Рисунок 9.3 – Площадка контакта на зубе

9.3 Эквивалентное цилиндрическое прямозубое колесо

На рисунке 9.4 изображены зубчатые колеса, находящиеся в косозубом зацеплении. Если смотреть по стрелке А сквозь «прозрачное» колесо, зацепление в плоскости В-В, нормальной к зубу, выглядит прямозубым. Нормальное сечение В-В делительного цилиндра шестерни – эллипс, полюс Р – вершина эллипса, радиус эквивалентного цилиндрического колеса – радиус кривизны СР эллипса в его вершине Р. Уравнение эллипса (рис. 9.5) в осях x, y

			x2		+		y2		=1,		(9.9)
			a2				b2
кривизна							y		′′
1		=									,
	ρ			1+(y′)2						3/2
кривизна в вершине Р
					1		= y′′Р				(9.10)
				ρР

(ибо первая производная в вершине Р y′P = 0). Продифференцируем уравнение

(9.9):

2ax2 + 2byy2 ′ = 0,

a22 + 2(by2′)2 + 2byy2 ′′ = 0;

в вершине Р

a22 + 2ybР2y′′Р = 0 ,

откуда искомая вторая производная (9.10)

b2	1	b2	1		b
y′′Р = − a2		= − a2	b	= −		,
	yР				a2
		57

Рисунок 9.4 – Сечение делительного цилиндра шестерни

плоскостью В-В, нормальной к зубу

Рисунок 9.5 – Эллипс: а и b – полуоси эллипса; ρР – его

радиус кривизны в вершине Р

58

радиус кривизны

ρР =

1

=

a2

.

(9.11)

y′′Р

b

Возвращаясь в формуле (9.11) к обозначениям рисунка 9.4, получим

ρР =

d

2

1

=

d

.

1

1

2cos β

d1 / 2

2

β

2cos

Делительный диаметр эквивалентного цилиндрического колеса в косозубом зацеплении

				d =		d	.				(9.12)
						cos2 β
				V
	Число зубьев эквивалентного колеса
	Z	= dV	=	d		= mZ / cos β		=	Z		,
				mcos2 β					cos3	β
	V	m				mcos2 β

где m – стандартный модуль зацепления, диаметр делительного цилиндра d дается формулой (7.17).

9.4 Условие прочности в контактном взаимодействии зубьев

Установлено [4, с. 183], что наибольшей опасности подвергаются зубья, зацепляющиеся вблизи полюса Р (рис. 9.6). Радиусы кривизны профилей зубьев эквивалентных прямозубых колес

ρ1 = AP =O1Psinα = d2V1 sinα ,

ρ2 = BP =O2Psinα = d2V 2 sinα ,

точки A и B – центры кривизны эвольвентных профилей зацепляющихся зубьев. Приведенная кривизна (9.8) в формуле Герца (9.7)

1

=

1

+

1

=

2

1

+

1

,

dV 2

ρпр

ρ1

ρ2

sinα dV1

или – см. формулу (9.12) –

1

2cos

2

β

1

2cos

2

1+u

=

1

+

=

β

,

sinα

u

ρпр

d1

d2

d1 sinα

так как отношение d2/d1

равно

передаточному числу u. Формула Герца (9.7)

приобретает вид

59

σ

=

q

max

E

=

W

2cos2

β

1+u

E

=

Ht

H

2π (1− µ2 )

εα cosα

d1 sinα

u

2π (1− µ2 )

ρпр

,

(9.13)

2cos2 β

E

1

W

1+u

= ZН ZM Zε

W

1+u

Ht

Ht

sin 2α

π (1

− µ2 )

εα

u

u

d1

d1

где WHt – удельная расчетная окружная сила (9.5) в расчете зубчатой передачи на

контактную прочность и введены коэффициенты: учитывающий форму сопряженных поверхностей зубьев

ZH =	2cos2 β	=1,77cos β (при α = 20°),	(9.14)
	sin 2α

учитывающий механические свойства материалов колес

ZM =		E					= 275МПа1/2	(для стальных колес),	(9.15)
	(	−	µ	2	)
	π 1

учитывающий суммарную длину контактных линий

Zε =		1		.	(9.16)
		εα

Для прямозубых колес коэффициенты (9.13–9.15)

ZH =1,77 ; ZM = 275МПa1/2 ; Zε =1.

Рисунок 9.6 – Радиусы кривизны эвольвентных профилей

эквивалентных прямозубых колес

60

Из условия контактной прочности найдем требуемый делительный диаметр косозубой шестерни:

			σH ≤[σH ],				(9.17)
d	=	WHt (ZН ZM Zε )2			1	+u	.
			[σH ]2
1						u

Внося сюда выражения удельной расчетной окружной силы (9.5) и окружной силы (8.6):

W

=

Ft KH β KHV

=

2T

1

K

K

,

1

H β

HV

Ht

bW

d1

ψbd d1

получим

T1KH β (1+u)

T1KH β (1+u)

d1 = 3 2KHV (ZH ZM Zε )

2

3

= Kd 3

,

(9.18)

ψbd [σH ]2 u

ψbd [σH ]2 u

где KH β и KHV

– коэффициенты неравномерности распределения нагрузки и

динамической

нагрузки; ψbd =bW / d1

– коэффициент ширины

шестерни

относительно ее диаметра; коэффициент [4, с. 186]

Kd = 32KHV (ZH ZM Zε )2 ≈ 680МПа1/3 ,

для стальных прямозубых колес Kd ≈ 780МПа1/3 .

Когда требуется вписаться в стандартное межосевое расстояние, желательна формула для него, исходящая из условия контактной прочности (9.17). Вводя коэффициент ширины шестерни относительно межосевого расстояния

ψ

= bW

= bW

d1

=ψ

d1

,

ba

bd a

a

d

a

W

1

W

W

где межосевое расстояние

aW = d1 + d2

= d1

+ d2

= d1 (1

+u),

1

2

2

d1

2

выразим коэффициент ширины шестерни относительно диаметра:

ψbd =ψba	aW =ψba	1+u .	(9.19)
	d	2
	1

делительный диаметр

61