29B4.3. Непрерывное регулирование цены

Для заданных функций спроса и предложения D( p) и S( p) (убы-

вающей и возрастающей соответственно) рассмотрим разность x( p) = D( p) −S( p) , называемую избыточным (или неудовлетворенным)

спросом. Можно предположить, что цена некоторого товара	p(t) изме-
няется со временем в соответствии с уравнением
p′ = kx( p) ,	(24)

где k > 0 – некоторая постоянная. Равновесная цена p , определяется из алгебраического уравнения x( p ) = D( p ) −S( p ) = 0 . Используя уравнение (24), выясним, как будет изменяться цена p(t) , если в начальный

момент времени она отличается от равновесной.

Заметим, что при сделанных предположениях функция x( p) монотонно убывает. Поэтому, если в некоторый момент времени выполнено p > p (цена превышает равновесную), то x( p) < 0. Тогда из (24) следует, что p′< 0 , и значит функция p(t) убывает. Аналогично, если p < p , то p′ > 0 и функция p(t) возрастает. Другими словами, в обоих случаях изменение цены направлено в сторону ее равновесного значения.

Пример 19. Функции спроса и предложения имеют вид

D( p) = 21−4 p , S( p) = −3 +2 p ,

а поведение цены описывается уравнением (24) с k =1. Найти p(t) , если p(0) = 2.

Решение. В условиях задачи имеем x( p) = D( p) −S ( p) = 24 −6 p , и уравнение (24) принимает вид

p′ = 24 −6 p .

Это линейное уравнение первого порядка. В качестве его частного решения можно взять стационарное решение pˆ = 4 . Соответствующее

однородное уравнение имеет общее решение p0 =Ce−6t . Поэтому общее решение рассматриваемого неоднородного уравнения имеет вид

p = 4 +Ce−6t .

Из начального условия при t = 0 получим 4 +C = 2, то есть C = −2 . Следовательно, решение задачи дается формулой

p(t) = 4 −2e−6t .

В этом случае начальная цена p(0) = 2 меньше равновесной цены p = 4 и с течением времени цена растет, приближаясь к своему равновесному значению.

85

Заменив в (24) правую часть произвольной монотонно возрастающей функцией f (x) , удовлетворяющей условию f (0) = 0 , получим бо-

лее общее уравнение

p′ = f (x( p)) .

(25)

Например, можно положить f (x) = x3 . Все выводы относительно поведения цены p(t) , сделанные выше для уравнения (24), остаются в силе и в этом случае.

Пример 20. Функции спроса и предложения имеют вид

D( p) =15 −2 p , S( p) = −3 + p ,

а изменение цены подчиняется уравнению (25) с f (x) = x3 . Найти p(t) , если p(0) = 7 .

Решение. В этом случае x( p) = D( p) −S ( p) =18 −3 p , и уравнение

(24)принимает вид

p′ = (18 −3 p)3 .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Имеем

dp	= dt	==> ∫	dp	= ∫dt		1		−2		1
					==>	6	(18 −3 p)		=t +	6 C ,
(18 −3 p)3			(18 −3 p)3

откуда

18 −3 p = ±(6t +C)−1/2 .

Положив t = 0 , p = 7 , получим −3 = ±C−1/2 , откуда видно, что в пра-

вой части следует выбрать знак минус и C = 19 . Поэтому

18		6t +	1	−1/2
	−3 p = −		9

и, следовательно, p = 6 +	1	.
	54t +1

В этом случае начальная цена p(0) = 7 больше равновесной цены p = 6 и с течением времени цена монотонно убывает, приближаясь к своему равновесному значению.

30B4.4. Тенденции рынков

При моделировании поведения рынка, выбирая функций спроса и предложения, принимают в расчет не только их зависимость от текущей цены p(t) , но и от того, как быстро эта цена растет или падает, а также

от того, насколько быстро замедляется или возрастает скорость ее изме-

86

нения. При этом в выражениях для D( p) и S( p) появляются производные p′(t) и p′′(t) , и уравнение D( p) = S( p) для определения равновес-

ной цены становится дифференциальным. В простейшем случае, когда спрос и предложение являются линейными функциями от цены и ее производных, возникает линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

Пример 21. Спрос и предложение связаны с текущей ценой p(t) и ее производными формулами

D( p) = 24 −2 p + p′−3 p′′, S ( p) = 4 +6 p +3 p′−4 p′′.

Используя условие D( p) = S ( p) , найти равновесную цену p(t) , если p(0) =8 , p′(0) = −2 .

Решение. Условие D( p) = S( p) приводит к линейному дифференциальному уравнению второго порядка

p′′−2 p′−8 p = −20 .

Рассмотрим однородное уравнение. Соответствующее характеристическое уравнение λ2 −2λ −8 = 0 имеет корни λ1 = −2, λ2 = 4 . Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид p0 =C1e−2t +C2e4t . Частное решение исходного уравнения ищем в виде pˆ = A . Подстановка в уравнение дает A = 2,5 . По формуле p = p0 + pˆ находим общее решение исходного уравнения:

p =C e−2t +C		e4t	+2,5.
1	2
Отсюда для производной получаем			p′ = −2C1e−2t +4C2e4t . С учетом
начальных условий при t = 0 находим
C1 +C2 +2,5 =8,	−2C1 +4C2 = −2,

то есть C1 = 4 , C2 =1,5 . Следовательно, искомое решение имеет вид p = 4e−2t +1,5e4t +2,5 .

Задачи

23. Найти решение уравнения естественного роста y′ = 4 y , удовлетворяющее начальному условию y(0) = y0 . За какое время T величина y

удвоится по сравнению с начальным значением?

24. Найти решение логистического уравнения y′ = (8 − y) y , удовлетворяющее начальному условию y(0) = 4. Чему равен предел y(t) при t →+∞?

87

В задачах 25 и 26 требуется определить спрос D( p) по его эластичности и начальному значению.

25.ED ( p) = − p22 p+26 , D(2) =8 .

26.ED ( p) = −2 p( p +1) , D(1) = 4 .

В задачах 27 и 28 использовано обозначение x( p) = D( p) −S( p) .

27.

Зависимости

спроса

и

предложения

от

цены

имеют

вид

D( p) =

1

1

p .

Найти

p(t) ,

если

′

и

5 − 2 p ,

S( p) = −3 + 2

p (t) = 2x( p)

p(0) = 9.

28.

Зависимости

спроса

и

предложения

от

цены

имеют

вид

D( p) =14 − p ,

S( p) = −5 +4 p .

Найти

p(t) ,

если

′

3

и

p (t) = (x( p))

p(0) = 3 .

29. Спрос и предложение связаны с текущей ценой p(t) и ее производными формулами

D( p) = 28 − p −3 p′+2 p′′, S( p) = −2 +5 p + p′.

Используя условие D( p) = S ( p) , найти равновесную цену p(t) , если p(0) = 3 , p′(0) = 6 .

88

12BЗАДАЧИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1.

Решить уравнение y′+3xy2 = 20xy .

2.

Найти решение

уравнения

y′+2 y = 6x −11,

удовлетворяющее

на-

чальному условию y(0) = −6 .

3.

Решить уравнение y′′+3y′−10 y = −36e−x .

4.

Решить систему

y′ = y −5y

,

1

1

2

y2′ = −2 y1 +4 y2 .

5.

y′ = y +4 y

,

удовлетворяющее началь-

Найти решение системы

1

1

2

y2′ = 4 y1 + y2 ,

ным условиям y1 (0) =5 , y2 (0) = −1.

6.

Эластичность спроса задана формулой ED ( p) = −

2 p

. Найти функ-

p +1

цию спроса D( p) , если D =9 при p = 2 .

7.

Функции

спроса

и

предложения

имеют

вид

D( p) =14 −3 p

и

S( p) = −2 + p . Найти зависимость p(t)

цены от времени, если изме-

нение

цены

описывается

уравнением

′

1

где

p

(t)

= 2 x( p) ,

x( p) = D( p) −S( p) , а начальная цена равна p(0) =1.

8.

Спрос и предложение связаны с текущей ценой p(t)

и ее производ-

ными формулами D( p) =14 −2 p +2 p′− p′′, S( p) = −2 +2 p − p′−2 p′′.

Используя условие D( p) = S( p) ,

найти равновесную цену p(t) , если

p(0) = 4,

′

p (0) = −5 .

89