действовать по приведенной выше схеме. Поясним это на примере уравнения, имеющего правую часть указанного вида с μ = 0 .

Пример 14. Решить уравнение y′+2 y = 6 .
Решение. 1) Рассмотрим однородное уравнение	y′+2 y = 0 . Со-
ответствующее характеристическое уравнение λ + 2 = 0	имеет единст-

венный корень λ = −2 . Этому корню отвечает частное решение y = e−2 x , и общее решение однородного уравнения записывается в виде

y0 =Ce−2 x .

2) Частное решение исходного уравнения ищем в виде y = A , A = const .

Подстановка в исходное уравнение дает 2A = 6, то есть A = 3 . Следовательно, получаем частное решение yˆ =3 .

3) По формуле (14) находим общее решение исходного уравнения:

y=Ce−2 x +3.

Задачи

Решить уравнение:

9.	y′′−7 y′+10 y = 5e7 x .	10.	y′′−4 y = −12e4 x .
11.	y′′+8y′+16 y =96 .	12.	y′′−10 y′+25 y = −100e−5 x .
13.	y′′−2 y′+5y = 20ex .	14.	y′′+4 y =5 .

Найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

15.	y	′′	+3y	′	+2 y	=144,		y(0)	= 0 ,	′
										y (0) = 72 .
16.	y′′		+16 y = 0,			π		=1,	π		= −4.
						y			y′
						2			2

77

8BГ л а в а 3

9BСИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

3.1. Предварительные сведения

Рассматривается система линейных дифференциальных уравнений вида

y′ = a			y +a		y	,	(19)
	1	11	1	12	2
y2′ = a21 y1 +a22 y2
для неизвестных функций y1 (x)		и	y2 (x) .		Коэффициенты ai j ,		i, j =1, 2 ,

системы предполагаются постоянными. Составленная из коэффициентов матрица

		a			a
		A =	11		12
			a	21	a
					22
называется матрицей системы				(19).		Введя столбец неизвестных
y		, систему можно записать в векторной форме
y = 1
y2

y′ = A y .

Для построения общего решения системы используют следующие методы:

1)метод исключения неизвестных – в результате система сводится

кодному линейному дифференциальному уравнению второго порядка, которое решается средствами предыдущего параграфа;

2)метод, основанный на изучении матрицы системы, – его применение позволяет в рассматриваемых ниже случаях сразу записать общее

78

решение, как только получены собственные значения и собственные векторы матрицы системы.

Покажем на примерах, как работают эти методы.

25B3.2. Метод исключения неизвестных

Пример 15. Решить систему уравнений

y1′ = y1 +3y2 ,

y2′ = 4 y1 +2 y2 .

Решение. Продифференцировав первое уравнение, получим y1′′= y1′+3y2′.

С помощью второго уравнения исключим отсюда y2′: y1′′= y1′+3y2′ = y1′+3(4 y1 +2 y2 ) = y1′+12 y1 +6 y2 .

Из первого уравнения системы найдем y2 = 13 ( y1′− y1 ) . Исключив y2

из предыдущего равенства, получим

y1′′= y1′+12y1 +6 y2 = y1′+12 y1 +2( y1′− y1 ) =3y1′+10y1

или

y1′′−3y1′−10y1 =0 .

Это линейное однородное уравнение второго порядка относительно функции y1 . Его характеристическое уравнение

λ2 −3λ −10 = 0

имеет корни λ1 = −2 и λ2 =5. Поэтому

y1 =C1e−2 x +C2e5x .

Подставив это выражение в формулу для y2 , найдем

y2 = 13 ( y1′− y1 ) = 13 ((C1e−2 x +C2e5 x )′−(C1e−2 x +C2e5 x )) = −C1e−2 x + 43 C2e5 x .

Общее решение системы имеет вид

y1 =C1e−2 x +C2e5 x , y2 = −C1e−2 x + 43 C2e5 x .

Пример 16. Для системы уравнений из примера 15 найти решение, удовлетворяющее начальным условиям y1 (0) = 2, y2 (0) =5.

Решение. Подставив	в формулы для общего решения x = 0 ,
y1 = 2 , y2 =5, получим систему				4 C
C +C = 2		,	−C +			=5 ,
1	2		1	3	2

79

решивкоторую, найдем C1 = −1, C2 =3 . Значит, искомоерешениеимеетвид

y1 = −e−2 x +3e5 x , y2 = e−2 x +4C2e5 x .

26B3.3. Использование собственных значений

и собственных векторов матрицы системы

Рассмотрим матрицу A системы (19). Напомним, что число λ называется собственным значением матрицы A , если существует ненуле-

	p		такой, что A p = λ p . При этом p	называется соб-
вой столбец p =	1
	p
	2

ственным вектором матрицы A , принадлежащим (соответствующим) собственному значению λ .

Для отыскания всех собственных значений матрицы A нужно ре-

шить ее характеристическое уравнение

a11 −λ	a12
		= 0,
a	a −λ
21	22

левая часть которого содержит определитель матрицы A −λE ( E – единичная матрица). Для каждого из собственных значений соответствующий ему собственный вектор находится из системы

a −λ		a		p			0
	11	12		1		=	0	.
	a	a −λ		p
	21	22		2

Покажем, как получить общее решение системы (19), если известны собственные значения и собственные векторы ее матрицы. Ограничимся случаем, когда матрица системы имеет два действительных собственных значения λ1 , λ2 , причем эти собственные значения различны:

λ1 ≠ λ2 . Пусть p1 и p2 – соответствующие им собственные векторы. Тогда общее решение системы (19) дается формулой

y =C p eλ1x +C		2	p	eλ2 x ,	(20)
1	1		2

где C1 и C2 – произвольные постоянные.

Пример 17. Решить систему из примера 15, используя собственные

значения и собственные векторы ее матрицы.
Решение.		1	3		этой системы. Найдем
	Рассмотрим матрицу A =	4	2

ее собственные значения. Из характеристического уравнения

	1−λ		3		= 0 ,
	4		2 −λ
то есть λ2 −3λ −10 = 0 , получим		λ = −2 и λ =5				. Длякаждогособственного
		1		2

значениянайдемсоответствующийемусобственныйвектор, решивсистему

80