Pxb = tgPβtb b = sinPnbβb .
Коэффициент осевого перекрытия (8.3)
εβ = |
bW sin ββ |
≈ |
b |
sin β |
, |
|
|
|
W |
|
(8.4) |
||||
Pnb |
Pn |
||||||
|
|
|
|
|
где β и Pn =πmn =πm – угол наклона зубьев и нормальный (стандартный) шаг на
делительном цилиндре. Требуя целых значений 1, 2, … коэффициента (8.4), найдем подходящий для этого угол β :
β = arcsin |
εβ πm |
. |
(8.5) |
|
|||
|
bW |
|
|
8.4 Силы в косозубом зацеплении
Зубчатое колесо испытывает в зацеплении давление шестерни. Нормальная сила Fn2 – равнодействующая давлений на зубья колеса, направлена по общей
нормали к поверхностям зацепляющихся зубьев в сторону вращения колеса. Нормальная сила Fn1 – равнодействующая давлений на зубья шестерни,
направлена противоположно силе Fn2 (равна ей по величине).
Рисунок 8.6 – Силы в косозубом зацеплении, действующие на шестерню
53
На рисунке 8.6 показаны две плоскости Т и О: касательная к начальным цилиндрам зацепляющихся колес и касательная к основным цилиндрам. Во второй располагается поле зацепления (рис. 8.4, 8.5) и контактная линия (на рисунке показана линия 1-1, проходящая через полюс Р). Равнодействующую давлений на зубья шестерни, находящиеся в зацеплении, прилагают в полюсе. Разложим ее на составляющие: действующую перпендикулярно плоскости Т и
действующую в плоскости Т. Первая (Fr1 ) называется радиальной, вторая – (Ft′1 )
– квазиокружной. Эту вторую силу разлагаем на составляющие: первая (осевая сила Fa1 ) действует вдоль линии касания PP начальных цилиндров, вторая
(окружная сила Ft1) – перпендикулярно к ней. Силы Fr1 и Fa1 (пересекающая ось
вращения шестерни и параллельная ей) не сообщают вращающих моментов. Момент полезного сопротивления создает окружная сила
|
|
Ft1 = |
2T1 . |
|
|
|
(8.6) |
||||
Осевая сила (рис. 8.6) |
|
|
|
|
|
d1 |
|
|
|
|
|
|
Fa1 = Ft1tgβ , |
|
|
|
(8.7) |
||||||
радиальная сила |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Ft1 |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
tgαW |
, |
(8.8) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Fr1 = Ft1tgαW = |
cos β |
||||||||||
исходная нормальная сила |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
Ft1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Fn1 = |
|
Ft1 |
|
= |
|
|
|
. |
(8.9) |
||
cosαW |
|
|
cos β cosαW |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Осевая сила (8.7), передающаяся на подшипники в опорах, тем больше, |
|||||||||||
чем больше угол наклона зубьев |
β |
(8.5). Во избежание больших нагрузок на |
|||||||||
подшипники рекомендуют принимать [4, с. 165] |
|
β =8...20°. Другая причина |
|||||||||
указанных ограничений – снижение с ростом угла |
|
β |
коэффициента торцевого |
||||||||
перекрытия εα = gα / Ptb – из-за роста окружного шага (рис. 8.5)
Ptb = cosPnbβb .
Лекция 9. Контактные напряжения в цилиндрических колесах
9.1 Удельная расчетная окружная сила
Нормальная сила в зацеплении – равнодействующая давлений, распределенных по суммарной длине контактных линий (8.2). В идеале это равномерно распределенная нагрузка. В случае прямого зуба она показана на рисунке 9.1. Ее интенсивность
q = |
Fn |
, |
(9.1) |
|
|||
|
l∑ |
|
|
54 |
|
|
|
где сила Fn дается формулой (8.9), суммарная длина контактных линий – формулой (8.2). Интенсивность (9.1)
q = |
Ft |
|
|
|
1 |
|
= |
|
|
|
Ft |
|
. |
(9.2) |
cos β cosα |
|
|
εαbW |
|
ε |
|
b |
cosα |
|
|||||
|
|
W |
|
|
|
|
α |
W |
|
W |
|
|||
|
|
cos β |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 9.1 – Нагрузка, равномерно распределенная по ширине прямого зуба
Фактическое распределение нагрузки на зубья отличается от равномерного. Силы в зацеплении (8.6–8.8), передаваясь на валы зацепляющихся колес, изгибают, искривляют их, колеса поворачиваются относительно друг друга, зацепляющиеся зубья перекашиваются – на одном краю зубья давят друг на друга сильнее, чем на другом (рис. 9.2). Наибольшую интенсивность получим, умножая среднюю интенсивность (9.2) на коэффициент неравномерности Kβ .
Рисунок 9.2 – Нагрузка, распределяющаяся по ширине bw неравномерно
Имеется и другая причина неравномерности нагрузки на зубья – непостоянство передаточного отношения (7.3) из-за погрешностей нарезания зубьев. При постоянной угловой скорости шестерни угловая скорость колеса
ω2 =ω1i
оказывается непостоянной, возникает угловой ускорение
ε |
2 |
= |
dω2 |
|
|
dt |
|
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
и, следовательно, инерционный (динамический) момент |
|
||||
|
Tд = Iε2 , |
(9.3) |
|||
55
где I – момент инерции вращающихся масс на валу колеса. Наличие момента (9.3) учитывается коэффициентом динамической нагрузки KV .
Расчетная нагрузка
|
Ft Kβ KV |
1 |
|
|
|
qmax = qKβ KV = |
|
|
|
, |
(9.4) |
|
εα cosαW |
||||
|
bW |
|
|
||
в скобках – выражение удельной расчетной окружной силы
Wt = |
Ft Kβ KV |
. |
|
(9.5) |
|
|
|
||||
|
bW |
|
|
||
Расчетная нагрузка (9.4) |
|
|
|
|
|
qmax = |
Wt |
. |
(9.6) |
||
εα cosαW |
|||||
|
|
|
|||
9.2 Контактные напряжения
Зацепляющиеся зубья колес не твердые. Оказывая давление друг на друга, зубья деформируют друг друга – линии контакта «расползаются», становясь узкими площадками контакта (рис. 9.3). Выделим в окрестности точки В малую площадку ∆A. На нее действует нормальная сила ∆Fn . Среднее контактное
напряжение на площадке ∆A
σHср = ∆∆FAn .
Стянем контур площадки ∆A к точке В. В пределе получим контактное напряжение в точке В
σHB = lim ∆∆FAn .
Наибольшее контактное напряжение определяется по формуле Герца [4, c.
184]
|
|
qmax |
|
E |
|
|
|
σH = |
|
|
|
, |
(9.7) |
||
ρпр |
2π (1− µ2 ) |
||||||
где qmax – расчетная нагрузка (9.6);
1 |
= |
1 |
+ |
1 |
(9.8) |
ρпр |
|
ρ2 |
|||
|
ρ1 |
|
|||
– приведенная кривизна поверхностей, находящихся в контакте, ρ1 и ρ2 – их кривизны; Е и µ – модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала зубьев.
56