Экономическая ТЕОРИЯ / Занг В.Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. 1999

разумного практицизма. Это приводит к появлению лучшей продукции, планированию инвестиций, расширяющих производство и вследствие этого вынуждает остальных к подражанию. Таким образом, их политика расширения производства и улучшения качества вызывает синхронизацию, что будет наблюдаться как явление цикла жизни продукции. Мы видим, что в согласии с этим рассуждением уравнение движения альтернатора а, который в терминах агрегированных переменных отражает изменение деятельности предпринимателей в различных областях промышленных инвестиций, при оговоренных выше условиях должно порождать переключения. Как сказано в книге Вайдлиха и Хаага (1983), потенциально подходящий вид динамического поведения может быть задан уравнением

где L — вынуждающая сила реформаторской стратегии, µ — параметр стратегической гибкости, отражающий гибкость инвесторов относительно изменения стратегии от экспансионной к рационализационной и обратно, γ — параметр скорости тенденции к повороту, α1 — параметр влияния стратегии, положительный или отрицательный в соответствии с тем, является весь период в целом экспансионным или рационализационным, и α0 — амплитуда стратегического выбора, которая используется как оперативная масштабирующая константа.

Полная динамическая система содержит уравнения (7.4.18) и (7.4.19). Для простоты введем переменные t* = 2δt и ε = µ/δ. Система может быть записана как

Существование равновесий в ней легко гарантировать, хотя единственность показать нельзя. Фактически, здесь может быть одна, три или пять точек равновесия, которые зависят только от конкретных значений параметров. Кроме того, применив теорию Пуанкаре-Бендиксона, Вайдлих и Хааг установили наличие в системе предельных циклов.

В заключение представим некоторые результаты численного моделирования. Выберем следующую комбинацию параметров;

k = 1.5, α0 = 0.5, α1 = 0, γ = 4.0, ε = 0.5.

В этом случае k = 1.5 является пороговым значением перехода к новому типу решения. Здесь проявляется критическое воздействие

эффекта затухания. Хотя начало координат является единственным равновесием, и оно устойчиво, релаксация колебаний колебаний длится в течение весьма значительного времени. Этот тип поведения показан на рис. 7.3 (см. рис. 5.5 в книге Вайдлиха и Хаага).

Если взять следующие значения параметров:

k = 1.6, α0 = 0, α1 = 0, γ = 4.0, ε = 0.5,

возникает устойчивый предельный цикл. Начало координат представляет собой неустойчивый фокус для движения экономики. Это поведение иллюстрирует рис. 7.4 (см. рис. 5.6 в книге Вайдлиха и Хаага).

Вайдлих и Хааг применили свою модель к исследованию экономики Федеративной Республики Германии в период 1955-1980 гг. На рис. 7.5 показаны результаты эмпирического анализа, составленные из нескольких частей, которые соответствуют применению модели для параметров, принадлежащих трем интервалам времени:

Рис. 7.5. Сравнение результатов математического моделирования и данных наблюдений.

периодам 1955-1965 гг., 1967-1971 гг. и 1973-1980 гг. Детальные пояснения результатов даны в книге Вайдлиха и Хаага (1983).

7.5. Влияние шумов на траектории нелинейных стохастических систем вблизи особых точек

Мы показали, что экономическая модель, учитывающая влияние стохастических воздействий, должна отражать степень, с которой эти экзогенные силы могут повлиять на конечные результаты моделирования. Если результаты моделирования решающим образом зависят от экзогенных стохастических сил и в малой степени испытывают влияние взаимодействия экономических переменных, модель не представляет интереса. С другой стороны, если учет стохастических эффектов оказывает малозаметное влияние на качественные результаты, то стохастические факторы могут быть полностью исключены из анализа. Однако, как сказано в разд. 7.1, флуктуации могут играть решающую роль в развитии экономики, даже если развитие определяется детерминированными механизмами. Влиянием флуктуации на детерминированное развитие нельзя пренебречь в случае, если детерминированные уравнения рассматриваются вблизи критических точек.

В предыдущем разделе мы вывели уравнения макроскопического процесса из рассмотрения процесса микроскопического. Обсуждая мастер-уравнение, мы выяснили, что полностью пренебречь такими микроскопическими процессами нельзя, поскольку они порождают флуктуирующие вынуждающие силы, способные увести систему прочь от равновесия. В этом разделе мы непосредственно изучим динамику совокупных переменных, рассматривая микроскопические

флуктуационные силы как источник шума, удовлетворяющий определенным требованиям.

Эволюция во времени зависит от причин, предсказать которые с абсолютной точностью невозможно. Обычно подобные причины рассматриваются как флуктуирующие силы F(t). Таким образом, динамику системы (3.1.2) можно записать как

где F(t) задано. Эта форма учета флуктуирующих сил в дифференциальном уравнении называется аддитивным шумом. Учет случайного воздействия окружающей среды можно провести в другой форме. Например, если рост популяции имеет флуктуации, то динамика популяции задается выражением

где Ρ — численность популяции, a(t) — случайная скорость роста. Этот тип флуктуации называется мультипликативным шумом. В этом разделе нас будет интересовать влияние аддитивного шума на динамику соответствующих детерминированных уравнений dx/dt = f(x) вблизи неустойчивых особых точек.

Предположим, что функция F сравнительно мала в том смысле, что она не изменяет заметно характер движения. Это означает, что неустойчивость внесена в систему не со стороны флуктуирующих частей, а со стороны детерминированной части f(x).

Типичным примером уравнения типа (7.5.1) является уравнение Ланжевена для броуновского движения

где xi, и рi — положение и момент движения «броуновской» частицы, взвешенной в газе. Сила, действующая на броуновскую частицу, распадается на систематическую часть rрi и «случайную» флуктуирующую компоненту Fi. Если пренебречь флуктуациями, Движение броуновской частицы должно затухать до состояния полного покоят Влияние флуктуации может привести к непрекращающемуся нерегулярному движению частицы (рис. 7.6).

Чтобы продолжить изучение влияния флуктуации, введем понятие так называемого ансамбля: рассмотрим ансамбль макросистем,

имеющих одинаковый состав и описываемых одним и тем же множеством макропеременных xi. Каждый его член обозначим буквой j. Рассмотрим случай, когда каждый член подвергается воздействию различных микроскопических флуктуации Fi. Можно ожидать, что для разных членов ансамбля мы будем наблюдать различные

траектории xij (t), даже если значения переменных в начальных условиях xij (0) будут одними и теми же. Пусть xi(t) обозначает среднюю по ансамблю величину

Флуктуации можно определять разными способами. Мы будем предполагать, что для всех i имеет место Fi(t) =0, хотя их ковариации не равны тождественно нулю. Мы можем получить два структурно различных случая:

(i) Предположим, что решения для каждого xij (t) при одном и том же начальном

условии незначительно отклоняются от своих средних значений xi(t) . В этом случае мы получим следующие приближенные уравнения для xi(t)

Это система автономных дифференциальных уравнений. Ее решение очень незначительно отклоняется от самой траектории xij . В этом случае макропеременные

xij (t) приближенно удовлетворяют замкнутой автономной подсистеме уравнений

динамики. Таким образом, быстро флуктуирующие случайные силы, действующие на микропеременные, приводят лишь к малым отклонениям макропеременных от гладкой кривой среднего по ансамблю (см. рис. 7.7).

(ii) Рассмотрим детерминированное уравнение, соответствующее уравнению

(7.5.1),

Большое число примеров из предыдущих глав говорит о том, что в такой системе могут возникнуть бифуркации. Это означает, что решения уравнения (7.5.1), стартуя в окрестности особой точки со слегка отличными начальными значениями xi(0), могут иметь совершенно различные траектории xi(t). Таким образом, добавление флуктуации в такую систему может привести к траекториям, полностью отличным от траекторий соответствующего детерминированного уравнения. Иными словами, бесконечно малая разница в каких-либо «причинах» может привести к очень большой

разнице в «последствиях». В этом случае индивидуальная траектория xij может

значительно отклоняться от средней величины xi(t) . Следовательно, усредненные уравнения динамики не годятся для описания эволюции системы (см. рис. 7.8).

Рассмотрим простые модели «хищник-жертва» в стохастических условиях окружающей среды. Класс рассматриваемых моделей

таков:

где xi представляет плотность i-ого вида популяции, αij — внешние константы Лотки-Вольтерра, a si(xi) соответствует внутривидовым взаимодействиям19. Предполагается, что если i — хищник, то si(xi) = ui (мальтузианский закон роста); если же i — жертва, то

Величины ri(t) в (7.5.4) являются случайными переменными, воздействующими на средние коэффициенты ui при наличии непредсказуемых событий, так что

где . означает среднее по ансамблю. Мы предполагаем, что величины ri не коррелируют друг с другом и имеют дельта-корреляцию

19Заметим, что здесь ничего не говорится о знаках параметров. — Прим. ред.

по времени (δ) с постоянной дисперсией (σ). Очевидно, что модель Гудвина и ее обобщения являются частными случаями этой динамики. Следовательно, мы можем интерпретировать результаты, полученные для этих динамических систем в терминах экономики.

Интересно исследовать влияние случайного воздействия среды с нулевым средним на поведение соответственной детерминированной системы с выполняющимся тождеством ri(i)=0. Ниже мы предполагаем, что детерминированные уравнения, соответствующие уравнениям (7.5.4),

имеют предельный цикл. Хорошо известно, что в моделях этого типа предельные циклы вполне возможны. Применяя теорему Хопфа о бифуркациях, мы можем получить точные условия существования предельных циклов.

В литературе имеются некоторые весьма интересные результаты относительно влияния флуктуации на систему (7.5.4). Например, применяя модификацию метода осреднения, Лин и Кан (1977) получили следующие результаты: при наличии предельного цикла (а) с усилением шума радиус предельного цикла уменьшается; (b) если дисперсия шума больше радиуса детерминированного цикла, предельного цикла не возникает; и (с) дисперсия угловой переменной линейно растет со временем.

Вывод (b) может означать, что если шум относительно велик, стационарное распределение вероятностей малого детерминированного предельного цикла трудно отличить от распределения устойчивого фокуса.

7.6. Воздействие случайных внешних факторов на систему второго порядка в окрестности особых точек

Только что на примере моделей «хищник-жертва» мы показали, как влияет на поведение детерминированной системы, имеющей предельный цикл, внешний шум с нулевым средним. Вместе с тем в гл. 5 нами установлено существование осциллирующих решений для широкого класса экономических систем. Поскольку результаты предыдущего раздела относятся к биологическим моделям, важно распространить их на общий случай.

Рассматриваемые нами системы второго порядка в общем виде описываются уравнениями типа

где r — параметр. В некоторых случаях такая система может иметь несколько предельных циклов. Система полностью детерминирована. Флуктуации не рассматриваются.

В работе Мангеля (1980) было исследовано влияние флуктуации на системы с одним и несколькими предельными циклами. Он рассматривал четыре типа периодических движений. Именно: (1) неподвижный устойчивый предельный цикл, охватывающий точку неустойчивого фокуса (рис. 7.9а); (2) неподвижный неустойчивый предельный цикл вокруг устойчивого фокуса, заключенного внутри устойчивого предельного цикла (рис. 7.9b); (3) задачи о бифуркациях Хопфа и (4) «дуальные» бифуркации, в которых наблюдается срастание неустойчивого цикла и устойчивого фокуса (рис. 7.9с). Все эти типы поведения легко обнаружить в динамических системах.

Мангель учел шум в уравнениях (7.6.1) следующим образом

где Xi — соответствующая случайная функция переменной xi, а Y — стационарный случайный процесс с нулевым средним. Параметр ε (0 < ε « 1) характеризует интенсивность флуктуации. Если а достаточно мало, случайный процесс X(t) сходится к диффузионному процессу.

При внесении в детерминированные уравнения флуктуации возникает ряд вопросов, связанных с природой детерминированных уравнений. Например, если траектория системы всегда стремится к устойчивому предельному циклу, как на рис. 7.9а, важно знать, могут ли флуктуации увести систему от предельного цикла.

Для описания стохастических решений уравнения введем функцию плотности вероятности Θ(x,t) случайного процесса X(t):

где x определяется соотношениями (7.6.1), a X(t) — соотношениями (7.6.2). Если t →∞, то плотность вероятности Θ(x,t) устремится к равновесной или стационарной плотности Θ(х), которая означает возможность нахождения процесса в интервале (x, x + δx). Плотности вероятности Θ(t,x) соответствует начальная плотность Θ(0,Χ(0)), которая характеризует распределение случайной величины Х(0) = x(0).

В случае бифуркации Хопфа нас интересует плотность вероятности случайного процесса X(t) в зависимости от бифуркационного

Рис. 7.9. (Сплошная линия означает устойчивость траектории, пунктир — неустойчивость.)

параметра r, которую будем обозначать Θ(t,x;r). Рассмотрим дуальную бифуркационную систему Хопфа (рис. 7.9с). Для малых r фазовая точка покинет окрестность фокуса Ρ или окрестность внутреннего предельного цикла U и будет приближаться ко внешнему предельному циклу L с некоторой вероятностью. При r=0 особенность P/U будет проявляться в очень медленном детерминированном отталкивании от Р. Пусть L* —окрестность устойчивого предельного цикла, и пусть

Т(х) = E{t: X(t} L*, X(s) L*, s < t X(0) =

x}. (7.6.4)

Таким образом, T (x) — время предполагаемого попадания в область L* при условии Х(0) = х.

При рассмотрении неустойчивого предельного цикла U, окруженного устойчивым предельным циклом как на рис. 7.10, начальное положение фазовой точки является решающим фактором.

Фазовая точка, первоначально принадлежащая окрестности U, c вероятностью единица покидает эту окрестность. Даже если Х(0) находится на самом предельном цикле U, флуктуации уведут траекторию от этого положения. Поскольку задача определения вероятности того, что фазовая точка попадет в окрестность фокуса Ρ или предельного цикла L слишком сложна, сформулируем следующую