Экономическая ТЕОРИЯ / Занг В.Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. 1999

Рис. 8.8. Устойчивый и неустойчивый предельные циклы.

Рис. 8.9. Осцилляции на разных расстояниях (r = 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5).

r. Для радиусов, меньших единицы, система затухает, и предельного цикла нет. Для больших радиусов возникают предельные Циклы возрастающих амплитуд, самый дальний от центра соответствует бесконечному радиусу. Хотя амплитуды циклов возрастают

Рис. 8.10. Асимптотическое пространственное распределение.

с расстоянием от начала координат, период циклов, по-видимому одинаков (Пуу, 1986). Асимптотическое решение первого приближения также построено Пуу. Решение

определяет пространственное распределение при заданном t. В этом случае пространственная координата рассматривается как бифуркационный параметр временной зависимости. Поведение асимптотических решений видно из рис. 8.10.

Показано, что введение пространственной зависимости разрушает идеальную временную периодичность исходной модели и приводит к замене простого гармонического движения на нерегулярное во времени. В этом отношении пространственная зависимость подобна действию распределенной системы с запаздыванием.

8.4Пространственная диффузия как стабилизатор

Предыдущие модели были построены в рамках подхода, предложенного Бекманом и Пуу. Автором этой книги недавно предложена несколько другая модель города, где в фокусе внимания находится пространственное распределение населения и некоторых Других переменных, характеризующих город. Предполагается, что экономическая деятельность сосредоточена в отдельных точках города. В оставшейся части главы мы рассмотрим ряд моделей в рамках такого подхода.

Нас интересует моделирование поведения домовладельцев в

пространстве. Хорошо известно, что распределения населения и социо-экономической деятельности тяготеют к агрегации и регионализации. Причиной регионализации может служить наличие «масштабных факторов» для людей и их активности. Результатом таких тенденций является неравномерность распределения населения и социо-экономической деятельности в пространстве и времени. В этом разделе приводится модель, разработанная Зангом (1988с) для учета эффектов пространственной диффузии при формировании городской структуры.

Рассматривается городская система, состоящая из трех частей: центрального делового района (ЦДР), прилегающей области и границы городского пространства. ЦДР — это место, где реализуется большая часть социо-экономической деятельности, но социо-экономическая деятельность может иметь место и в других частях городской системы. Для простоты мы считаем ЦДР точкой. Предполагается, что граница городского пространства примыкает к области сельскохозяйственного землепользования. Между ЦДР и границей лежит область, называемая прилегающим пространством, где люди могут строить дома и заниматься другой социо-экономической деятельностью.

Процесс формирования городского пространства описывается движением плотности населения и земельной ренты во времени и пространстве. Введем определения:

x(r,t) — плотность населения в точке (r,t),

y(r,t) — земельная рента в точке (r,t),

где r — расстояние от ЦДР до точки прилегающего пространства. Когда переменные x(r,t) и y(r,t) не зависят от r, мы говорим, что городская модель однородна, в противном случае — гетерогенна. Согласно Дендриносу и Муллалли (1985), если городское пространство достаточно мало, динамика системы может быть описана моделью «хищник-жертва», как в разд. 3.5,

dx = α(y1 − y)x, dt

(3.5.1)

dy = β(x − x1 )y, dt

параметры которой определены там же. Мы знаем, что решение этой системы осцилляторно и что система структурно неустойчива. Возникает вопрос, возможно ли стабилизировать систему с помощью диффузионных эффектов.

При некоторых предположениях о «движении» земельной ренты и населения модель города типа «хищник-жертва» пополнена

автором (Занг, 1988с) диффузионными членами следующим образом:

где r0 — расстояние	от ЦДР до городской границы, Θ1 — параметр, характеризующий
стремление избежать	скопления населения, Θ2 — «коэффициент проводимости ренты».
Граничным» условиями являются		1

Соотношения (8.4.2) означают, что «поток» населения и ренты через границу городского и сельскохозяйственного пространства отсутствует. Пусть начальная городская структура описывается функциями

Полная модель города состоит из (8.4.1)-(8.4.3). Можно показать, что эта система имеет всюду положительное решение.

Рассмотрим сперва случай Θ12 = Θ22 (= Θ). Уравнения (8.4.1) могут быть переписаны в виде

Теорема 8.4.1. Если Θ1 = Θ2, то при t →∞ городская структура становится однородной, т.

е. xr(r,t) = yr (r,t) = 0 при t→∞.

Доказательство можно найти в работе Занга (1988с). Этот результат получен введением функции

спомощью которой задачу можно записать как

ссоответствующими граничными и начальными условиями. Функция F зависит от x и у как

Применяя принцип максимума к параболическим операторам, мы можем показать, что при t → ∞ имеет место F → 0 что эквивалентно однородности городской структуры при достаточно больших t.

Этот результат гораздо более интересен по сравнению с результатом Дендриноса и Муллалли (1985). Они не рассматривали влияние пространственной диффузии на городскую структуру, предположив, что городское пространство очень мало. Теорема 8.4.1 показывает, что их трактовка городской системы как некоего конгломерата заведомо справедлива при строгом выполнении условия Θ1 = Θ2. В этом случае, если только нас интересует стационарное состояние, введение диффузионных эффектов не повлияет на поведение системы, хотя может повлиять на ее устойчивость.

Теорема 8.4.2. Если θι и вз ненулевые, то система (8.4.1) не имеет неоднородных периодических решений.

Рассмотрим функцию

Легко проверить, что dW(t)/dt ≤ 0, т. е. функция W(t) — монотонная невозрастающая функция времени. Кроме того, она ограничена снизу нулем, и, следовательно, выполняется теорема

8.4.220.

Таким образом, введение географических факторов нарушило возможность неоднородных осцилляции городской модели «хищник-жертва».

8.5Разделение и сосуществование разнородных групп населения города

Этот раздел посвящен изучению пространственного и временного распределения жителей города. Население подразделяется на различные группы в соответствии с их экономическими и индивидуальными характеристиками. Население можно классифицировать по цвету кожи на белых и черных, по уровню дохода или образования. В Соединенных Штатах и некоторых других странах сосуществование групп населения, принадлежащих различным расам,

20Функционал (8.4.5) позволяет перенести результат теоремы 8.4.1 на более общий случай теоремы 8.4.2. Заметим, что он убывает только на пространственно неоднородных решениях. Однородное периодическое решение (3.5.1) Удовлетворяет системе (8.4.1). —

Прим. ред.

порождало серьезные социальные проблемы и потому изучалось с различных точек зрения. Мы рассмотрим для простоты только две группы, обозначаемые как группа 1 и группа 2. Предполагается, что между обеими группами существует взаимодействие в том смысле, что их отношения влияют на характер распределения населения. Отношения могут быть дружелюбными; недружелюбными и «нейтральными». Покажем, что разделение и сосуществование зависит от этих отношений. Обозначим плотности населения этих групп как X(r,t) и Y(r,t), где r — расстояние от ЦДР до места проживания. Рассматриваемая область географически подобна области из предыдущего раздела.

Далее в этом разделе следуем работе автора (Занг, 1989с). Эволюция обеих групп может быть описана следующим образом:

где α, b, с и di (i = 1,2) — постоянные, W — область, примыкающая к ЦДР.

Слагаемое Θ1Xrr в уравнении (8.5.1) отражает эффект географической диффузии населения. Географические диффузионные члены измеряют склонность людей к проживанию в менее заселенной местности. Параметр Θ1 на самом деле может зависеть от неизвестных функций и независимых переменных — координаты и времени. Член αХ(а - bХ - сY) описывает реакцию населения на экономические условия. Мы интерпретируем α как «физическую» вместимость городского пространства в точке г. Когда параметр α постоянен (константа), физическая вместимость однородна в пространстве. Если предположить, что (bХ + cY) — количественная мера пространства, занимаемого обеими группами, то величину (а - bХ - cY) можно рассматривать как избыток предложения физической вместимости. Когда эта величина в некоторой точке становится больше нуля, то данное место проживания оказывается более привлекательным для населения. Очевидно, что когда она равна нулю, а члены —d1XY и диффузионные эффекты пренебрежимо малы, миграция населения прекращается. Множитель аХ в уравнении (8.5.1) — это скорость установления равновесного распределения населения в группе 1: если плотность населения высока, то установление равновесия замедлено, так как система менее информирована. Член — d1XY служит для измерения взаимодействия групп. Этот член не имеет отношения к экономическим факторам, отражая социальное взаимодействие. Коэффициент d1 может быть и положительным, и отрицательным, и нулевым. Если он положителен, группе 1 не нравится жить с группой 2. Если d1 = 0, «расовые» предубеждения отсутствуют. Если d1 отрицателен, высокая плотность группы 2 притягивает население группы 1. Например,

мы можем классифицировать население в соответствии с образовательным уровнем, и менее образованные люди могут стремиться к проживанию в районе с преобладанием более высокообразованных.

Подобным же образом можно интерпретировать уравнение (8.5.2).

Следует заметить, что эту систему можно расширить, и притом различными путями. Например, мы можем разбить население на N групп (N > 2). По аналогии с нашей базовой моделью, пространственное и временное распределение населения в этом случае можно записать в общем виде как

вместе с соответствующими начальными и граничными условиями. Затем можно исследовать разнообразные условия совместного и раздельного проживания различных комбинаций этих групп.

Мы можем также учесть взаимодействие между плотностью населения и другими переменными, характеризующими город (градообразующими переменными), такими, как рента и количество жилья. Примером такого подхода служит модель из предыдущего раздела.

Можно также ввести различные экзогенные силы, воздействующие на структуру города. Например, правительство может проводить специальную политику, чтобы гарантировать сосуществование населения. В этом случае систему (8.5.1)-(8.5.2) можно обобщить к следующему виду

где E1(r,t) и Е2 (r,t) — экзогенные «входы». Например, Е1 может означать иммиграцию группы 1 в районы города. Если Е1 не зависит от расстояния, то объем иммиграции задается как величина Е1, умноженная на размер городского района.

Для простоты мы ограничимся наиболее легким случаем (8.5.1)-(8.5.2). Перепишем модель как

Начальные и граничные условия возьмем соответственно в виде

где n обозначает направление, нормальное к границе и ориентированное вовне, ∂W — граница городского пространства, а рi и qi (i = 1,2) — константы. Граничные условия определяются тем, как городская система взаимодействует с «внешним миром». Если считать, что ∂Х/∂п и ∂Y/∂п — миграция населения, то предложенные граничные условия означают, что миграция зависит только от плотности населения.

В работе автора (Занг, 1989с) первоначально анализируется случай b = с = 0 и di > 0 (i = 1, 2). Это значит, что объем пространства, занимаемого населением, не влияет на миграцию, а отношения между двумя группами чисто конкурентные. Было показано, что в результате возмущения начальных условий первоначально однородная городская структура становится гетерогенной.

Теперь нас интересует общий случай, когда на систему (8.5.3) наложены граничные условия Неймана, т. е. p1 = р2 = 1 и q1 = q2 = 0 или

Это значит, что миграция между городом и «окружающим миром» отсутствует. Введем величины

Теорема 8.5.1. Пусть (X,Υ) — решение системы (8.5.3) с граничными условиями (8.5.5), и пусть в каждой точке r W начальные условия удовлетворяют неравенствам 0 < F(r) < µ и 0 < H (r) < δ. Тогда имеем

Пусть для простоты интерпретации Θ1 = Θ2 = 0. Неравенство 0 < F (r) означает, что начальная плотность населения группы 1 не равна нулю ни в какой точке городского пространства. Если заметим, что α1/c1 = α/(с + d1), то правая часть неравенства F(r) < α/(с + d1) означает, что начальная плотность группы 1 ограничена сверху вместимостью городского пространства и объемом пространства, занятого группой 2. Так как α2/c2 = α/(с+ d2), мы можем так же просто объяснить смысл неравенства F(r) < α2/c2.

Утверждение теоремы (i) выполняется, если

Последнее справедливо в том случае, если d2 > 0 и d1 < 0. Поскольку d1 (d2) является мерой воздействия группы 2 (группы 1) на группу 1 (группу 2), мы видим, что если группа 1 стремится жить вблизи группы 2, хотя группа 2 настроена недружелюбно по отношению к группе 1, то группа 2 в конце концов окажется вытесненной группой 1. Мы видим, как протекает этот эволюционный процесс. Асимптотическое равновесие не зависит от величин d1 и d2 — это естественно, потому что в асимптотике нет борьбы в классическом смысле. Так как Х(r, ∞) = а/b, мы видим, что в пределе вся городская емкость будет использована группой 1: в противном случае группа 2 сможет располагать свои жилища в городском пространстве. Случай (ii) может быть интерпретирован аналогичным образом.

Поскольку условие (in) можно переписать в форме

необходимо потребовать, чтобы d1 и d2 были отрицательны — между людьми отсутствует антипатия (требование, которое довольно

редко выполняется на практике). В этом случае представители разных групп населения могут проживать на одной и той же территории. Следует заметить, что (iii) выполняется только при положительном h. Случай отрицательного h мы обсудим ниже.

Если рассматривать перекрестные члены d1XY и d2XY как отражение взаимодействия групп на эффективность использования емкости городского пространства, полученные результаты становятся интуитивно приемлемыми. Если d1 положительно, то некоторая часть городского пространства не может быть эффективно использована. Это можно осмыслить, положив Θ1 = 0. Тогда в случае равновесия имеем α = bХ + сY + d1Y. Очевидно, что член d1Y не отражает использование населением городского пространства.

Теорема 8.5.2. Пусть (X,Υ) — решения уравнений (8.5.3) с учетом граничных условий

(8.5.5) и b1/b2 < α1/α2 < c1/c2. Тогда имеем

Поскольку условия b1/b2 < α1/α2 < c1/c2 идентичны условиям b/(b+ d2) < 1 < (с+ d1)/c и h < 0, необходимо, чтобы d1 > 0 и d2 > 0. Таким образом, группы 1 и 2 чисто конкурентны. В этом

случае, по прошествии времени, выживет только одна группа. Можно проверить, что система имеет два устойчивых и два неустойчивых постоянных стационарных решения. Асимптотическое равновесие зависит от начальных условий. В случае (i), так как плотность населения группы 1 очень высока, а группы 2 низка, группа 2 должна быть вытеснена в конце концов группой 1. Аналогично можно объяснить случай (ii). Здесь уместно заметить, что под вытеснением мы понимаем исчезновение в биологическом смысле, потому что миграция в модели не предусматривается.

Выше мы «изолировали» городскую систему, задав на границе условия Неймана. Интересно посмотреть, что произойдет, если мы «откроем» систему. Рассмотрим следующее граничное условие: