0,00	1,78	0,00	1,87	26,99
0,10	2,73	0,00	1,78	0,00	1,87	26,99
0,20	4,93	1,13	0,00	0,00	3,10	29,15
0,30	6,52	1,13	0,00	0,00	3,10	30,94
0,40	7,87	1,13	0,00	0,00	3,10	32,47
0,50	9,14	1,13	0,00	0,00	3,10	33,90
0,60	10,41	1,13	0,00	0,00	3,10	35,34
0,70	11,76	1,13	0,00	0,00	3,10	36,87
0,80	13,35	1,13	0,00	0,00	3,10	38,66
0,90	15,55	2,68	0,00	0,00	0,00	41,65
0,99999	30,47	2,68	0,00	0,00	0,00	81,62

Отметим, что в качестве случайного параметра можно рассматривать один из параметров, входящих в ограничения, например a1 или b1.

83

Методика решения задачи разработки управленческого решения в этом случае существенно не меняется.

Задачи в условиях риска с несколькими стохастическими параметрами

Методика решения задач в условиях риска с несколькими стохастическими параметрами базируется на расчете величины стохастической поправки, определяемой с учетом всех входящих в выражение случайных параметров. В простейшем случае случайные параметры считаются некоррелированными и распределенными по одинаковому закону распределения, например нормальному, с известными дисперсиями и математическими ожиданиями. Тогда детерминированный эквивалент вероятностного ограничения может быть записан в виде [15]

n

n

∑

x

+ Ф−1

(α

)

σ

2 x+2

θ

2≤

,

b

a

j

ij

i ∑

ij j

i

i

j=1

j=1

где aij ,bi – математические ожидания, σ ij2 ,θi2 – дисперсии случайных величин aij, bi. СимволомФ−1(α i ) обозначена обратная функция нормального стандартного (в отличие от использовавшегося при решении предыдущей задачи обычного) распределения

		1	t	−t2 )dt,
	Ф(t) =		∫ exp(
		2π
			−∞	2

а α i – заданный уровень вероятности. В остальном методика решения задачи совпадает с описанной ранее.

Таким образом, из всего многообразия структурируемых задач разработки управленческого решения можно выделить группу стохастических задач, решаемых специальными методами теории вероятностей и математической статистики и называемых задачами в условиях риска.

3.7.Разработка управленческого решения

вусловиях неопределенности

Задача разработки управленческого решения в условиях неопределенности является разновидностью задач в условиях риска в широком понимании этого термина. В терминологии исследования операций [5] задача в условиях неопределенности в отличие от задачи в условиях риска возникает в том случае, когда менеджер не располагает никакой статистической 84

информацией о параметрах случайных величин и, как следствие, не может составить или получить выражение для функции распределения, определить моменты и т.п. Поэтому рассчитать вероятность получения определенного значения показателя эффективности оказывается невозможным, хотя он принимает случайные значения в каждом конкретном эксперименте при многократном повторении процедуры принятия решения.

Можно выделить два случая, характеризующих вероятность получения определенного значения критериальной функции. Во-первых, эти вероятности могут не иметь физического смысла, поскольку входящие в задачу неопределенные факторы имеют нестохастическую природу. К их числу относятся стратегические неопределенности, объясняющиеся участием в задаче нескольких разумных сторон, преследующих, в частности, противоположные цели. Неопределенность в задаче возникает потому, что менеджеру неизвестны действия, которые будут предприняты сторонами (противником), и он должен принимать решение в отсутствие полной информации. Кроме этого, в задаче могут возникать концептуальные неопределенности, связанные с принятием особо сложных решений и вызванные нечетким представлением о собственных целях и возможностях, целях и возможностях других сторон. Во-вто- рых, на решение задачи могут оказывать влияние стохастические неопределенности, возникающие из-за отсутствия информации о характере влияющих процессов, но не предусматривающие разумного вмешательства. В этом случае обычно говорят о воздействии природы на решение задачи, предполагая при этом отсутствие точек излома и разрыва и наличие инерционности в характеристиках мешающих факторов.

Математически задача разработки управленческого решения в условиях неопределенности может быть записана в виде

E = E (C, X , Z , Z

2

,

..., Z

r

);

( A , X ,

1

) ,{=,≤

≥ ;}b

g

i

= g

i

Z

,

Z

2i

,...,

Z

ri

i

1i

i

i = 1, 2,

...m ,

;

C= (c ,

c , ...,c

);

1

2

n

X

= (x , x

2

,..., x

n

);

1

A= (a , a

2

,..., a

n

);

1

...),

Z

= (z , z

2

,..., z

f

1

85

где zf – конкретная реализация неопределенного фактора. Неконтролируемые переменные Z принимают случайное значение и могут относиться либо к категории нестохастических (игры с противником), либо стохастических (игры с природой) случайных величин.

Основные методы решения задач в условиях неопределенности разработаны в математической теории игр [5, 11, 12]. Предполагается, что правила игры известны всем ее участникам и обязательно выполняются. Каждый случай игры называется партией. Элементами партии являются ходы, которые могут быть личными (сознательное действие) и случайными. Каждый из игроков руководствуется совокупностью правил, однозначно определяющих выбор его ходов, называемую стратегией. Число таких стратегий может быть конечным или бесконечным. Результатом игры является выигрыш или проигрыш игроков. Например, если в игре участвуют только два игрока, преследующие прямо противоположные цели, то выигрыш одного игрока означает точно такой же проигрыш другого. Такая игра называется парной антагонистической игрой с нулевой суммой.

Игры с противником

Рассмотрим задачу разработки управленческого решения с одним неопределенным фактором Z, принимающим только два возможных значения Z = (z1, z2) при выборе противником соответственно стратегий N1 и N2. Будем считать для определенности, что этот фактор непосредственно влияет на критериальную функцию E = E(C,X,Z). Если случайный фактор непосредственно влияет на ограничения, то наши рассуждения были бы аналогичными с той только разницей, что значение критериальной функции определялось бы за счет решения всей задачи с учетом ограничений. Найдем два оптимальных решения X1 и X2 , с учетом двух возможных стратегий противника N1 и N2 соответствующие выражениям

E11 = max E (C, X1, z1 ), E22 = max E (C, X 2 , z2 ).

Полученные решения X1 и X2 представляют собой оптимальные действия (стратегии) менеджера M1 и M2 в том случае, когда он угадал дальнейшее развитие событий. Рассчитаем дополнительно значение показателя эффективности при условии, что менеджер не угадал ответ противника:

86

E12 = max E (C, X1, z2 ),

E21 = max E (C, X 2 , z1 ).

На основе проведенных расчетов со-			Таблица 3.14
ставим так называемую платежную мат-		Пример платежной матрицы
рицу (табл. 3.14), где строки M и M
1	2	Стратегии	N1	N2
представляют собой возможные страте-
гии менеджера, а N1 и N2 – возможные		M1	E11	E12
стратегии противника. Очевидно, что ана-		M2	E21	E22
логичная матрица может быть построе-

на и при большем числе возможных стратегий, а также при большем числе неопределенных факторов. В общем случае при конечном числе стратегий ее размер может быть m× n.

Отыщем решение игры, пользуясь методами теории игр. Найдем оптимальную стратегию для менеджера, не зависящую от действий противника. В этом случае возникает вопрос о выборе критерия оптимальности. Например, в качестве используемой менеджером стратегии можно выбрать стратегию, которая приносит возможный максимальный выигрыш. Такая стратегия может оказаться весьма рискованной, поскольку в конкретной ситуации противник может ответить стратегией, приводящей к большему проигрышу. Более разумным представляется воспользоваться стратегией, которая минимизирует возможный проигрыш менеджера. Обозначим α i минимальный выигрыш менеджера при выборе им i-й стратегии при всех возможных стратегиях противника

α i=	min {Eij }= min{Ei1, Ei2 }.
	j=1,2,...,n
Из всех чисел α i выбираем наибольшее			min {Eij },
α = max {α	i=} maxα{α 1, =2 }	max
i=1,2,...,n	i=1,...,m		j=1,...,n

и назовем его нижней ценой игры (гарантированный выигрыш менеджера при любой стратегии противника). Если цели игроков противоположны, что имеет место в антагонистической игре, то очевидно, что противник заинтересован уменьшить выигрыш менеджера и будет выбирать соответствующие стратегии. Найдем максимальный выигрыш менеджера при каждой стратегии противника

β j	= max {Eij }= max{E1 j , E2 j }.
	i=1,2,...,m

87

Для того чтобы минимизировать свой проигрыш, противник выберет стратегию, в которой выигрыш менеджера минимален

β = min {β j }= min{β	1,β	2}=	min	max {Eij }.
j=1,...,n			j=1,...,n	i=1,...,m

Назовем этот выигрыш верхней ценой игры. Очевидно, что если по ка- ким-то причинам противник не воспользовался своей оптимальной стратегией, то выигрыш менеджера только возрастет. Если верхняя и нижняя цены игры совпадают, то их значение ν называют чистой ценой игры

α = β = ν.

Стратегии, соответствующие цене игры, называются чистыми, а их совокупность дает оптимальное решение. Используя оптимальное решение, менеджер получает минимальный гарантированный выигрыш ν независимо от поведения противника. Пара чистых стратегий Mi и Nj дает оптимальное решение игры тогда и только тогда, когда соответствующий им элемент Eij является одновременно наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке. Такая ситуация называется седловой точкой, а соответствующая ей игра – игрой с седловой точкой.

Если седловая точка в платежной матрице отсутствует, то существует несколько стратегий и менеджера, и противника, позволяющих получить цену игры. Выбор менеджером одной из чистых стратегий наталкивается на естественное противодействие противника, желающего минимизировать свой проигрыш и выбирающего ответную стратегию с учетом информации о выборе менеджера. Это обстоятельство приводит к тому, что менеджер оказывается вынужден хранить свой выбор в тайне и, кроме этого, чередовать чистые стратегии при многократном повторении игры по случайному закону. Если так не делать, то противник привыкнет к тому, что менеджер играет одинаково и с учетом этого будет строить свою игру. Смешанной стратегией SM называется применение чистых стратегий M1, M2,…, Mm с вероятностями p1, p2,…, pm, причем

∑m pi = 1. i=1

Будем записывать смешанные стратегии в виде матрицы

SM		M	, M		,..., M
	=	1		2		m ,
		p1, p2 ,..., pm

88

или в виде вектора SM =(p1, p2,…, pm). Смешанные стратегии противника запишем аналогично, обозначая соответствующие вероятности буквой q:

∑n q j = 1, j=1

N , N ,..., N

SN = 1 2 n

q1, q2 ,...,qn

или SN =(p1, p2,…, pn). Найдем оптимальную стратегию, обеспечивающую S M = (p1 , p2 , ... , pm ) менеджеру средний выигрыш не меньший, чем цена игры ν (α≤ν≤β ). Математическое ожидание выигрыша менеджера при реализации противником стратегии Nj

E j = ∑m	Eij pi .
i=1

Если ν – цена игры, то при условии ν > 0 имеем набор n ограничений

			∑m	Eij pi ≥ ν .
			i=1
Учитывая	∑m	pi	= 1, будем искать набор p , обеспечивающий макси-
	i =1			i

мальную цену игры ν, для чего сделаем замену переменных xi = pi/ν.

Запишем итоговые выражения для целевой функции и ограничений задачи оптимизации

		m			1
		∑	xi	=		→ min,
					ν
		i=1
				m
		g j = ∑ Eij xi ≥ 1
				i=1

и решим задачу линейного программирования. Элементы оптимальной смешанной стратегии менеджера SM определяются подстановкой pi = xi ν . Оптимальная смешанная стратегия противника определяется аналогично

89

	n	Eij q j ≤ ν ,
	∑
	j=1
∑n		qi = 1,
	j=1

а задача линейного программирования формулируется в виде

		n			1
		∑	x j	=		→ max,
					ν
		j=1
				n
		gi = ∑ Eij x j ≤ 1.
				j=1

Тогда результатом решения задачи разработки управленческого решения будет последовательность стратегий менеджера, реализуемых по случайному закону с заданными вероятностями их появления.

В качестве примера рассмотрим еще раз распределительную задачу, описанную выше. Пусть количество имеющихся ресурсов описывается набором значений b={30,52; 51,11; 31,23; 26,28; 39,40; 57,47; 53,61; 44,30; 84,54}; матрица коэффициентов α ij имеет вид табл. 3.2, в которой столбцы имеют смысл вида соответствующей продукции, а строки – вида ресурса. Будем считать, что входящий в состав коэффициентов значимости параметр c1 носит случайный характер и принимает два возможных значения z1= 9,20 и z2=18,40. Тогда коэффициенты значимости каждого вида продукции cj могут иметь два возможных набора значений: {9,20; 7,15; 6,01; 7,61} и {18,40; 7,15; 6,01; 7,61}. Предположим, что имеет место антагонистическая игра с противником, т.е. z1, z2 определяют возможные стратегии противника N1 и N2. Будем считать, что в распоряжении менеджера также имеются две возможные стратегии M1 и M2. Построим платежную матрицу. Значение E11 определяется как целевая функция при решении задачи в предположении, что противник выбрал стратегию N1 (z1= 9,20), а менеджер стратегию M1 (стратегия противника угадана). Это решение ранее уже было получено и представляет собой набор переменных X = {1,13; 0,00; 0,00; 3,10}, обеспечивающий оптимальное значение целевой функции округленно равное 33,97 при общем суммарном расходе ресурсов равном 185,59. Значение E22

90